Álgebra Booleana aplicada a portas lógicas digitais

Variáveis booleanas e a ideia de função lógica

Na Álgebra Booleana, uma variável booleana só pode assumir dois valores: 0 (falso/nível lógico baixo) ou 1 (verdadeiro/nível lógico alto). Uma função booleana descreve como uma saída Y depende de entradas (A, B, C...) usando operações lógicas. Exemplo: Y = A·B significa que Y vale 1 somente quando A=1 e B=1.

Convenções comuns de escrita (todas equivalentes):

• Produto lógico (AND): A·B, AB ou A & B
• Soma lógica (OR): A + B ou A ∨ B
• Negação (NOT): Ā, A' ou ¬A

Operações booleanas básicas

Soma lógica (OR)

A + B é 1 quando A ou B (ou ambos) é 1.

Produto lógico (AND)

A·B é 1 somente quando A e B são 1.

Negação (NOT)

Ā inverte o valor: se A=1 então Ā=0, e vice-versa.

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Leis fundamentais da Álgebra Booleana (com exemplos)

As leis abaixo permitem transformar e simplificar expressões sem mudar o comportamento lógico (mesma tabela-verdade).

1) Comutativa

• A + B = B + A
• A·B = B·A

Exemplo: B + A pode ser reescrito como A + B para organizar termos.

2) Associativa

• (A + B) + C = A + (B + C)
• (A·B)·C = A·(B·C)

Exemplo: (A·B)·C pode virar A·B·C sem ambiguidade.

3) Distributiva

• A·(B + C) = A·B + A·C
• A + (B·C) = (A + B)·(A + C)

Exemplo: A·(B + C) pode ser expandido para A·B + A·C (útil para obter soma de produtos).

4) Identidade

• A + 0 = A
• A·1 = A

Exemplo: X·1 é redundante e pode ser removido.

5) Anulação (ou dominância)

• A + 1 = 1
• A·0 = 0

Exemplo: se um termo está em OR com 1, a saída é sempre 1.

6) Idempotência

• A + A = A
• A·A = A

Exemplo: (A + A) simplifica para A.

7) Absorção

• A + A·B = A
• A·(A + B) = A

Exemplo: A + A·B simplifica para A porque quando A=1 a saída já é 1, e quando A=0 ambos os termos são 0.

8) Leis de De Morgan

• ¬(A·B) = ¬A + ¬B
• ¬(A + B) = ¬A·¬B

Essas leis são essenciais para transformar expressões com negação de grupos e para reescrever circuitos usando portas equivalentes.

Exemplo prático: ¬(A + B + C) = ¬A·¬B·¬C.

Dois formatos muito usados: Soma de Produtos (SOP) e Produto de Somas (POS)

SOP (Sum of Products) é uma soma (OR) de termos que são produtos (AND) de literais (variáveis ou suas negações). Ex.: Y = ĀB + ABC.

POS (Product of Sums) é um produto (AND) de termos que são somas (OR). Ex.: Y = (A + B)·(Ā + C).

Converter tabela-verdade em expressão costuma gerar SOP (pelas linhas com saída 1) ou POS (pelas linhas com saída 0).

Converter tabela-verdade em expressão booleana (passo a passo)

Método SOP (somar os mintermos onde Y=1)

Passos:

• Liste as linhas da tabela-verdade em que Y=1.
• Para cada linha, crie um mintermo: faça AND de todas as variáveis, usando a variável negada quando o valor na linha for 0 e sem negar quando for 1.
• Faça OR entre todos os mintermos.
• Opcional: simplifique a expressão usando as leis.

Exemplo (2 entradas):

Linhas com Y=1: (A=0,B=1) e (A=1,B=0).

• Para (0,1): mintermo Ā·B
• Para (1,0): mintermo A·B̄

Expressão SOP: Y = ĀB + AB̄.

Observação: essa expressão já está em forma clássica e representa uma função que vale 1 quando as entradas são diferentes.

