Este capítulo foca em fórmulas essenciais e aplicação direta em questões típicas da ESA. A ideia é reconhecer a figura, selecionar a relação correta (ângulos, semelhança, Pitágoras, áreas/volumes) e executar o cálculo com atenção às unidades.
1) Ângulos: relações fundamentais
1.1) Tipos e relações
Ângulos complementares: somam 90°.
Ângulos suplementares: somam 180°.
Ângulos opostos pelo vértice: são iguais.
Retas paralelas cortadas por transversal: ângulos correspondentes são iguais; alternos internos são iguais; colaterais internos somam 180°.
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1.2) Passo a passo prático (paralelas e transversal)
Passo 1: identifique se as retas são paralelas e qual é a transversal. Passo 2: localize o par de ângulos (correspondentes, alternos internos, colaterais internos). Passo 3: escreva a igualdade (ou soma 180°) e resolva.
Exemplo: em duas paralelas, um ângulo alterno interno mede 65°. O alterno interno correspondente mede 65°. O colateral interno adjacente a ele mede 180° − 65° = 115°.
2) Polígonos: soma de ângulos e diagonais
2.1) Fórmulas essenciais
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados: S = (n − 2)·180°.
Ângulo interno de polígono regular: ai = [(n − 2)·180°]/n.
Ângulo externo de polígono regular: ae = 360°/n.
Número de diagonais: d = n(n − 3)/2.
2.2) Passo a passo prático (descobrir n)
Passo 1: escolha a fórmula que envolve n (por exemplo, soma dos internos). Passo 2: substitua o valor dado. Passo 3: isole n.
Exemplo: a soma dos ângulos internos é 1260°. Então (n − 2)·180 = 1260 ⇒ n − 2 = 7 ⇒ n = 9.
3) Triângulos: semelhança e Teorema de Pitágoras
3.1) Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes quando têm a mesma forma (ângulos correspondentes iguais) e lados proporcionais.
Critérios: AA (dois ângulos), LAL (dois lados proporcionais e ângulo compreendido igual), LLL (três lados proporcionais).
Razão de semelhança k: se um lado do triângulo maior é k vezes o correspondente do menor, então perímetros variam por k e áreas variam por k².
3.2) Passo a passo prático (proporção de lados)
Passo 1: confirme a correspondência (mesmos ângulos). Passo 2: escreva a proporção entre lados correspondentes. Passo 3: resolva a incógnita por regra de três.
Exemplo: triângulos semelhantes com lados correspondentes 6 ↔ 9 e x ↔ 12. Então 6/9 = x/12 ⇒ x = 12·6/9 = 8.
3.3) Teorema de Pitágoras
Em triângulo retângulo: a² = b² + c², onde a é a hipotenusa e b, c são catetos.
Exemplo: catetos 9 e 12. Hipotenusa a = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15.
3.4) Triângulos retângulos notáveis (atalhos úteis)
3-4-5 (e múltiplos): 6-8-10, 9-12-15 etc.
5-12-13 (e múltiplos): 10-24-26 etc.
45°-45°-90°: catetos iguais; hipotenusa = cateto·√2.
30°-60°-90°: se hipotenusa = 2a, então catetos são a e a√3.
4) Circunferência e círculo: arcos, cordas e ângulos
4.1) Conceitos e fórmulas
Comprimento da circunferência: C = 2πr.
Área do círculo: A = πr².
Arco em graus: fração do comprimento total. Se o arco subtende ângulo central θ (em graus), então comprimento do arco L = (θ/360)·2πr.
Setor circular: área do setor As = (θ/360)·πr².
Corda: segmento ligando dois pontos da circunferência.
4.2) Ângulos na circunferência
Ângulo central: vértice no centro; mede o mesmo que o arco correspondente.
Ângulo inscrito: vértice na circunferência; mede metade do arco correspondente.
Ângulo formado por cordas que se cruzam dentro do círculo: mede a metade da soma dos arcos interceptados.
Exemplo: um ângulo inscrito mede 35°. O arco correspondente mede 70°. O ângulo central que subtende o mesmo arco mede 70°.
4.3) Passo a passo prático (arco e setor)
Passo 1: identifique o raio r e o ângulo central θ. Passo 2: escolha se é comprimento (2πr) ou área (πr²). Passo 3: multiplique pela fração θ/360.
Exemplo: r = 6 cm e θ = 120°. Comprimento do arco: L = (120/360)·2π·6 = (1/3)·12π = 4π cm. Área do setor: As = (120/360)·π·6² = (1/3)·36π = 12π cm².
