Neste capítulo, você vai organizar as principais ferramentas de Álgebra exigidas na ESA: manipulação de expressões, resolução de equações/inequações, sistemas lineares e funções (afim e quadrática). O foco é ganhar rapidez com técnicas padrão e interpretar parâmetros em gráficos.
1) Expressões algébricas: produtos notáveis, fatoração e simplificação
1.1 Produtos notáveis (identidades úteis)
Produtos notáveis são fórmulas que permitem expandir ou reconhecer padrões rapidamente. As mais cobradas são:
Quadrado da soma: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Quadrado da diferença: (a − b)² = a² − 2ab + b²
Produto da soma pela diferença: (a + b)(a − b) = a² − b²
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Exemplo 1 (expansão): Simplifique (2x − 3)².
Passo a passo:
Identifique: (a − b)² com a = 2x e b = 3.
Aplique: a² − 2ab + b² = (2x)² − 2(2x)(3) + 3².
Calcule: 4x² − 12x + 9.
Exemplo 2 (reconhecimento): Fatorar 9y² − 25.
Passo a passo:
Reconheça diferença de quadrados: a² − b².
Escreva: 9y² − 25 = (3y)² − 5².
Fatore: (3y − 5)(3y + 5).
1.2 Fatoração: técnicas mais usadas
Fatorar é escrever uma expressão como produto de fatores. Isso ajuda a simplificar, resolver equações e analisar funções.
Fator comum em evidência: ax + ay = a(x + y)
Agrupamento: separar em grupos para aparecer fator comum
Trinômio do 2º grau: ax² + bx + c (quando possível)
Diferença de quadrados: a² − b² = (a − b)(a + b)
Quadrado perfeito: a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
Exemplo 3 (fator comum): Fatorar 6x² − 9x.
Passo a passo:
Maior fator comum: 3x.
Coloque em evidência: 6x² − 9x = 3x(2x − 3).
Exemplo 4 (agrupamento): Fatorar x² + 3x + 2x + 6.
Passo a passo:
Agrupe: (x² + 3x) + (2x + 6).
Fatore cada grupo: x(x + 3) + 2(x + 3).
Coloque (x + 3) em evidência: (x + 3)(x + 2).
Exemplo 5 (trinômio): Fatorar x² − 5x + 6.
Passo a passo:
Procure dois números com produto 6 e soma −5: −2 e −3.
Escreva: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
1.3 Simplificação de expressões algébricas
Simplificar é reduzir a expressão mantendo equivalência, usando fatoração e cancelamento de fatores (com atenção às restrições do denominador).
Exemplo 6 (fração algébrica): Simplifique (x² − 9)/(x² − 3x).
Passo a passo:
Fatore numerador: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
Fatore denominador: x² − 3x = x(x − 3).
Cancele o fator comum (x − 3), desde que x ≠ 3.
Resultado: (x + 3)/x, com restrições: x ≠ 0 e x ≠ 3.
Erro comum: cancelar termos que não são fatores. Por exemplo, em (x + 2)/(x + 5) não existe cancelamento possível.
2) Equações e inequações do 1º grau
2.1 Equações do 1º grau
Uma equação do 1º grau tem a forma ax + b = 0 (com a ≠ 0). O objetivo é isolar x.
Exemplo 7: Resolva 3(2x − 1) − 5 = x + 4.
Passo a passo:
Distribua: 3(2x − 1) = 6x − 3.
Substitua: (6x − 3) − 5 = x + 4 → 6x − 8 = x + 4.
Leve x para a esquerda e números para a direita: 6x − x = 4 + 8.
5x = 12 → x = 12/5.
2.2 Inequações do 1º grau
Inequações do 1º grau são como equações, mas com sinais <, >, ≤, ≥. Regra essencial: ao multiplicar ou dividir por número negativo, o sinal inverte.
Exemplo 8: Resolva −2x + 3 ≥ 7.
Passo a passo:
Subtraia 3: −2x ≥ 4.
Divida por −2 (inverte o sinal): x ≤ −2.
3) Equações e inequações do 2º grau
3.1 Equação do 2º grau: formas e resolução
Uma equação do 2º grau tem a forma ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Métodos comuns: fatoração (quando possível) e fórmula de Bhaskara.
Bhaskara: x = (−b ± √Δ)/(2a), com Δ = b² − 4ac.
