Matemática Básica e Raciocínio Lógico Operacional

Em provas da Polícia Militar, Matemática Básica e Raciocínio Lógico Operacional aparecem para medir sua capacidade de calcular com segurança, reconhecer padrões, comparar alternativas e tomar decisões com base em regras. O foco é resolver com rapidez e precisão, evitando erros de distração.

1) Operações fundamentais e ordem de resolução

Ordem das operações

Quando uma expressão tem várias operações, siga a ordem: (1) parênteses, (2) potências/raízes, (3) multiplicação e divisão (da esquerda para a direita), (4) adição e subtração (da esquerda para a direita).

Exemplo: 18 − 6 ÷ 3 × 2

• Primeiro divisão e multiplicação: 6 ÷ 3 = 2; depois 2 × 2 = 4
• Agora subtração: 18 − 4 = 14

Passo a passo para evitar erro em conta “mista”

• Reescreva a expressão com espaços: 18 − (6 ÷ 3) × 2
• Resolva uma operação por vez e atualize a expressão
• Faça uma checagem rápida por estimativa (se o resultado parece plausível)

2) Frações, decimais e porcentagens

Frações: simplificação e operações

Simplificar é dividir numerador e denominador pelo mesmo número (MDC) para reduzir a fração sem mudar o valor.

Exemplo: 18/24 → dividindo por 6: 3/4.

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Soma e subtração: use denominador comum.

Exemplo: 2/3 + 1/6 = 4/6 + 1/6 = 5/6.

Multiplicação: multiplica numeradores e denominadores.

Exemplo: (3/5) × (10/9) = 30/45 = 2/3.

Divisão: multiplica pela fração inversa.

Exemplo: (4/7) ÷ (2/3) = (4/7) × (3/2) = 12/14 = 6/7.

Decimais e conversões rápidas

• 1/2 = 0,5
• 1/4 = 0,25
• 3/4 = 0,75
• 1/5 = 0,2
• 1/10 = 0,1

Porcentagem: ideia central e atalhos

Porcentagem é “por 100”. Assim, 15% = 15/100 = 0,15.

Atalhos úteis:

• 10% de x = x/10
• 5% de x = (10% de x)/2
• 1% de x = x/100
• 20% de x = 2 × 10% de x
• 25% de x = x/4
• 50% de x = x/2

Passo a passo: calcular porcentagem de um valor

Exemplo: 12% de 250

• Converta: 12% = 0,12
• Multiplique: 0,12 × 250 = 30

Exemplo por atalho: 12% de 250 = 10% (25) + 2% (5) = 30.

Aumento e desconto

Se algo sofre aumento de p%, multiplique por (1 + p/100). Se sofre desconto de p%, multiplique por (1 − p/100).

Exemplo: R$ 80 com aumento de 15% → 80 × 1,15 = 92.

Exemplo: R$ 200 com desconto de 12% → 200 × 0,88 = 176.

3) Razão, proporção e regra de três

Razão e proporção

Razão é comparação por divisão (a/b). Proporção é igualdade entre razões: a/b = c/d.

Propriedade fundamental: a/b = c/d implica a·d = b·c.

Regra de três simples (direta e inversa)

Use quando há duas grandezas relacionadas e você quer achar um valor desconhecido.

Passo a passo: regra de três direta

Exemplo: 3 patrulhas cobrem 12 km em uma hora. 5 patrulhas cobrem quantos km (mesma hora, mesma eficiência)?

• Identifique relação: mais patrulhas → mais km (direta)
• Monte: 3 → 12; 5 → x
• Faça o produto cruzado: 3x = 5·12 = 60
• Resolva: x = 60/3 = 20 km

Passo a passo: regra de três inversa

Exemplo: 6 policiais realizam uma tarefa em 10 horas. 10 policiais realizam em quantas horas (mesma produtividade)?

• Identifique relação: mais policiais → menos tempo (inversa)
• Monte: 6 → 10 h; 10 → x h
• Em inversa, você pode inverter uma das razões ou usar produto cruzado com cuidado: 6·10 = 10·x
• Resolva: 60 = 10x → x = 6 horas

4) Média, razão de variação e leitura de dados

Média aritmética

A média é a soma dos valores dividida pela quantidade de valores.

Exemplo: tempos (min): 8, 10, 12. Média = (8+10+12)/3 = 30/3 = 10.

Passo a passo: média com valor desconhecido

Exemplo: Quatro notas têm média 7. Três notas são 6, 8 e 7. Qual a quarta?

• Soma total = 4 × 7 = 28
• Soma conhecida = 6 + 8 + 7 = 21
• Quarta = 28 − 21 = 7

Leitura de tabelas e gráficos (interpretação numérica)

Em itens com tabelas/gráficos, o erro comum é confundir unidades e comparar valores de escalas diferentes. Antes de calcular, confirme: unidade (km, min, R$), período (dia/mês) e se o gráfico é acumulado ou por intervalo.

5) Potenciação, radiciação e notação científica

Regras de potências

• a^m · a^n = a^(m+n)
• a^m ÷ a^n = a^(m−n), a ≠ 0
• (a^m)^n = a^(m·n)
• a^0 = 1, a ≠ 0
• a^(−n) = 1/a^n

Exemplo: 2^3 · 2^4 = 2^7 = 128.

Raiz quadrada

√x é o número que, ao quadrado, dá x (para x ≥ 0). Em prova, memorize quadrados perfeitos comuns: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.

Exemplo: √144 = 12.

Notação científica

Escreve números como a × 10^n, com 1 ≤ a < 10.

