Matemática Financeira Caixa – Séries de pagamentos e operações de crédito

Neste capítulo, o foco é calcular e comparar operações de crédito com séries de pagamentos (parcelas), entendendo como a prestação é formada, como o saldo devedor evolui e como analisar custo e prazo em propostas diferentes.

Séries de pagamentos: o que são e como modelar

Uma série de pagamentos é uma sequência de parcelas em datas regulares (mensal, por exemplo). Em operações de crédito, normalmente é uma série postecipada (pagamento no fim de cada período): você toma o crédito hoje e paga a 1ª parcela após 1 mês.

Elementos que você precisa identificar

• PV (valor presente): valor financiado (ou saldo devedor no início).
• i: taxa por período (ex.: ao mês).
• n: número de parcelas.
• PMT: valor da prestação (parcela).
• Saldo devedor (SD): quanto falta pagar após cada parcela.

Em séries uniformes (parcelas iguais), o PV e a PMT se relacionam pela fórmula de anuidade (postecipada):

PV = PMT * [1 - (1+i)^(-n)] / i

Reorganizando para achar a prestação:

PMT = PV * i / [1 - (1+i)^(-n)]

Sistemas de amortização: SAC e Price

Em qualquer sistema, cada prestação é composta por juros do período + amortização (parte que reduz o saldo devedor).

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SAC (Sistema de Amortização Constante)

No SAC, a amortização é constante em todas as parcelas. Assim, os juros caem ao longo do tempo (porque o saldo devedor diminui), e a prestação também tende a cair.

Fórmulas básicas:

• Amortização (A): A = PV / n
• Juros do período t: Jt = SD(t-1) * i
• Prestação do período t: PMTt = A + Jt
• Novo saldo: SDt = SD(t-1) - A

Passo a passo prático (SAC)

Exemplo: PV = 12.000, i = 2% a.m., n = 6.

• 1) Calcule a amortização: A = 12.000/6 = 2.000
• 2) Parcela 1: juros J1 = 12.000*0,02 = 240; prestação PMT1 = 2.000 + 240 = 2.240; saldo SD1 = 12.000 - 2.000 = 10.000
• 3) Parcela 2: juros J2 = 10.000*0,02 = 200; prestação PMT2 = 2.000 + 200 = 2.200; saldo SD2 = 8.000
• 4) Repita até a parcela n (juros diminuem e a prestação cai).

Leitura típica em prova: no SAC, amortização constante, prestação decrescente, juros decrescentes.

Price (Sistema Francês)

No Price, a prestação é constante (em taxa fixa), mas a composição muda: no começo, paga-se mais juros e menos amortização; com o tempo, os juros caem e a amortização aumenta.

Para calcular a prestação (PMT) no Price, usa-se a fórmula de anuidade:

PMT = PV * i / [1 - (1+i)^(-n)]

Depois, em cada parcela:

• Jt = SD(t-1) * i
• Amortização At = PMT - Jt
• SDt = SD(t-1) - At

Passo a passo prático (Price)

Exemplo: PV = 12.000, i = 2% a.m., n = 6.

1) Calcule (1+i)^(-n): (1,02)^(-6) ≈ 1/1,126162 ≈ 0,88849

2) Denominador: 1 - 0,88849 = 0,11151

3) Prestação: PMT = 12.000 * 0,02 / 0,11151 ≈ 240 / 0,11151 ≈ 2.152,70

4) Parcela 1: J1 = 12.000*0,02 = 240; A1 = 2.152,70 - 240 = 1.912,70; SD1 = 12.000 - 1.912,70 = 10.087,30

5) Parcela 2: J2 = 10.087,30*0,02 = 201,75; A2 = 2.152,70 - 201,75 = 1.950,95; SD2 = 8.136,35

Leitura típica em prova: no Price, prestação constante, amortização crescente, juros decrescentes.

Saldo devedor: leitura e cálculos recorrentes

O saldo devedor é o “principal” ainda não amortizado. Em questões, é comum pedirem:

• Saldo após k parcelas
• Quanto de juros foi pago até certo momento
• Comparação de saldo entre SAC e Price

Atalho conceitual para comparação SAC x Price

• No início: Price amortiza menos (paga mais juros), então o saldo cai mais devagar.
• No início: SAC amortiza mais (amortização fixa), então o saldo cai mais rápido.
• Em geral (mesma taxa e prazo): Price tende a ter maior total de juros que SAC, porque mantém saldo mais alto por mais tempo.

Operações de crédito: CET e custo efetivo

O Custo Efetivo Total (CET) é uma taxa que busca refletir o custo total da operação para o cliente, considerando não só os juros, mas também encargos e despesas cobradas (por exemplo, tarifas e seguros quando aplicáveis). Em prova, a ideia central é: não compare propostas apenas pela taxa nominal; compare pelo CET e pelo fluxo de pagamentos.

Como o CET aparece na prática de cálculo

Quando existem custos adicionais embutidos, o valor líquido recebido pelo cliente pode ser menor que o valor financiado “de contrato”. Isso altera a taxa efetiva do negócio.

Exemplo (efeito de tarifa no custo): contrato indica PV = 10.000 em 12 parcelas, mas há tarifa de 200 cobrada no ato (descontada). O cliente recebe 9.800 líquidos, mas paga as parcelas calculadas sobre 10.000. O custo efetivo é maior do que se imagina olhando só a taxa do contrato.

