Matemática e Raciocínio Lógico para Escriturário do Banco do Brasil – Agente Comercial

1) Fundamentos operacionais: precisão e agilidade

1.1 Operações com inteiros e prioridade

Em provas, muitos erros vêm de distrações com sinais e ordem das operações. A prioridade padrão é: parênteses, potências/raízes, multiplicação/divisão (da esquerda para a direita), soma/subtração (da esquerda para a direita).

Exemplo: Calcule 18 − 6 ÷ 3 × 2.

Passo a passo:

• Divisão e multiplicação primeiro, na ordem: 6 ÷ 3 = 2.
• Depois 2 × 2 = 4.
• Agora 18 − 4 = 14.

1.2 Potências, raízes e notação científica

Potências representam multiplicações repetidas; raízes são a operação inversa. Notação científica aparece em questões com grandezas (valores, quantidades, escalas).

Exemplo: (2,5 × 10³) ÷ (5 × 10¹).

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Passo a passo:

• Divida os coeficientes: 2,5 ÷ 5 = 0,5.
• Subtraia expoentes: 10³ ÷ 10¹ = 10².
• Resultado: 0,5 × 10² = 50.

2) Frações, decimais e conversões úteis

2.1 Frações: simplificação e operações

Frações representam partes de um todo e são essenciais em proporções, porcentagens e finanças. Simplificar antes de operar reduz chance de erro.

Exemplo: (3/8) + (5/12).

Passo a passo:

• MMC(8,12) = 24.
• Converta: 3/8 = 9/24 e 5/12 = 10/24.
• Some: 9/24 + 10/24 = 19/24.

2.2 Decimais e frações equivalentes

Converter rapidamente ajuda em porcentagens e juros. Decimais finitos viram frações com potência de 10 no denominador.

Exemplo: 0,375 em fração.

Passo a passo:

• 0,375 = 375/1000.
• Simplifique por 125: 375/1000 = 3/8.

2.3 Dízimas periódicas (quando aparecer)

Para dízima simples, use a técnica algébrica.

Exemplo: x = 0,333…

Passo a passo:

• 10x = 3,333…
• Subtraia: 10x − x = 3,333… − 0,333… = 3.
• 9x = 3 → x = 1/3.

3) Razões, proporções e regra de três

3.1 Razão e proporção

Razão é uma comparação por divisão (a/b). Proporção é a igualdade entre duas razões (a/b = c/d), gerando o produto cruzado ad = bc.

Exemplo: Se 4 cadernos custam R$ 30, quanto custam 10 cadernos, mantendo o preço unitário?

Passo a passo (proporção):

• 4 → 30; 10 → x.
• 4/10 = 30/x ou 4x = 300.
• x = 75.

3.2 Regra de três simples

Use quando há duas grandezas diretamente proporcionais (aumenta-aumenta) ou inversamente proporcionais (aumenta-diminui).

Exemplo (direta): 6 funcionários fazem um serviço em 15 dias. Em quantos dias 10 funcionários fariam, com mesma produtividade?

Passo a passo (inversa):

• Mais funcionários → menos dias (inversamente proporcional).
• Monte: 6 × 15 = 10 × x.
• x = (6×15)/10 = 9 dias.

3.3 Regra de três composta

Use quando há mais de duas grandezas. A chave é identificar se cada grandeza é direta ou inversa em relação à incógnita.

Exemplo: 8 caixas são embaladas por 4 pessoas em 6 horas. Quantas horas 6 pessoas levam para embalar 12 caixas, no mesmo ritmo?

Passo a passo:

• Horas aumentam com caixas (direta) e diminuem com pessoas (inversa).
• Monte: x = 6 × (12/8) × (4/6).
• Calcule: (12/8)=1,5 e (4/6)=2/3.
• x = 6 × 1,5 × 2/3 = 6 × 1 = 6 horas.

4) Porcentagem e variação percentual

4.1 Porcentagem como fator multiplicativo

Transforme porcentagem em fator: 10% = 0,10; 125% = 1,25; desconto de 20% equivale a multiplicar por 0,80.

Exemplo: Um produto de R$ 250 recebe desconto de 12%.

Passo a passo:

• Desconto: 250 × 0,12 = 30.
• Preço final: 250 − 30 = 220.

