Estatística, Probabilidade e Leitura de Gráficos

Conceitos essenciais de Estatística

Em provas de concursos, Estatística costuma aparecer em situações de leitura de tabelas e gráficos, cálculo de medidas (média, mediana, moda), análise de dispersão (amplitude, variância, desvio padrão) e interpretação de conclusões. O foco é transformar dados em informação para comparar grupos, identificar padrões e tomar decisões.

População, amostra e variáveis

População é o conjunto total de elementos de interesse (ex.: todos os candidatos de um concurso). Amostra é uma parte da população usada para análise (ex.: 200 candidatos sorteados). Variável é a característica observada (ex.: idade, altura, nota).

• Variável qualitativa: descreve categorias (ex.: sexo, estado civil, tipo de escolaridade).
• Variável quantitativa discreta: contagem (ex.: número de faltas, número de acertos).
• Variável quantitativa contínua: medida em escala contínua (ex.: tempo, altura, peso).

Tabelas de frequência (absoluta e relativa)

Uma tabela de frequência organiza dados por categorias ou classes. A frequência absoluta (fi) é a contagem. A frequência relativa (fr) é a proporção: fr = fi / n, onde n é o total.

Exemplo: Em uma turma com 40 candidatos, 10 faltaram a um simulado. Então fi = 10 e fr = 10/40 = 0,25 (25%).

Medidas de tendência central

Média aritmética

A média resume o “valor típico” dos dados: soma dos valores dividida pela quantidade.

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média = (x1 + x2 + ... + xn) / n

Exemplo: Notas 6, 7, 7, 8, 10. Soma = 38, n = 5, média = 38/5 = 7,6.

Média ponderada

Usada quando valores têm pesos diferentes (muito comum em notas com pesos).

média ponderada = (x1·p1 + x2·p2 + ... + xn·pn) / (p1 + p2 + ... + pn)

Exemplo: Prova (peso 2) nota 7 e redação (peso 3) nota 8. Média = (7·2 + 8·3)/(2+3) = (14+24)/5 = 7,6.

Mediana

A mediana é o valor central quando os dados estão em ordem crescente.

• Se n é ímpar: a mediana é o termo do meio.
• Se n é par: a mediana é a média dos dois termos centrais.

Exemplo (n ímpar): 4, 5, 7, 9, 12 → mediana = 7.

Exemplo (n par): 4, 5, 7, 9 → mediana = (5+7)/2 = 6.

Moda

A moda é o valor que mais se repete. Pode haver:

• Unimodal: uma moda.
• Bimodal: duas modas.
• Amodal: sem repetição.

Exemplo: 2, 2, 3, 5, 5, 7 → modas: 2 e 5 (bimodal).

Quando usar cada uma (dica de prova)

• Média: boa para dados “equilibrados”, mas é sensível a valores extremos.
• Mediana: melhor quando há valores muito altos/baixos (outliers), como salários ou tempos com um caso muito fora do padrão.
• Moda: útil para identificar o valor mais comum (ex.: tamanho de farda mais solicitado).

Medidas de dispersão

Amplitude

A amplitude mede o espalhamento mais simples: maior valor menos menor valor.

amplitude = xmax − xmin

Exemplo: Tempos (min) 12, 13, 15, 18 → amplitude = 18 − 12 = 6.

Variância e desvio padrão (ideia e cálculo)

Variância mede o quanto os dados se afastam da média (em média, ao quadrado). Desvio padrão é a raiz quadrada da variância e volta para a unidade original dos dados.

Em questões, muitas vezes basta interpretar: maior desvio padrão significa dados mais “espalhados” e menos consistentes; menor desvio padrão indica maior regularidade.

Passo a passo (variância populacional):

• 1) Calcule a média.
• 2) Subtraia a média de cada valor (desvios).
• 3) Eleve cada desvio ao quadrado.
• 4) Some os quadrados.
• 5) Divida por n (população) ou por n−1 (amostra, quando indicado).
• 6) Para o desvio padrão, tire a raiz quadrada.

Exemplo: Dados 2, 4, 6 (população). Média = (2+4+6)/3 = 4. Desvios: −2, 0, 2. Quadrados: 4, 0, 4. Soma = 8. Variância = 8/3 ≈ 2,67. Desvio padrão ≈ √2,67 ≈ 1,63.

Probabilidade: fundamentos para prova

Espaço amostral e evento

Espaço amostral (S) é o conjunto de todos os resultados possíveis. Evento (A) é um subconjunto de S (resultados de interesse).

Probabilidade clássica (quando resultados são equiprováveis):

P(A) = número de casos favoráveis / número de casos possíveis

Exemplo: Dado honesto. Evento “sair número par” = {2,4,6}. P = 3/6 = 1/2.

Probabilidade complementar

O complemento de A (não A) é tudo que não está em A. Regra muito cobrada:

P(Aᶜ) = 1 − P(A)

Exemplo: Se P(aprovar) = 0,30, então P(não aprovar) = 0,70.

União e interseção (A ou B; A e B)

• União (A ∪ B): ocorre A ou B (ou ambos).
• Interseção (A ∩ B): ocorre A e B ao mesmo tempo.

Regra geral:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Exemplo: P(A)=0,40; P(B)=0,30; P(A∩B)=0,10. Então P(A∪B)=0,40+0,30−0,10=0,60.

