Este capítulo foca em aritmética e proporcionalidade com abordagem de prova: interpretar o enunciado, montar a conta/equação, conferir unidades e validar o resultado por estimativa.
Operações com inteiros e racionais (frações e decimais)
Inteiros: sinais e prioridade
Em expressões com inteiros, respeite a prioridade: parênteses, potências/raízes, multiplicação/divisão, soma/subtração. Para sinais: na multiplicação/divisão, sinais iguais dão positivo e sinais diferentes dão negativo.
Exemplo: (−3)·(−5)=+15 e (−12)÷(+3)=−4.
Exemplo com prioridade: 8−2·(3+1)=8−2·4=8−8=0.
Racionais: frações e decimais
Número racional pode ser escrito como fração a/b (b≠0) ou decimal finito/periódico. Em prova, fração costuma facilitar a exatidão.
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Soma/subtração de frações: use denominador comum. Ex.: 2/3+1/6=4/6+1/6=5/6.
Multiplicação: multiplique numeradores e denominadores. Ex.: (3/5)·(10/9)=30/45=2/3.
Divisão: multiplique pela inversa. Ex.: (4/7)÷(2/3)=(4/7)·(3/2)=12/14=6/7.
Passo a passo prático: transformar enunciado em conta
1) Identifique o que é “total”, “parte”, “diferença” ou “produto”. 2) Se houver “de” (em porcentagem e frações), geralmente indica multiplicação. 3) Se houver “a mais/a menos”, indica soma/subtração. 4) Faça uma estimativa rápida para conferir se o resultado faz sentido.
Exemplo: “Um militar percorreu 3/4 de 12 km e depois mais 1/3 do restante. Quantos km percorreu?” Primeiro: 3/4 de 12 = 9 km. Restante: 3 km. Depois: 1/3 de 3 = 1 km. Total: 10 km (confere: é menor que 12).
Potências e raízes
Regras essenciais de potências
a^m·a^n=a^(m+n)
a^m÷a^n=a^(m−n) (a≠0)
(a^m)^n=a^(m·n)
(ab)^n=a^n·b^n
a^0=1 (a≠0) e a^(−n)=1/a^n
Exemplo: 2^3·2^5=2^8=256.
Exemplo: (3^2)^3=3^6=729.
Raízes e simplificação
Raiz quadrada é o número que ao quadrado dá o radicando. Para simplificar, fatorize e “puxe” pares para fora da raiz.
Exemplo: √72=√(36·2)=6√2.
Exemplo: √(a^2)=|a| (em problemas numéricos com a≥0, vira a).
Passo a passo prático: simplificar uma raiz
1) Fatorize o número em produto de quadrados perfeitos. 2) Separe o quadrado perfeito. 3) Extraia a raiz do quadrado perfeito. 4) Verifique se ainda há fator quadrado dentro.
Notação científica
Usada para escrever números muito grandes ou muito pequenos como a·10^n, com 1≤a<10 e n inteiro.
Exemplo: 4500000 = 4,5·10^6.
Exemplo: 0,00032 = 3,2·10^(−4).
Operações com notação científica
Multiplicação: (a·10^m)(b·10^n)=(ab)·10^(m+n).
Divisão: (a·10^m)/(b·10^n)=(a/b)·10^(m−n).
Exemplo: (3·10^5)(2·10^−3)=6·10^2=600.
Razão e proporção
Razão
Razão compara duas grandezas por divisão, mantendo unidades coerentes. Pode ser escrita como a/b, a:b ou “a para b”.
Exemplo: razão entre 300 m e 2 km: primeiro iguale unidades: 2 km=2000 m. Razão = 300/2000=3/20.
Proporção
Proporção é igualdade entre duas razões: a/b=c/d. Propriedade fundamental: a·d=b·c (produto dos meios = produto dos extremos).
Exemplo: x/12=3/4 ⇒ 4x=36 ⇒ x=9.
Passo a passo prático: checar unidades em razão/proporção
1) Converta para a mesma unidade antes de montar a razão. 2) Se a proporção envolve grandezas diferentes (ex.: km e horas), mantenha a unidade no resultado (ex.: km/h). 3) Ao final, verifique se a unidade obtida é a pedida no enunciado.
Regra de três simples
Usada quando há duas grandezas relacionadas e uma delas varia proporcionalmente à outra (direta ou inversa).
Diretamente proporcional
Se uma grandeza aumenta e a outra também aumenta (ou ambas diminuem), é direta.