4.2 Aumentos e reduções sucessivas

Variações sucessivas não somam percentuais; multiplicam fatores.

Exemplo: Um valor aumenta 10% e depois reduz 10%.

Passo a passo:

• Fatores: ×1,10 e depois ×0,90.
• Fator total: 1,10 × 0,90 = 0,99.
• Resultado: queda líquida de 1%.

4.3 Variação percentual (comparação)

Variação percentual = (novo − antigo) / antigo.

Exemplo: Uma tarifa passa de R$ 8 para R$ 10.

Passo a passo:

• Variação: (10−8)/8 = 2/8 = 0,25.
• Percentual: 25%.

5) Matemática financeira essencial (contextos de banco e consumo)

5.1 Juros simples

Nos juros simples, os juros crescem linearmente: J = C·i·n e M = C + J = C(1 + i·n), onde C é capital, i taxa por período e n número de períodos.

Exemplo: Aplicação de R$ 2.000 a 2% ao mês por 5 meses (juros simples).

Passo a passo:

• J = 2000 × 0,02 × 5 = 200.
• M = 2000 + 200 = 2200.

5.2 Juros compostos

Nos juros compostos, há capitalização: M = C(1+i)ⁿ. É o padrão em muitos cenários de rendimento e financiamentos.

Exemplo: R$ 1.500 a 1% ao mês por 6 meses (compostos).

Passo a passo:

• M = 1500(1,01)⁶.
• Aproximação útil: (1,01)⁶ ≈ 1,0615.
• M ≈ 1500 × 1,0615 = 1592,25.

5.3 Equivalência de taxas

Taxas equivalentes produzem o mesmo fator de capitalização no mesmo horizonte. Se i_m é taxa mensal e i_a anual equivalente em compostos: (1+i_a) = (1+i_m)¹².

Exemplo: 2% ao mês equivale a quanto ao ano (aprox.)?

Passo a passo:

• i_a = (1,02)¹² − 1.
• Aproximação: (1,02)¹² ≈ 1,2682.
• i_a ≈ 26,82% a.a.

5.4 Desconto: comercial (simples) e racional (por dentro)

Em provas, “desconto simples comercial” (por fora) costuma usar: D = N·i·n e A = N − D, onde N é valor nominal e A valor atual. Já o “desconto racional simples” (por dentro) usa: A = N / (1 + i·n).

Exemplo (comercial simples): Título de R$ 1.000 com desconto de 3% ao mês por 2 meses.

Passo a passo:

• D = 1000 × 0,03 × 2 = 60.
• A = 1000 − 60 = 940.

Exemplo (racional simples): Mesmo título, mesmas condições.

Passo a passo:

• A = 1000 / (1 + 0,03×2) = 1000/1,06 ≈ 943,40.

5.5 Valor presente (VP) e valor futuro (VF) em parcelamentos

Em juros compostos, trazer valores ao presente é dividir pelo fator (1+i)ⁿ. Comparar propostas (à vista vs. parcelado) exige colocar tudo na mesma data.

Exemplo: Uma compra pode ser paga em R$ 2.400 à vista ou em 3 parcelas mensais de R$ 850, com taxa de 2% a.m. Qual é menor em valor presente?

Passo a passo (VP das parcelas):

• VP = 850/(1,02)¹ + 850/(1,02)² + 850/(1,02)³.
• Aproximações: 1/(1,02)=0,9804; 1/(1,02)²=0,9612; 1/(1,02)³=0,9423.
• VP ≈ 850(0,9804+0,9612+0,9423) = 850×2,8839 ≈ 2.451,32.
• Comparação: à vista 2.400 é menor que VP 2.451,32.

6) Análise combinatória e probabilidade (nível concurso)

6.1 Princípio fundamental da contagem

Se uma escolha tem a opções e outra tem b opções, e são sequenciais, o total é a·b.

Exemplo: Senha com 3 dígitos (0–9) e 2 letras (A–Z), com repetição permitida.

Passo a passo:

• Dígitos: 10 opções cada → 10³.
• Letras: 26 opções cada → 26².
• Total: 10³×26² = 1000×676 = 676.000.

6.2 Arranjos, combinações e permutações

Use quando a ordem importa (arranjo/permutação) ou não importa (combinação).