Eventos mutuamente exclusivos

Se A e B não podem ocorrer juntos, então P(A ∩ B)=0 e:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Exemplo: Em um sorteio de 1 número, “sair 1” e “sair 2” são exclusivos.

Probabilidade condicional

Probabilidade de A ocorrer sabendo que B ocorreu:

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)   (com P(B) > 0)

Exemplo: Em um grupo, 20% são mulheres e praticam corrida (A∩B), e 50% praticam corrida (B). Então P(mulher | corre) = 0,20/0,50 = 0,40.

Independência

A e B são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Critérios comuns:

• P(A | B) = P(A)
• P(A ∩ B) = P(A)·P(B)

Exemplo: Dois lançamentos de moeda honesta. P(cara no 1º e cara no 2º) = 1/2 · 1/2 = 1/4.

Passo a passo prático para problemas de probabilidade

• 1) Identifique o experimento e escreva o espaço amostral (ou o total de casos possíveis).
• 2) Defina claramente o evento pedido (favorable).
• 3) Verifique se há condições (“sabendo que...”), exclusão (“ou”), simultaneidade (“e”).
• 4) Escolha a regra: clássica, complemento, união/interseção, condicional, independência.
• 5) Calcule e simplifique (fração, decimal ou porcentagem conforme o enunciado).

Leitura e interpretação de gráficos

Gráfico de barras/colunas

Compara quantidades entre categorias. Atenção a:

• Escala do eixo (pode começar em valor diferente de zero).
• Unidade (pessoas, %, pontos, km).
• Barras agrupadas (comparação entre dois ou mais grupos).

Exemplo de interpretação: Se a barra de “Aprovados” sobe de 120 para 150 entre 2023 e 2024, o aumento absoluto é 30. Se a questão pedir variação relativa, use (150−120)/120 = 0,25 (25%).

Gráfico de linhas

Mostra evolução no tempo. É comum pedirem:

• Tendência (crescimento/queda).
• Picos e vales (máximo/mínimo).
• Comparação de inclinações (crescimento mais rápido).

Exemplo: Duas linhas (Turma A e B). Se A sobe 10 pontos em 2 meses e B sobe 10 em 5 meses, A tem crescimento mais acelerado (maior inclinação).

Gráfico de setores (pizza)

Representa partes de um todo (100%). Dicas:

• Converta porcentagem em quantidade: quantidade = % · total.
• Some setores para “pelo menos” ou “conjunto de categorias”.

Exemplo: Se “Aprovados” é 30% de 200 candidatos, então 0,30·200 = 60 aprovados.

Histogramas (distribuição por classes)

Usado para variáveis contínuas agrupadas em intervalos (classes). A altura (ou área) representa frequência. Cuidado para não confundir com barras de categorias: aqui os intervalos têm ordem e continuidade.

Exemplo: Intervalos de tempo 10–12, 12–14, 14–16 minutos. Se a maior barra está em 12–14, essa é a classe modal (mais frequente).

Boxplot (diagrama de caixa) — leitura rápida

Algumas provas cobram interpretação básica:

• Linha dentro da caixa: mediana.
• Extremos da caixa: 1º e 3º quartis (Q1 e Q3).
• “Bigodes”: alcance típico (podem variar conforme definição).
• Pontos isolados: possíveis outliers.

Interpretação: Caixa maior indica maior dispersão no miolo dos dados (entre Q1 e Q3).

Como resolver questões de gráficos (passo a passo)

• 1) Leia título, legenda e unidades (o que está sendo medido?).
• 2) Identifique eixos e escalas (intervalos, início em zero ou não).
• 3) Localize exatamente o valor pedido (categoria, período, grupo).
• 4) Diferencie valor absoluto (diferença direta) de variação (razão/percentual).
• 5) Se houver mais de um gráfico/tabela, verifique se as bases são as mesmas (totais diferentes mudam comparações).
• 6) Em questões de “maior/menor”, confira todos os itens antes de marcar.

Erros comuns em Estatística e Probabilidade (o que a banca explora)

• Confundir média com mediana quando há valores extremos.
• Calcular “aumento” como diferença absoluta quando o enunciado pede variação percentual (ou o contrário).
• Somar probabilidades sem subtrair a interseção em A ∪ B.
• Tratar eventos dependentes como independentes (ou esquecer a condição em P(A|B)).
• Interpretar gráfico de setores sem considerar que o total é 100% (ou o total numérico informado).
• Ignorar escala truncada em gráfico de barras (eixo iniciando em valor alto).

Mini-treino guiado (sem gabarito)

1) Medidas de tendência central

Dados (em ordem): 3, 3, 5, 8, 11, 11, 11. Calcule média, mediana e moda.

2) Probabilidade com união

Em um grupo, P(A)=0,55, P(B)=0,35 e P(A∩B)=0,20. Encontre P(A∪B).

3) Probabilidade condicional

Em 100 candidatos, 60 fizeram o teste físico (B) e 24 são mulheres e fizeram o teste físico (A∩B). Calcule P(A|B).

4) Leitura de gráfico (interpretação)

Um gráfico de barras mostra “Acertos em Matemática” com valores: Turma 1 = 18, Turma 2 = 24, Turma 3 = 21 (em 30 questões). Determine: (a) a maior pontuação, (b) a diferença entre a maior e a menor, (c) a média de acertos das três turmas.