Raciocínio Lógico-Matemático para a prova da PRF

Como estudar Raciocínio Lógico-Matemático com foco na PRF

O Raciocínio Lógico-Matemático na PRF costuma cobrar leitura precisa de enunciados, domínio de linguagem lógica e execução segura de contas básicas (proporções, porcentagens, probabilidade e combinatória), além de interpretação de gráficos. A estratégia mais eficiente é treinar por competências, sempre convertendo o texto em estruturas (proposições, conjuntos, eventos, tabelas, equações) e validando cada passo.

Atalhos válidos (sem “mágica”)

• Padronize símbolos: use P, Q, R para proposições; A, B para conjuntos; E1, E2 para eventos; isso reduz erros de leitura.
• Traduza para “se…, então…”: muitos enunciados escondem condicionais em frases comuns (“somente se”, “desde que”, “a menos que”).
• Cheque extremos: em porcentagem/proporção, teste valores simples (100, 10, 1) para ver se o resultado faz sentido.
• Use complementos: em probabilidade, muitas vezes é mais fácil calcular 1 − P(não ocorrer).
• Conte por casos: em combinatória, separar em casos (com/sem restrição) evita dupla contagem.
• Unidades e escala: em gráficos e regra de três, verifique unidade (km/h, %, R$) antes de calcular.

Erros recorrentes (lista para revisar antes de simulados)

• Negar proposições sem trocar conectivos (esquecer De Morgan).
• Confundir “se” com “somente se” e “se e somente se”.
• Montar tabela-verdade com linhas faltando (2^n linhas para n proposições).
• Trocar ordem em permutação/arranjo quando há repetição.
• Somar probabilidades de eventos não mutuamente exclusivos sem subtrair interseção.
• Aplicar porcentagem como se fosse pontos percentuais (ex.: 10% de 50 não é 60).
• Regra de três com grandezas invertidas (direta vs inversa).
• Interpretar gráfico sem ler eixo (escala quebrada, eixo não iniciando em zero).

1) Proposições e conectivos

Definições essenciais

Proposição é uma frase declarativa que pode ser verdadeira (V) ou falsa (F). Ex.: “A PRF é um órgão federal.” (V). Perguntas e ordens não são proposições.

Conectivos formam proposições compostas:

• Negação: ¬P (“não P”).
• Conjunção: P ∧ Q (“P e Q”) é V apenas se ambos forem V.
• Disjunção inclusiva: P ∨ Q (“P ou Q”) é F apenas se ambos forem F.
• Condicional: P → Q (“se P, então Q”) é F somente quando P é V e Q é F.
• Bicondicional: P ↔ Q (“P se e somente se Q”) é V quando P e Q têm o mesmo valor lógico.

Passo a passo prático (tradução do enunciado)

• 1) Identifique proposições simples (P, Q, R).
• 2) Localize conectivos no texto (“e”, “ou”, “se… então”, “apenas se”, “somente se”).
• 3) Reescreva em símbolos e depois volte ao português para conferir se manteve o sentido.

Modelo de questão com comentário

Questão (modelo): Considere P: “O candidato estudou lógica” e Q: “O candidato acertou a questão”. A frase “O candidato acertou a questão somente se estudou lógica” corresponde a:

• A) P → Q
• B) Q → P
• C) P ∧ Q
• D) P ∨ Q

Comentário: “Q somente se P” significa que P é condição necessária para Q. Logo, Q → P. Gabarito: B.

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2) Tabelas-verdade

Definição

Tabela-verdade lista os valores V/F de uma proposição composta para todas as combinações possíveis das proposições simples. Para n proposições, há 2^n linhas.

Passo a passo prático

• 1) Conte quantas proposições simples existem (n).
• 2) Monte 2^n linhas alternando V/F de forma padrão (a primeira coluna alterna a cada 2^(n-1) linhas, a próxima a cada 2^(n-2), etc.).
• 3) Calcule colunas intermediárias (¬, ∧, ∨) antes do resultado final.

Modelo de questão com comentário

Questão (modelo): Determine a coluna final de (P → Q) ∧ P.

Comentário: Monte P, Q, depois P → Q (só é F em P=V e Q=F), depois faça ∧ com P. Você observará que a expressão só é V quando P=V e Q=V. Isso ajuda a reconhecer padrões de validade em argumentos.

3) Equivalências lógicas

Definição

Duas proposições são equivalentes quando têm a mesma tabela-verdade. As equivalências mais cobradas são:

• Condicional: P → Q ≡ ¬P ∨ Q.
• Contrapositiva: P → Q ≡ ¬Q → ¬P.
• De Morgan: ¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ∨ ¬Q) e ¬(P ∨ Q) ≡ (¬P ∧ ¬Q).
• Bicondicional: P ↔ Q ≡ (P → Q) ∧ (Q → P).