Exemplo: 0,00052 = 5,2 × 10^(−4).

6) Raciocínio lógico operacional: proposições e conectivos

Proposição

É uma frase declarativa que pode ser verdadeira (V) ou falsa (F). Perguntas e ordens não são proposições.

Exemplos: “Todo policial é servidor público.” (proposição) / “Feche a porta.” (não é proposição)

Conectivos mais cobrados

• Negação (não p): inverte o valor lógico.
• Conjunção (p e q): só é V se p e q forem V.
• Disjunção inclusiva (p ou q): é F apenas se p e q forem F.
• Condicional (se p, então q): é F apenas quando p é V e q é F.
• Bicondicional (p se e somente se q): é V quando p e q têm o mesmo valor.

Tabela-verdade essencial (resumo)

p q | p∧q p∨q p→q p↔q  ¬p  ¬q  ¬p∨q (equiv. a p→q) V V |  V   V   V   V    F   F    V V F |  F   V   F   F    F   V    V F V |  F   V   V   F    V   F    V F F |  F   F   V   V    V   V    V

Observe que p→q é equivalente a ¬p ∨ q, um atalho muito útil para simplificar expressões.

7) Equivalências lógicas e negação de frases

Leis de De Morgan (muito cobradas)

• ¬(p ∧ q) ≡ (¬p ∨ ¬q)
• ¬(p ∨ q) ≡ (¬p ∧ ¬q)

Passo a passo: negar uma frase composta

Exemplo: Negue: “O candidato é aprovado e é convocado.”

• Modele: p = “é aprovado”, q = “é convocado”
• Frase: p ∧ q
• Negação: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
• Em português: “O candidato não é aprovado ou não é convocado.”

Exemplo: Negue: “O agente está de serviço ou está em treinamento.”

• p ∨ q
• Negação: ¬p ∧ ¬q
• Em português: “O agente não está de serviço e não está em treinamento.”

8) Condicional, contrapositive e erros comuns

Condicional e suas formas

Para p→q (“se p então q”):

• Contrapositiva: ¬q → ¬p (equivalente à original)
• Conversa: q → p (não é equivalente, em geral)
• Inversa: ¬p → ¬q (não é equivalente, em geral)

Passo a passo: construir a contrapositiva

Exemplo: “Se o documento é autêntico, então possui selo.” (p→q)

• Identifique p: “documento é autêntico”
• Identifique q: “possui selo”
• Negue q e p e troque a ordem: “Se não possui selo, então não é autêntico.” (¬q→¬p)

9) Quantificadores: “todo” e “existe”

Modelagem

• Universal: “Todo X tem Y” (para todo x, vale Y)
• Existencial: “Existe X com Y” (há pelo menos um x com Y)

Negação de quantificadores (padrão de prova)

• Negação de “Todo X tem Y” = “Existe X que não tem Y”
• Negação de “Existe X com Y” = “Todo X não tem Y”

Passo a passo: negar frase com “todo”

Exemplo: Negue: “Todo relatório está assinado.”

• Estrutura: “Todo X tem Y”
• Negação: “Existe X que não tem Y”
• Resultado: “Existe pelo menos um relatório que não está assinado.”

10) Sequências, padrões e contagem (raciocínio operacional)

Sequências numéricas

Em sequências, procure primeiro operações simples entre termos: soma/subtração constante, multiplicação/divisão constante, alternância de regras, ou relação com posição (n).

Exemplo: 2, 5, 8, 11, ... (soma 3) → próximo 14.

Exemplo: 3, 6, 12, 24, ... (×2) → próximo 48.

Passo a passo: sequência com alternância

Exemplo: 4, 7, 14, 17, 34, ...

• Verifique alternância: +3, ×2, +3, ×2...
• Após 34, aplica +3 → 37

Contagem básica (princípio multiplicativo)

Se uma escolha tem a opções e outra tem b opções, e as escolhas são independentes, o total é a·b.

Exemplo: 3 turnos possíveis e 4 equipes possíveis → 3·4 = 12 combinações.

11) Problemas clássicos de lógica operacional

“Verdadeiro, falso e ambos” (consistência)

Questões podem pedir para identificar quais afirmações podem ser verdadeiras simultaneamente. A técnica é testar cenários com V/F e eliminar contradições, sempre respeitando conectivos.

Passo a passo: teste de cenários em condicional

Exemplo: Afirmação: “Se há blitz, então há viatura.” (p→q). Qual situação torna a afirmação falsa?

• Condicional só é falsa em p=V e q=F
• Logo: há blitz (V) e não há viatura (F)

“Ou” inclusivo vs exclusivo

Em lógica de provas, “ou” costuma ser inclusivo (pode ocorrer ambos). Se a questão disser “ou... ou..., mas não ambos”, é exclusivo.

Exemplo inclusivo: “O candidato entregou RG ou CNH” (pode ter entregue os dois, se não houver restrição).

Exemplo exclusivo: “Ou é dia ou é noite (não ambos)” (no contexto comum).

12) Checklist operacional para resolver questões

Matemática

• Confirme unidade e grandezas antes de montar regra de três
• Use ordem das operações e reescreva a expressão
• Em porcentagem, prefira fator multiplicativo (1±p/100) para aumentos/descontos
• Faça estimativa rápida para detectar erro de casa decimal

Lógica

• Traduza frases para p, q, r e conectivos
• Use equivalência p→q ≡ ¬p ∨ q para simplificar
• Para negar, aplique De Morgan e troque “todo”↔“existe”
• Em condicional, lembre: só é falso em V→F