Método POS (multiplicar os maxtermos onde Y=0)

Passos:

• Liste as linhas em que Y=0.
• Para cada linha, crie um maxtermo: faça OR de todas as variáveis, usando a variável sem negar quando o valor na linha for 0 e negada quando for 1.
• Faça AND entre todos os maxtermos.

No exemplo anterior, Y=0 em (0,0) e (1,1):

• (0,0) gera (A + B)
• (1,1) gera (Ā + B̄)

Expressão POS: Y = (A + B)·(Ā + B̄).

As formas SOP e POS descrevem a mesma função, apenas com estruturas diferentes.

Converter expressão booleana em tabela-verdade (passo a passo)

Passos recomendados:

• Liste todas as combinações possíveis das entradas (para n variáveis, são 2^n linhas).
• Crie colunas auxiliares para subexpressões (por exemplo, Ā, A·B, (A+B)).
• Calcule a saída linha a linha.

Exemplo: Y = A·(B + C)

Interpretação: a saída só pode ser 1 quando A=1 e pelo menos uma entre B ou C for 1.

Simplificação básica para reduzir número de portas

Simplificar é reescrever a expressão para usar menos termos, menos literais por termo e/ou menos níveis lógicos. Isso costuma reduzir quantidade de portas e atrasos.

Exemplo 1: usando distributiva ao contrário (fatoração)

Expressão original:

Y = A·B + A·C

Passo a passo:

• Identifique fator comum A.
• Fatore: Y = A·(B + C)

Comparação de circuitos equivalentes:

• Forma A·B + A·C: duas operações AND (para A·B e A·C) e uma OR para somar.
• Forma A·(B + C): uma OR (para B + C) e uma AND com A.

Dependendo do contexto, a forma fatorada pode reduzir portas ou reduzir fan-out de A.

Exemplo 2: absorção eliminando termos redundantes

Expressão original:

Y = A + A·B

Passo a passo:

• Aplique absorção: A + A·B = A

Interpretação prática: o termo A·B não muda a saída, pois quando ele poderia contribuir (A=1), A já força a saída para 1.

Exemplo 3: idempotência e identidade limpando a expressão

Expressão original:

Y = (A + A)·1

Passo a passo:

• Idempotência: A + A = A
• Identidade: A·1 = A

Resultado: Y = A.

Exemplo 4: aplicando De Morgan para remover negação de parênteses

Expressão original:

Y = ¬(A + B) + C

Passo a passo:

• De Morgan: ¬(A + B) = ¬A·¬B
• Substitua: Y = (¬A·¬B) + C

Isso ajuda quando você quer implementar a lógica com um conjunto específico de portas ou quando precisa “empurrar” negações para as entradas.

Validação de equivalência por tabela-verdade (método prático)

Para provar que duas expressões são equivalentes, faça:

• Monte a tabela-verdade com as mesmas entradas.
• Calcule Y1 para a expressão original e Y2 para a expressão simplificada.
• Compare as colunas: se forem iguais em todas as linhas, as expressões são equivalentes.

Exemplo: validar Y1 = A·B + A·C e Y2 = A·(B + C)

As colunas são idênticas, então as expressões são equivalentes.

Exercícios (simplificação e validação por tabela-verdade)

Parte A — Simplifique usando leis booleanas

1. Simplifique: Y = A + A·B

2. Simplifique: Y = A·B + A·B̄

3. Simplifique: Y = (A + B)·(A + B̄)

4. Simplifique: Y = ¬(A + B) + ¬(A + B̄)

5. Simplifique: Y = A·(B + C) + A·(B + C̄)

Parte B — Converta tabela-verdade em expressão (SOP) e simplifique

Para as tabelas abaixo, escreva a expressão SOP (somando mintermos onde Y=1) e depois tente simplificar.

Tabela 1:

Tabela 2:

Parte C — Valide por tabela-verdade (equivalência)

Para cada par, monte a tabela-verdade e verifique se as saídas são iguais em todas as linhas.

1. Y1 = A·B + A·C e Y2 = A·(B + C)

2. Y1 = (A + B)·(A + C) e Y2 = A + B·C

3. Y1 = ¬(A·B) e Y2 = ¬A + ¬B