Em termos de modelagem, a taxa efetiva (associada ao CET) é a taxa i que iguala o valor presente das parcelas ao valor líquido recebido:

Valor líquido recebido = Σ [PMT / (1+i)^t], de t=1 até n

Em questões objetivas, muitas vezes não pedem resolver i por tentativa; pedem reconhecer que reduzir o valor líquido mantendo parcelas aumenta a taxa efetiva, ou comparar duas propostas com e sem custos.

Comparação de propostas: custo, prazo e parcela

Para comparar propostas, organize sempre os mesmos itens:

• Valor líquido recebido (o que entra na mão do cliente)
• Parcela e quantidade de parcelas
• Total pago (PMT*n, quando parcelas fixas)
• Total de juros e encargos (total pago - valor financiado, com cuidado se houver tarifas à vista)
• CET (quando informado, é o comparador padrão)

Passo a passo para comparar duas propostas (método rápido)

Cenário: cliente precisa de 20.000 líquidos.

• Proposta A: taxa menor, mas tarifa alta descontada no ato.
• Proposta B: taxa maior, sem tarifa.

1) Ajuste o PV para o valor líquido: se há tarifa descontada, o PV “contratual” pode ser maior que o líquido. Ex.: para receber 20.000 líquidos com tarifa 500 descontada, o contrato pode ser 20.500 (dependendo da regra da questão).

2) Calcule (ou compare) a parcela: se for Price, use PMT = PV * i / [1 - (1+i)^(-n)].

3) Compare o total pago: PMT*n (se parcelas fixas). Se SAC, some as prestações (ou use média aproximada quando permitido pela questão, mas preferencialmente some as parcelas pedidas).

4) Se o CET for fornecido, ele sintetiza o custo: CET menor tende a ser melhor, desde que o prazo e o fluxo sejam comparáveis.

Cálculos com parcelas: situações bancárias recorrentes

1) Encontrar a parcela (Price) dado PV, i e n

Exemplo: PV = 30.000, i = 1,5% a.m., n = 24.

PMT = PV * i / [1 - (1+i)^(-n)]

Procedimento: calcule (1+i)^(-n), depois o denominador, depois a PMT. Em prova, pode vir com aproximações ou tabela/fator fornecido.

2) Encontrar o PV (capacidade de crédito) dado PMT, i e n

Exemplo: PMT = 1.200, i = 2% a.m., n = 18.

PV = PMT * [1 - (1+i)^(-n)] / i

Interpretação: é o “quanto dá para financiar” com uma parcela máxima.

3) Quitar antecipadamente: saldo devedor como valor presente das parcelas restantes

Em taxa fixa, o saldo devedor em um momento pode ser visto como o valor presente das parcelas que faltam, descontadas pela taxa do contrato (ou taxa de liquidação indicada na questão).

Exemplo conceitual: faltam m parcelas de PMT, taxa i. Então:

SD = PMT * [1 - (1+i)^(-m)] / i

Isso aparece em questões de “quanto deve para quitar após k parcelas” (especialmente em Price).

4) Análise de custo x prazo: efeito de alongar o financiamento

Ao aumentar n (prazo), em geral:

• A parcela diminui (facilita o fluxo mensal).
• O total pago aumenta (mais períodos gerando juros).

Exemplo prático: mesmo PV e i, comparar n=24 vs n=36 no Price: a prestação de 36 é menor, mas o somatório das 36 parcelas tende a ser maior.

Exercícios aplicados (com gabarito)

Exercício 1 (SAC): primeira e última parcela

Um financiamento de 18.000 em 9 meses, taxa 2% a.m., SAC. Calcule a 1ª e a 9ª prestação.

Resolução:

• A = 18.000/9 = 2.000
• 1ª: J1 = 18.000*0,02 = 360; PMT1 = 2.000+360 = 2.360
• Antes da 9ª, o saldo é SD8 = 18.000 - 8*2.000 = 2.000
• 9ª: J9 = 2.000*0,02 = 40; PMT9 = 2.000+40 = 2.040

Exercício 2 (Price): composição da 1ª parcela

PV = 10.000, i = 3% a.m., n = 5, Price. Sabendo que a prestação calculada é PMT ≈ 2.183,64, encontre juros e amortização da 1ª parcela.

Resolução:

• J1 = 10.000*0,03 = 300
• A1 = 2.183,64 - 300 = 1.883,64
• SD1 = 10.000 - 1.883,64 = 8.116,36

Exercício 3 (Comparação): qual tem menor custo total?

Duas propostas para PV = 15.000, n = 10 (parcelas mensais), taxa fixa. Proposta A: i = 2% a.m., sem tarifa. Proposta B: i = 1,8% a.m., mas tarifa de 300 descontada no ato (cliente recebe 14.700). Ambas no Price. Sem calcular a taxa efetiva, indique qual tende a ser mais cara para o cliente e por quê.

Gabarito comentado: a Proposta B tende a ficar mais cara do que parece, porque o cliente recebe menos (14.700) mas paga parcelas calculadas sobre 15.000. A tarifa aumenta o custo efetivo (CET). Dependendo dos valores, a B pode superar a A em custo total/efetivo mesmo com taxa nominal menor.

Exercício 4 (PV a partir da parcela): capacidade de financiamento

Um cliente pode pagar até 900 por mês. Taxa 2,5% a.m., prazo 12 meses, Price. Estime o PV máximo (use a fórmula do PV de anuidade).

Resolução (forma):

PV = 900 * [1 - (1+0,025)^(-12)] / 0,025

Em prova, pode ser fornecido o fator [1 - (1+i)^(-n)]/i para evitar potenciação; basta multiplicar por 900.