Passo a passo prático (transformação)

• 1) Identifique o conectivo principal (o “último” a ser aplicado).
• 2) Se houver →, tente converter para ¬P ∨ Q para simplificar.
• 3) Se houver negação “por fora”, aplique De Morgan e empurre a negação para dentro.
• 4) Simplifique duplas negações (¬¬P ≡ P).

Modelo de questão com comentário

Questão (modelo): Qual é uma forma equivalente a ¬(P ∨ Q)?

• A) ¬P ∨ ¬Q
• B) ¬P ∧ ¬Q
• C) P ∧ Q
• D) P ∨ Q

Comentário: Por De Morgan, ¬(P ∨ Q) ≡ (¬P ∧ ¬Q). Gabarito: B.

4) Negações (incluindo condicionais e quantificadores)

Definições e regras

• Negações básicas: ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q; ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q.
• Negação do condicional: ¬(P → Q) ≡ P ∧ ¬Q (é o único caso em que P é verdadeiro e Q é falso).
• Negação do bicondicional: ¬(P ↔ Q) significa “P e Q têm valores diferentes”, equivalente a (P ∧ ¬Q) ∨ (¬P ∧ Q).

Passo a passo prático (negação correta)

• 1) Coloque a negação “por fora” da frase inteira.
• 2) Troque conectivos ao empurrar a negação: “e” vira “ou”, “ou” vira “e”.
• 3) Negue cada proposição simples (P vira ¬P).
• 4) Em “se P então Q”, negue como “P e não Q”.

Modelo de questão com comentário

Questão (modelo): Negue a frase: “Se o veículo está regular (P), então ele passa na fiscalização (Q)”.

Comentário: A negação de P → Q é P ∧ ¬Q. Em português: “O veículo está regular e não passa na fiscalização”.

5) Quantificadores (todo, algum, existe)

Definições

• Universal: ∀x P(x) (“para todo x, P(x)”).
• Existencial: ∃x P(x) (“existe ao menos um x tal que P(x)”).

Regras de negação

• ¬(∀x P(x)) ≡ ∃x ¬P(x) (não é verdade para todos → existe um contraexemplo).
• ¬(∃x P(x)) ≡ ∀x ¬P(x) (não existe nenhum → para todos, não vale).

Passo a passo prático

• 1) Identifique o domínio (quem são os “x”: candidatos, veículos, questões).
• 2) Troque ∀ por ∃ (ou vice-versa) ao negar.
• 3) Negue o predicado P(x).

Modelo de questão com comentário

Questão (modelo): Negue: “Todos os candidatos acertaram a questão” (∀x A(x)).

Comentário: ¬(∀x A(x)) ≡ ∃x ¬A(x). Em português: “Existe pelo menos um candidato que não acertou a questão”.

6) Argumentação (validade, premissas e conclusão)

Definições

Um argumento é um conjunto de premissas que pretende sustentar uma conclusão. O argumento é válido quando não existe situação em que todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa.

Formas clássicas (muito úteis)

• Modus Ponens: P → Q; P; logo Q.
• Modus Tollens: P → Q; ¬Q; logo ¬P.
• Silogismo hipotético: P → Q; Q → R; logo P → R.
• Silogismo disjuntivo: P ∨ Q; ¬P; logo Q.

Passo a passo prático (checagem rápida)

• 1) Simbolize premissas e conclusão.
• 2) Tente encaixar em uma forma válida conhecida.
• 3) Se não encaixar, procure um contraexemplo: atribua V/F para tornar premissas verdadeiras e conclusão falsa.

Modelo de questão com comentário

Questão (modelo): Premissas: (1) Se P então Q. (2) Não Q. Conclusão: Não P. O argumento é válido?

Comentário: É Modus Tollens, portanto válido.

7) Conjuntos

Definições

• União: A ∪ B (elementos que estão em A ou em B).
• Interseção: A ∩ B (elementos que estão em A e em B).
• Complemento: A^c (elementos que não estão em A, dentro do universo U).
• Diferença: A \ B (em A e não em B).

Fórmulas úteis

• |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
• |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Passo a passo prático (problemas de contagem com conjuntos)

• 1) Defina o universo (total de pessoas/itens).
• 2) Nomeie conjuntos (A: quem tem característica 1, B: característica 2).
• 3) Use diagrama de Venn para organizar interseções.
• 4) Aplique inclusão-exclusão para evitar dupla contagem.