Exemplo 9 (por fatoração): Resolva x² − 7x + 12 = 0.
Passo a passo:
Fatore: x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4).
Produto zero: (x − 3)(x − 4) = 0.
Soluções: x = 3 ou x = 4.
Exemplo 10 (por Bhaskara): Resolva 2x² + x − 3 = 0.
Passo a passo:
Identifique: a = 2, b = 1, c = −3.
Calcule Δ: Δ = 1² − 4·2·(−3) = 1 + 24 = 25.
√Δ = 5.
x = (−1 ± 5)/(2·2) = (−1 ± 5)/4.
x₁ = (4)/4 = 1; x₂ = (−6)/4 = −3/2.
3.2 Inequações do 2º grau
Uma inequação do 2º grau envolve expressão quadrática, por exemplo ax² + bx + c > 0. O método padrão é: encontrar as raízes (se existirem) e analisar o sinal da parábola.
Ideia-chave:
Se a > 0, a parábola abre para cima: é positiva fora das raízes e negativa entre elas (quando há duas raízes reais distintas).
Se a < 0, abre para baixo: sinal invertido.
Exemplo 11: Resolva x² − 5x + 6 ≥ 0.
Passo a passo:
Fatore: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Raízes: x = 2 e x = 3.
Como a = 1 > 0, a expressão é ≥ 0 fora do intervalo entre as raízes e = 0 nas raízes.
Solução: x ≤ 2 ou x ≥ 3.
4) Sistemas lineares (2×2) e interpretação
4.1 Conceito e métodos
Um sistema linear 2×2 tem duas equações e duas incógnitas. Pode representar interseção de duas retas no plano. Métodos comuns: substituição e eliminação.
Exemplo 12 (eliminação): Resolva o sistema: 2x + y = 7 e 3x − y = 8.
Passo a passo:
Some as equações para eliminar y: (2x + y) + (3x − y) = 7 + 8.
5x = 15 → x = 3.
Substitua em 2x + y = 7: 2·3 + y = 7 → 6 + y = 7 → y = 1.
Interpretação: a solução (3, 1) é o ponto de interseção das duas retas.
4.2 Classificação (visão rápida)
SPD (uma solução): retas concorrentes.
SPI (infinitas soluções): retas coincidentes (equações proporcionais).
SI (nenhuma solução): retas paralelas distintas.
5) Função afim (1º grau): gráfico, zero e parâmetros
5.1 Definição e parâmetros
Função afim: f(x) = ax + b, com a ≠ 0.
a é o coeficiente angular (inclinação): se a > 0, a função é crescente; se a < 0, decrescente.
b é o coeficiente linear: f(0) = b (intercepto no eixo y).
Zero da função: valor de x tal que f(x) = 0. Em f(x) = ax + b, o zero é x = −b/a.
Exemplo 13: Para f(x) = 2x − 6, determine o zero e descreva o gráfico.
Passo a passo:
Zero: 2x − 6 = 0 → 2x = 6 → x = 3.
Intercepto em y: f(0) = −6.
Como a = 2 > 0, a reta é crescente.
Pontos úteis: (0, −6) e (3, 0). A reta passa por eles.
5.2 Modelagem com função afim
Em concursos, é comum modelar custo total, pontuação, distância em movimento uniforme, entre outros, com f(x) = ax + b.
Exemplo 14 (custo): Um serviço cobra taxa fixa de R$ 30 mais R$ 5 por unidade. Modele e encontre o custo para 12 unidades.
Passo a passo:
Taxa fixa → b = 30.
Valor por unidade → a = 5.
Função: C(x) = 5x + 30.
C(12) = 5·12 + 30 = 60 + 30 = 90.
6) Função quadrática: zeros, vértice, concavidade e gráfico
6.1 Definição e concavidade
Função quadrática: f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0.
Se a > 0, concavidade para cima (vértice é mínimo).
Se a < 0, concavidade para baixo (vértice é máximo).
6.2 Zeros (raízes) e relação com o gráfico
Os zeros são as soluções de ax² + bx + c = 0. No gráfico, são os pontos onde a parábola corta o eixo x (se Δ ≥ 0).
Exemplo 15: Encontre os zeros de f(x) = x² − 4x − 5.