• Permutação de n: n! (ordena todos).
• Arranjo A(n,k): n!/(n−k)! (ordem importa, escolhe k).
• Combinação C(n,k): n!/(k!(n−k)!) (ordem não importa).

Exemplo (combinação): De 8 candidatos, escolher 3 para uma equipe.

Passo a passo:

• C(8,3) = 8!/(3!5!) = (8×7×6)/(3×2×1) = 56.

Exemplo (arranjo): Formar uma senha com 4 letras distintas dentre 10 letras disponíveis.

Passo a passo:

• A(10,4) = 10×9×8×7 = 5040.

6.3 Probabilidade básica

Probabilidade = casos favoráveis / casos possíveis (equiprováveis). Em muitos itens, a dificuldade está em contar corretamente.

Exemplo: Ao lançar dois dados, qual a probabilidade de soma 7?

Passo a passo:

• Total de resultados: 6×6 = 36.
• Favoráveis: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) → 6.
• P = 6/36 = 1/6.

7) Lógica proposicional e raciocínio lógico

7.1 Proposições e conectivos

Proposição é uma frase declarativa que pode ser verdadeira (V) ou falsa (F). Conectivos comuns: negação (¬p), conjunção (p ∧ q), disjunção (p ∨ q), condicional (p → q), bicondicional (p ↔ q).

• p → q só é falsa quando p é verdadeira e q é falsa.
• p ↔ q é verdadeira quando p e q têm o mesmo valor lógico.

7.2 Negação de proposições (incluindo quantificadores)

Negar corretamente é recorrente em prova. Regras úteis:

• ¬(p ∧ q) ≡ (¬p ∨ ¬q)
• ¬(p ∨ q) ≡ (¬p ∧ ¬q)
• Negação de “se p então q”: ¬(p → q) ≡ (p ∧ ¬q)

Com quantificadores:

• Negação de “para todo x, P(x)” é “existe x tal que ¬P(x)”.
• Negação de “existe x tal que P(x)” é “para todo x, ¬P(x)”.

Exemplo: Negue: “Todos os atendimentos foram concluídos no prazo”.

Passo a passo:

• Forma: “Para todo atendimento, foi concluído no prazo”.
• Negação: “Existe pelo menos um atendimento que não foi concluído no prazo”.

7.3 Equivalências lógicas frequentes

Algumas equivalências aparecem como “reescrita” de frases:

• p → q ≡ (¬p ∨ q)
• Contrapositiva: (p → q) ≡ (¬q → ¬p)

Exemplo: Reescreva “Se o cliente tem renda comprovada, então o crédito é aprovado” na forma (¬p ∨ q).

Passo a passo:

• p: “tem renda comprovada”; q: “crédito é aprovado”.
• Equivalente: “Ou o cliente não tem renda comprovada, ou o crédito é aprovado”.

7.4 Argumentação: validade (modus ponens e modus tollens)

Dois esquemas clássicos:

• Modus ponens: p → q; p; logo q.
• Modus tollens: p → q; ¬q; logo ¬p.

Exemplo (tollens): Se o sistema está online, então o extrato é emitido. O extrato não foi emitido. Logo, o sistema não está online.

7.5 Sequências e padrões

Em sequências, procure: diferença constante (PA), razão constante (PG), alternância, padrões por posição (pares/ímpares), ou regra com operações fixas.

Exemplo: 2, 6, 18, 54, …

Passo a passo:

• Verifique multiplicação: 2×3=6; 6×3=18; 18×3=54.
• Próximo: 54×3 = 162.

8) Bateria de questões comentadas (modelagem, método e verificação)

Questão 1 (frações e verificação)

Um cliente utilizou 3/5 do limite do cartão. Se o limite é R$ 2.500, quanto ainda resta disponível?

Modelagem: usado = (3/5)×2500; disponível = 2500 − usado.

Resolução:

• 2500 ÷ 5 = 500.
• Usado = 3×500 = 1500.
• Disponível = 2500 − 1500 = 1000.

Verificação: 3/5 de 2500 é 60% de 2500 = 1500, consistente.

Questão 2 (regra de três composta)

Uma equipe de 5 pessoas atende 120 clientes em 8 horas. Quantos clientes 6 pessoas atendem em 10 horas, mantendo o mesmo ritmo?

Modelagem: clientes ∝ pessoas e clientes ∝ horas (diretas).