5) Áreas de figuras planas (com verificação de unidades)
5.1) Fórmulas principais
Quadrado: A = l².
Retângulo: A = b·h.
Paralelogramo: A = b·h (h é a altura relativa à base).
Triângulo: A = (b·h)/2.
Trapézio: A = [(B + b)·h]/2.
Losango: A = (D·d)/2 (diagonais).
Círculo: A = πr².
5.2) Verificação rápida: unidades
Perímetro e comprimentos: unidade linear (cm, m, km).
Área: unidade ao quadrado (cm², m²).
Volume: unidade ao cubo (cm³, m³) ou litros (1 L = 1 dm³).
5.3) Passo a passo prático (área com Pitágoras)
Exemplo: um triângulo isósceles tem lados iguais 13 cm e base 10 cm. Calcule a área.
Passo 1: a altura divide a base em 5 cm e 5 cm. Passo 2: aplique Pitágoras no triângulo retângulo: h² + 5² = 13² ⇒ h² = 169 − 25 = 144 ⇒ h = 12. Passo 3: área A = (b·h)/2 = (10·12)/2 = 60 cm².
6) Geometria espacial: prismas, pirâmides, cilindros, cones e esfera
6.1) Ideia central: área lateral, área total e volume
Em sólidos, a ESA costuma cobrar: (1) identificar a base e a altura; (2) usar fórmulas de volume; (3) calcular área lateral/total quando há planificação ou necessidade de material (papel, tinta, revestimento).
6.2) Prismas
Volume: V = Ab·h (Ab é a área da base).
Área lateral (prisma reto): Al = Pb·h (Pb é o perímetro da base).
Área total: At = Al + 2Ab.
Exemplo: prisma reto de base retangular 4 cm × 6 cm e altura 10 cm. Ab = 24 cm². V = 24·10 = 240 cm³. Pb = 2(4+6)=20. Al = 20·10 = 200 cm². At = 200 + 2·24 = 248 cm².
6.3) Pirâmides
Volume: V = (Ab·h)/3.
Área total: At = Ab + soma das áreas das faces laterais (triângulos).
Exemplo: pirâmide de base quadrada de lado 6 cm e altura 9 cm. Ab = 36. V = (36·9)/3 = 108 cm³.
6.4) Cilindro
Volume: V = πr²h.
Área lateral: Al = 2πrh.
Área total: At = 2πrh + 2πr².
Exemplo: r = 3 cm, h = 8 cm. V = π·9·8 = 72π cm³. Al = 2π·3·8 = 48π cm². At = 48π + 2π·9 = 66π cm².
6.5) Cone
Geratriz g (cone reto): g² = r² + h².
Volume: V = (πr²h)/3.
Área lateral: Al = πrg.
Área total: At = πrg + πr².
Exemplo: r = 5 cm, h = 12 cm. g = √(5²+12²)=√169=13. V = (π·25·12)/3 = 100π cm³. Al = π·5·13 = 65π cm². At = 65π + 25π = 90π cm².
6.6) Esfera
Área: A = 4πr².
Volume: V = (4/3)πr³.
Exemplo: r = 6 cm. A = 4π·36 = 144π cm². V = (4/3)π·216 = 288π cm³.
7) Verificação rápida: fórmulas e checagens de prova
7.1) Checklist de fórmulas (plana)
Polígono convexo: S = (n − 2)·180°; diagonais d = n(n − 3)/2.
Pitágoras: a² = b² + c² (a é hipotenusa).
Circunferência: C = 2πr; círculo: A = πr².
Arco: L = (θ/360)·2πr; setor: As = (θ/360)·πr².
Áreas: triângulo (b·h)/2; trapézio [(B+b)·h]/2; losango (D·d)/2.
7.2) Checklist de fórmulas (espacial)
Prisma: V = Ab·h; Al = Pb·h; At = Al + 2Ab.
Pirâmide: V = (Ab·h)/3.
Cilindro: V = πr²h; Al = 2πrh; At = 2πrh + 2πr².
Cone: g² = r² + h²; V = (πr²h)/3; Al = πrg; At = πrg + πr².
Esfera: A = 4πr²; V = (4/3)πr³.
7.3) Checagens rápidas de coerência
Se a medida pedida é área, o resultado deve sair em unidade².
Se a medida pedida é volume, o resultado deve sair em unidade³.
Em semelhança: se os lados multiplicam por k, a área multiplica por k².