Passo a passo:
Resolva x² − 4x − 5 = 0.
Fatore: (x − 5)(x + 1) = 0.
Zeros: x = 5 e x = −1.
6.3 Vértice e interpretação dos parâmetros
O vértice (xv, yv) é o ponto de máximo ou mínimo da parábola.
xv = −b/(2a)
yv = f(xv) (ou yv = −Δ/(4a))
Exemplo 16: Para f(x) = x² − 4x − 5, determine o vértice.
Passo a passo:
a = 1, b = −4.
xv = −(−4)/(2·1) = 4/2 = 2.
yv = f(2) = 2² − 4·2 − 5 = 4 − 8 − 5 = −9.
Vértice: (2, −9). Como a > 0, é ponto de mínimo.
6.4 Forma fatorada e forma de vértice
Três formas úteis da função quadrática:
Geral: ax² + bx + c
Fatorada (se houver raízes reais): a(x − x1)(x − x2)
Forma de vértice: a(x − xv)² + yv
Exemplo 17 (completando quadrado): Escreva f(x) = x² − 4x − 5 na forma de vértice.
Passo a passo:
Separe: x² − 4x − 5 = (x² − 4x) − 5.
Complete quadrado: x² − 4x = (x − 2)² − 4.
Substitua: f(x) = [(x − 2)² − 4] − 5 = (x − 2)² − 9.
Leitura rápida: vértice (2, −9) aparece diretamente; concavidade para cima (a = 1).
6.5 Análise de gráfico (o que a ESA costuma exigir)
Para esboçar e interpretar um gráfico de função quadrática, organize:
Concavidade (sinal de a).
Intercepto em y: f(0) = c.
Zeros (se existirem): resolvendo ax² + bx + c = 0.
Vértice (xv, yv) e eixo de simetria x = xv.
Exemplo 18 (interpretação): Considere f(x) = −x² + 6x − 8.
Passo a passo:
a = −1 → concavidade para baixo (há máximo).
Zeros: −x² + 6x − 8 = 0 → x² − 6x + 8 = 0 → (x − 2)(x − 4) = 0 → x = 2 e x = 4.
Vértice: xv = −b/(2a) = −6/(2·(−1)) = 3. yv = f(3) = −9 + 18 − 8 = 1.
Logo, valor máximo é 1 quando x = 3; a parábola corta o eixo x em 2 e 4.
7) Questões integradoras (modelagem e técnicas mistas)
Resolva sem calculadora, organizando as etapas. Em questões de modelagem, comece definindo a variável e montando a equação/função.
Questão 1 (simplificação + equação)
Resolva: (x² − 9)/(x² − 3x) = 2, com x no domínio da expressão.
Questão 2 (inequação do 2º grau em contexto)
Uma pontuação P(x) é dada por P(x) = −x² + 10x − 16, onde x é o número de acertos em um bloco (0 ≤ x ≤ 10). Para quais valores inteiros de x a pontuação é pelo menos 5?
Questão 3 (sistema linear: compra e venda)
Em uma cantina, 2 sanduíches e 1 suco custam R$ 19, e 1 sanduíche e 2 sucos custam R$ 17. Determine o preço do sanduíche e do suco.
Questão 4 (função afim: tarifa)
Uma corrida tem custo C(d) = ad + b, onde d é a distância em km. Sabe-se que C(3) = 18 e C(7) = 34. Encontre a e b e determine a distância quando C(d) = 50.
Questão 5 (função quadrática: máximo)
Uma área retangular A(x) é modelada por A(x) = −x² + 12x, com x em metros e 0 ≤ x ≤ 12. Determine o valor máximo da área e em que x ocorre.
Questão 6 (equação do 2º grau por modelagem)
Um candidato precisa atingir 60 pontos. Ele já tem 24 pontos fixos e fará uma prova em que a pontuação adicional é dada por S(x) = x(10 − x), onde x é um número inteiro entre 0 e 10. Para quais valores de x ele atinge pelo menos 60 pontos no total?
Questão 7 (parâmetros e gráfico)
Considere f(x) = (x − k)² − 4. Determine k para que a parábola tenha um zero em x = 1. Em seguida, encontre o outro zero.
Questão 8 (mistura: fatoração + inequação)
Resolva: (x² − 4x)/(x − 4) > 0, indicando o conjunto solução.