Passo a passo: 1) Monte a tabela com grandezas alinhadas. 2) Identifique a relação (direta). 3) Faça a proporção. 4) Resolva por multiplicação cruzada.
Exemplo: 6 cadernos custam R$ 54. Quanto custam 8 cadernos? Direta: 6 → 54, 8 → x. x=54·8/6=72. (Estimativa: 8 é 1,33 vezes 6, então preço ~1,33·54=72).
Inversamente proporcional
Se uma grandeza aumenta e a outra diminui, é inversa (ex.: trabalhadores e tempo, velocidade e tempo para mesma distância).
Passo a passo: 1) Monte a tabela. 2) Marque como inversa. 3) Na proporção, inverta uma das razões ou use produto constante.
Exemplo: 4 soldados fazem uma tarefa em 6 horas. Em quantas horas 8 soldados fazem a mesma tarefa? Inversa: 4·6=8·t ⇒ t=24/8=3 horas.
Regra de três composta
Usada quando mais de duas grandezas influenciam a grandeza procurada.
Passo a passo prático (método de setas)
1) Organize as grandezas em colunas. 2) Defina a grandeza objetivo (a que contém o x). 3) Para cada coluna, compare a linha conhecida com a linha do x e marque: direta (↑↑) ou inversa (↑↓). 4) Monte a fração multiplicando os fatores, aplicando inversão quando for inversa. 5) Resolva e confira unidade.
Exemplo: 6 máquinas produzem 900 peças em 5 dias, trabalhando 8 h/dia. Quantas peças 10 máquinas produzem em 3 dias, a 6 h/dia? Produção é direta com máquinas, dias e horas/dia. Então: x=900·(10/6)·(3/5)·(6/8). Simplificando: 900·(10/6)·(3/5)·(6/8)=900·(10)·(3)/(5·8)=900·30/40=900·3/4=675 peças. (Confere: menos dias e menos horas reduzem bastante).
Porcentagem
Conceito e conversões rápidas
p% significa p/100. Em cálculos, transforme em decimal ou fração.
Exemplos: 25% = 0,25 = 1/4; 12,5% = 0,125 = 1/8; 20% = 1/5.
Porcentagem de uma quantidade
Passo a passo: 1) Converta p% em fator (p/100). 2) Multiplique pelo valor base. 3) Confira se o resultado é menor (desconto) ou maior (aumento) que o base.
Exemplo: 18% de 250 = 0,18·250 = 45.
Aumentos e descontos sucessivos
Em sucessivos, não some percentuais diretamente (exceto em casos específicos). Use fatores multiplicativos.
Aumento de p%: multiplica por (1+p/100).
Desconto de p%: multiplica por (1−p/100).
Exemplo: preço 200 com aumento de 10% e depois desconto de 10%: 200·1,10·0,90=198. Não volta ao original.
Variação percentual
Variação percentual = (valor final − valor inicial)/valor inicial · 100%.
Exemplo: de 80 para 92: variação = (12/80)·100%=15%.
Médias: aritmética e ponderada
Média aritmética simples
É a soma dos valores dividida pela quantidade de valores.
Exemplo: notas 6, 7 e 8: média = (6+7+8)/3 = 7.
Média ponderada
Usada quando cada valor tem um “peso” (importância). Fórmula: (x1·p1 + x2·p2 + ...)/(p1+p2+...).
Passo a passo: 1) Multiplique cada valor pelo seu peso. 2) Some os produtos. 3) Divida pela soma dos pesos. 4) Confira se a média fica entre o menor e o maior valor (regra prática).
Exemplo: prova 1: 7 (peso 2), prova 2: 5 (peso 1), prova 3: 9 (peso 3). Média = (7·2 + 5·1 + 9·3)/(2+1+3)=(14+5+27)/6=46/6≈7,67.
Exercícios (com foco em interpretação, equações e unidades)
Lista 1 — Inteiros, racionais, potências, raízes e notação científica
1) Calcule: −18 + 7·(−3) − (−5)·2.
2) Simplifique: (5/6) − (1/4) + (2/3).
3) Um reservatório estava com 3/5 de sua capacidade. Após retirar 1/6 da capacidade total, ficou com qual fração da capacidade? (Atenção: “da capacidade total”, não “do que tinha”.)
4) Calcule e simplifique: (2^5·2^−3) ÷ 2^2.