Em arco/setor: θ deve estar em graus (ou converter para radianos se a fórmula exigir; aqui usamos graus com fração θ/360).
8) Exercícios (misturando conceitos)
Exercício 1 (polígonos + ângulos)
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é 1440°. Determine: (a) o número de lados n; (b) o número de diagonais.
Exercício 2 (paralelas + ângulos)
Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal. Um ângulo colateral interno mede (3x + 10)° e o outro mede (5x − 30)°. Determine x e as medidas dos ângulos.
Exercício 3 (semelhança + áreas)
Dois triângulos semelhantes têm razão de semelhança (maior/menor) igual a 3. Se a área do menor é 20 cm², determine a área do maior.
Exercício 4 (Pitágoras + área)
Um losango tem diagonais perpendiculares. Sabendo que as diagonais medem 10 cm e 24 cm, calcule: (a) a área; (b) o lado do losango.
Exercício 5 (círculo: arco + setor)
Em um círculo de raio 9 cm, calcule: (a) o comprimento de um arco de 80°; (b) a área do setor correspondente.
Exercício 6 (prisma + unidades)
Uma caixa em forma de prisma reto tem base retangular 30 cm × 20 cm e altura 40 cm. Calcule o volume em cm³ e em litros. (Use 1 L = 1000 cm³.)
Exercício 7 (cilindro + material)
Um cilindro de raio 7 cm e altura 15 cm será revestido apenas na lateral. Calcule a área lateral em cm² (deixe em função de π).
Exercício 8 (cone + Pitágoras)
Um cone reto tem raio 6 cm e geratriz 10 cm. Calcule: (a) a altura; (b) a área lateral; (c) o volume (em função de π).
Exercício 9 (esfera + comparação)
Uma esfera A tem raio 3 cm e uma esfera B tem raio 6 cm. Determine: (a) a razão entre as áreas A:B; (b) a razão entre os volumes A:B.
Exercício 10 (misto: semelhança + Pitágoras + setor)
Dois triângulos retângulos semelhantes têm hipotenusas 10 cm e 25 cm. No menor, um cateto mede 6 cm. (a) Determine os catetos do menor e do maior. (b) Considere um círculo de raio igual ao maior cateto do triângulo maior e calcule a área de um setor de 72° (em função de π).
9) Gabarito comentado (passo a passo)
Exercício 1
(a) (n − 2)·180 = 1440 ⇒ n − 2 = 8 ⇒ n = 10. (b) d = n(n − 3)/2 = 10·7/2 = 35.
Exercício 2
Colaterais internos somam 180°: (3x + 10) + (5x − 30) = 180 ⇒ 8x − 20 = 180 ⇒ x = 25. Ângulos: 3·25+10 = 85° e 5·25−30 = 95°.
Exercício 3
Áreas variam por k²: k = 3 ⇒ fator 9. Área do maior = 20·9 = 180 cm².
Exercício 4
(a) A = (D·d)/2 = (10·24)/2 = 120 cm². (b) Metades das diagonais: 5 e 12. Lado = √(5²+12²)=√169=13 cm.
Exercício 5
(a) L = (80/360)·2π·9 = (2/9)·18π = 4π cm. (b) As = (80/360)·π·9² = (2/9)·81π = 18π cm².
Exercício 6
Ab = 30·20 = 600 cm². V = Ab·h = 600·40 = 24000 cm³. Em litros: 24000/1000 = 24 L.
Exercício 7
Al = 2πrh = 2π·7·15 = 210π cm².
Exercício 8
(a) g² = r² + h² ⇒ 10² = 6² + h² ⇒ 100 = 36 + h² ⇒ h² = 64 ⇒ h = 8 cm. (b) Al = πrg = π·6·10 = 60π cm². (c) V = (πr²h)/3 = (π·36·8)/3 = 96π cm³.
Exercício 9
(a) Áreas: 4πr² ⇒ razão A:B = 3²:6² = 9:36 = 1:4. (b) Volumes: (4/3)πr³ ⇒ razão A:B = 3³:6³ = 27:216 = 1:8.
Exercício 10
(a) Razão de semelhança (maior/menor) = 25/10 = 2,5. No menor: hipotenusa 10 e cateto 6 ⇒ outro cateto = √(10²−6²)=√(100−36)=√64=8. No maior: catetos 6·2,5=15 e 8·2,5=20. (b) Raio do círculo = maior cateto do maior triângulo = 20. Área do setor de 72°: As = (72/360)·π·20² = (1/5)·400π = 80π (unidade²).