Resolução:

• x = 120 × (6/5) × (10/8).
• (6/5)=1,2 e (10/8)=1,25.
• x = 120 × 1,2 × 1,25 = 120 × 1,5 = 180.

Verificação: aumentou pessoas e horas, então x deve ser maior que 120; 180 faz sentido.

Questão 3 (porcentagem e variação)

Uma taxa de serviço era R$ 40 e passou a R$ 46. Qual foi o aumento percentual?

Modelagem: (46−40)/40.

Resolução:

• Δ = 6.
• 6/40 = 0,15 = 15%.

Verificação: 15% de 40 é 6, confere.

Questão 4 (juros simples vs. compostos)

Um valor de R$ 1.000 rende 2% ao mês por 3 meses. Calcule o montante em juros simples e em juros compostos.

Modelagem: simples: M = C(1+i·n); compostos: M = C(1+i)ⁿ.

Resolução:

• Simples: M = 1000(1+0,02×3)=1000×1,06=1060.
• Compostos: M = 1000(1,02)³ = 1000×1,061208 ≈ 1061,21.

Verificação: compostos deve ser maior que simples para i>0 e n>1; confere.

Questão 5 (equivalência de taxas)

Uma aplicação anuncia 24% ao ano com capitalização mensal. Qual é a taxa mensal nominal (simplesmente dividida) e qual é a taxa mensal efetiva equivalente se a taxa anual efetiva fosse 24%?

Modelagem: nominal mensal = 24%/12; efetiva mensal: (1+i_m)¹²=1,24.

Resolução:

• Nominal mensal: 24%/12 = 2% a.m.
• Efetiva mensal: i_m = 1,24^1/12 − 1.
• Aproximação: i_m ≈ 0,0181 = 1,81% a.m. (valor aproximado).

Verificação: se 1,81% a.m. capitaliza 12 vezes, chega perto de 24% a.a.; faz sentido ser menor que 2% a.m. nominal.

Questão 6 (valor presente em decisão)

Uma loja oferece: (A) R$ 3.000 à vista; (B) 2 parcelas de R$ 1.600 (uma hoje e outra em 1 mês). Considere taxa de 3% a.m. Qual opção tem menor custo em valor presente?

Modelagem: VP(B) = 1600 + 1600/(1,03).

Resolução:

• VP(B) = 1600 + 1600/1,03 ≈ 1600 + 1553,40 = 3153,40.
• Compare com 3000: opção A é menor.

Verificação: parcelamento com taxa positiva tende a encarecer em VP; confere.

Questão 7 (combinação)

Uma agência precisa escolher 4 pessoas dentre 9 para um treinamento. De quantas formas isso pode ser feito?

Modelagem: ordem não importa → C(9,4).

Resolução:

• C(9,4) = 9!/(4!5!) = (9×8×7×6)/(4×3×2×1) = 3024/24 = 126.

Verificação: valor plausível (bem menor que 9⁴), pois não há ordem.

Questão 8 (probabilidade com contagem)

Uma urna tem 5 bolas azuis e 3 vermelhas. Retira-se uma bola ao acaso. Qual a probabilidade de ser vermelha?

Modelagem: P = vermelhas/total.

Resolução:

• Total = 5+3 = 8.
• P = 3/8 = 0,375 = 37,5%.

Verificação: menos da metade, pois há menos vermelhas que azuis.

Questão 9 (negação e quantificadores)

Negue a afirmação: “Para todo cliente, se há atraso no pagamento, então há cobrança de juros”.

Modelagem: Forma: ∀x (p(x) → q(x)). Negação: ∃x ¬(p(x) → q(x)) ≡ ∃x (p(x) ∧ ¬q(x)).

Resolução (em português):

• “Existe pelo menos um cliente que teve atraso no pagamento e não houve cobrança de juros”.

Verificação: a negação não diz que “ninguém” teve juros; basta um contraexemplo.

Questão 10 (sequência e checagem de padrão)

Complete: 1, 4, 9, 16, 25, …

Modelagem: reconhecer padrão.

Resolução:

• São quadrados perfeitos: 1², 2², 3², 4², 5².
• Próximo: 6² = 36.

Verificação: diferenças: 3,5,7,9 (ímpares crescentes), consistente com quadrados.