Modelo de questão com comentário

Questão (modelo): Em uma turma, 30 estudaram Lógica (A), 25 estudaram Matemática (B) e 10 estudaram ambos. Quantos estudaram pelo menos um dos dois?

Comentário: |A ∪ B| = 30 + 25 − 10 = 45. “Pelo menos um” é união. Resposta: 45.

8) Análise combinatória

Definições (quando usar cada uma)

• Princípio multiplicativo: se há m escolhas para uma etapa e n para outra, total m·n.
• Permutação: ordem importa, usa todos os elementos. Sem repetição: n!.
• Arranjo: ordem importa, escolhe k de n. A(n,k)= n!/(n−k)!.
• Combinação: ordem não importa, escolhe k de n. C(n,k)= n!/(k!(n−k)!).
• Com repetição: quando elementos podem se repetir (ex.: senhas), conte por potência ou fórmulas específicas.

Passo a passo prático (decidir o método)

• 1) A ordem importa? Se sim, pense em permutação/arranjo.
• 2) Usa todos os elementos? Se sim, permutação.
• 3) Há repetição permitida? Se sim, ajuste (ex.: n^k em senhas com k posições).
• 4) Se a ordem não importa, use combinação.

Modelo de questão com comentário

Questão (modelo): De 8 candidatos, quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas?

Comentário: Comissão não depende de ordem, então é combinação: C(8,3)= 8·7·6/(3·2·1)=56. Resposta: 56.

9) Probabilidade

Definições

• Espaço amostral (Ω): conjunto de resultados possíveis.
• Evento (E): subconjunto de Ω.
• Se resultados equiprováveis: P(E)= |E|/|Ω|.
• Complemento: P(E^c)=1−P(E).
• União: P(A ∪ B)=P(A)+P(B)−P(A ∩ B).
• Independência: P(A ∩ B)=P(A)·P(B) (quando independentes).
• Condicional: P(A|B)=P(A ∩ B)/P(B), com P(B)>0.

Passo a passo prático

• 1) Defina Ω e conte seus elementos (ou use regra do produto).
• 2) Defina o evento E com clareza (o que “quer”).
• 3) Verifique se é mais fácil usar complemento.
• 4) Se houver “e”/“ou”, escolha interseção/união e aplique fórmulas.

Modelo de questão com comentário

Questão (modelo): Lança-se um dado honesto. Qual a probabilidade de sair número par ou maior que 4?

Comentário: A={2,4,6} (par), B={5,6} (>4). A ∪ B={2,4,5,6} tem 4 resultados em 6. P=4/6=2/3. Alternativa: P(A)+P(B)−P(A∩B)=3/6+2/6−1/6=4/6.

10) Porcentagem

Definições

• x% = x/100.
• Acréscimo de p%: multiplicar por (1+p).
• Desconto de p%: multiplicar por (1−p).
• Variação percentual: (final − inicial)/inicial.

Passo a passo prático

• 1) Converta percentuais em fator (ex.: 12% → 0,12).
• 2) Identifique base de cálculo (sobre o quê incide a porcentagem).
• 3) Em aumentos/descontos sucessivos, multiplique fatores (não some percentuais diretamente).

Modelo de questão com comentário

Questão (modelo): Um valor de R$ 200 sofre aumento de 10% e depois desconto de 10%. Qual o valor final?

Comentário: 200·1,10=220. Depois 220·0,90=198. Não volta a 200 porque as bases mudam. Resposta: R$ 198.

11) Razões e proporções

Definições

• Razão: comparação por quociente, a/b.
• Proporção: igualdade entre razões, a/b = c/d.
• Propriedade fundamental: a/b = c/d ⇔ a·d = b·c (com b,d ≠ 0).

Passo a passo prático

• 1) Escreva a razão na ordem correta (atenção ao enunciado).
• 2) Monte a proporção com unidades compatíveis.
• 3) Faça produto cruzado e resolva.

Modelo de questão com comentário

Questão (modelo): A razão entre homens e mulheres é 3:5. Se há 40 pessoas, quantas são mulheres?

Comentário: Total de partes = 3+5=8. Cada parte vale 40/8=5. Mulheres = 5 partes = 25. Resposta: 25.

12) Regra de três (direta e inversa)

Definições

• Direta: aumenta uma grandeza, a outra aumenta na mesma proporção.
• Inversa: aumenta uma grandeza, a outra diminui na mesma proporção.