5) Simplifique: √200 e √(50/2).
6) Escreva em notação científica: 0,00000084 e 735000000.
7) Efetue: (6,4·10^5) ÷ (1,6·10^2) e dê o resultado em notação científica.
Lista 2 — Razão, proporção e regra de três simples
1) A razão entre 45 minutos e 2 horas, na forma de fração irredutível, é:
2) Em uma escala, 3 cm no mapa representam 12 km reais. Quantos km representam 5 cm? (Converta e mantenha unidade.)
3) Se 8 kg de ração duram 10 dias para um cão, por quantos dias durarão 14 kg, mantendo o consumo diário? (Direta.)
4) Um pelotão com 12 militares conclui uma atividade em 9 horas. Em quantas horas 18 militares concluem a mesma atividade, com mesmo rendimento? (Inversa.)
5) Em uma proporção, x/15 = 14/21. Determine x.
Lista 3 — Regra de três composta (montagem e conferência)
1) 5 impressoras produzem 1200 páginas em 4 horas. Quantas páginas 8 impressoras produzem em 6 horas, no mesmo ritmo? (Direta em tudo.)
2) 10 operários constroem um muro em 12 dias, trabalhando 6 h/dia. Em quantos dias 15 operários constroem o mesmo muro trabalhando 8 h/dia? (Inversa com operários, direta com horas/dia.)
3) Um veículo percorre 360 km em 5 horas. Mantendo a mesma velocidade, quantos km percorrerá em 3 h 30 min? (Converta 30 min para hora.)
Lista 4 — Porcentagem (sucessivos e variação)
1) Calcule 7,5% de 320.
2) Um produto de R$ 250 sofre desconto de 12% e depois mais 8% sobre o preço já descontado. Qual o preço final?
3) Um soldo hipotético passa de R$ 1800 para R$ 1980. Qual a variação percentual?
4) Um item aumenta 20% e depois aumenta mais 10%. Qual o aumento percentual total em relação ao preço inicial?
5) Após um desconto de 25%, o preço ficou em R$ 150. Qual era o preço inicial?
Lista 5 — Médias (simples e ponderada)
1) As idades em um grupo são 18, 19, 20, 21 e 22. Calcule a média.
2) Um candidato fez três simulados com notas 60, 70 e 80 (em 100). Qual a média simples?
3) Em um curso, a nota final é média ponderada: prova objetiva (peso 3) e redação (peso 2). Um aluno tirou 72 na objetiva e 80 na redação. Qual a nota final?
4) Um atleta correu 2 km a 12 km/h e depois 3 km a 10 km/h. Calcule a velocidade média no percurso (dica: use distância total/tempo total; atenção às unidades).
Questões mistas no padrão ESA (interpretação + cálculo)
1) Um material é embalado em caixas. Cada caixa comporta 3/4 de kg. Se foram embalados 18 kg, quantas caixas completas foram usadas? (Considere apenas caixas completas.)
2) Um mapa usa escala em que 1 cm representa 2,5 km. A distância entre dois pontos no mapa é 7,2 cm. A distância real, em km, é:
3) Uma equipe precisa transportar 2,4·10^3 kg de suprimentos. Se cada viagem leva 3,0·10^2 kg, quantas viagens são necessárias?
4) Um valor sofre aumento de 15% e em seguida desconto de 10%. O fator multiplicativo total aplicado ao valor inicial é:
5) Em uma avaliação, a média final é ponderada: prova 1 (peso 2), prova 2 (peso 3), prova 3 (peso 5). Um aluno obteve 6,0; 7,0; 8,0. A média final é:
6) Para uma missão, 6 viaturas consomem 84 litros em 7 horas. Mantendo o mesmo consumo por viatura e por hora, quantos litros 10 viaturas consumirão em 5 horas?
7) Um candidato acertou 36 de 50 questões em um simulado. No simulado seguinte, acertou 42 de 60. Em qual simulado o percentual de acertos foi maior? (Mostre o cálculo.)
Modelos de montagem (para treinar no rascunho)
Modelo 1 — “de” como multiplicação
p% de N → (p/100)·NModelo 2 — regra de três simples direta
a → b (mesma grandeza/condição) então x = b·(novo a)/(a)Modelo 3 — inversa (produto constante)
a1·b1 = a2·b2 → b2 = (a1·b1)/a2Modelo 4 — média ponderada
MP = (Σ(valor·peso)) / (Σ pesos)