Passo a passo prático

• 1) Identifique as grandezas e mantenha unidades.
• 2) Determine se a relação é direta ou inversa (pense em “faz sentido aumentar junto?”).
• 3) Monte a tabela e a proporção (na inversa, inverta uma das razões).
• 4) Resolva por produto cruzado.

Modelo de questão com comentário

Questão (modelo): 6 agentes realizam uma tarefa em 10 dias. Em quantos dias 15 agentes realizam a mesma tarefa, mantendo produtividade constante?

Comentário: É inversa (mais agentes, menos dias). 6·10 = 15·x ⇒ x = 60/15 = 4. Resposta: 4 dias.

13) Funções (noções e aplicações)

Definições

Função associa a cada valor de x (domínio) um único valor f(x) (contradomínio). Em provas, aparecem funções afins (lineares) e leitura de gráficos.

• Função afim: f(x)=ax+b. a é a inclinação (taxa de variação), b é o valor em x=0.
• Raiz: f(x)=0 (onde o gráfico cruza o eixo x).

Passo a passo prático

• 1) Substitua x pelo valor pedido e calcule f(x).
• 2) Para achar a raiz: resolva ax+b=0.
• 3) Para comparar crescimento/decrescimento: observe o sinal de a (a>0 cresce, a<0 decresce).

Modelo de questão com comentário

Questão (modelo): Seja f(x)=2x−6. Calcule f(5) e a raiz da função.

Comentário: f(5)=2·5−6=4. Raiz: 2x−6=0 ⇒ x=3.

14) Leitura e interpretação de gráficos

Conceitos cobrados

• Identificar máximos/mínimos, tendências e variações.
• Ler corretamente eixos, escala e unidades.
• Comparar proporções em gráficos de barras/linhas/setores.
• Converter informação do gráfico em conta (diferença, razão, percentual).

Passo a passo prático

• 1) Leia título, legenda e unidades.
• 2) Verifique escala (intervalos iguais? eixo inicia em zero?).
• 3) Extraia valores com cuidado (aproximação quando necessário).
• 4) Só então faça operações (diferença, média, taxa, percentual).

Modelo de questão com comentário

Questão (modelo): Um gráfico de linhas mostra que a quantidade de ocorrências passou de 80 para 100 em um mês. Qual a variação percentual?

Comentário: (100−80)/80 = 20/80 = 0,25 = 25%. Atenção: não é “+20 pontos percentuais”, é +25% sobre a base 80.

Bateria de exercícios (básico ao avançado) com gabarito comentado

Nível básico

1) Seja P: “O candidato estudou” e Q: “O candidato foi aprovado”. Escreva em símbolos: “O candidato estudou e foi aprovado”.

2) Negue a proposição: “P e Q”.

3) Em um grupo, 18 fizeram prova A, 12 fizeram prova B e 5 fizeram ambas. Quantos fizeram pelo menos uma?

4) Calcule 15% de 240.

5) Uma função é f(x)=3x+1. Calcule f(2).

Nível intermediário

6) Qual é a negação de (P → Q)?

7) De 10 pessoas, quantas duplas podem ser formadas?

8) Uma urna tem 3 bolas vermelhas e 2 azuis. Retira-se 1 bola ao acaso. Qual a probabilidade de ser azul?

9) 8 máquinas fazem um serviço em 12 horas. Em quanto tempo 6 máquinas fazem o mesmo serviço (mesma eficiência)?

10) A razão entre A e B é 4:1. Se A+B=25, encontre A.

Nível avançado

11) Considere a afirmação: “Todos os motoristas apresentaram documento” (∀x D(x)). Escreva sua negação em português.

12) Um argumento tem premissas: (1) P → Q, (2) Q → R, (3) P. Conclusão: R. Classifique a forma e diga se é válido.

13) Em uma prova, a probabilidade de um candidato acertar uma questão é 0,7, independentemente das demais. Qual a probabilidade de ele acertar pelo menos uma de duas questões?

14) Quantos anagramas distintos tem a palavra ARARA?

15) Um gráfico indica que uma taxa passou de 2,0 para 2,6. Qual a variação percentual?

Gabarito comentado

1) P ∧ Q. Comentário: “e” indica conjunção.

2) ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q. Comentário: De Morgan.

3) |A ∪ B|=18+12−5=25. Comentário: inclusão-exclusão para evitar dupla contagem.

4) 0,15·240=36. Comentário: converter percentual em fator.

5) f(2)=3·2+1=7.

6) ¬(P → Q) ≡ P ∧ ¬Q. Comentário: único caso que torna o condicional falso.

7) C(10,2)=10·9/2=45. Comentário: dupla não depende de ordem.

8) P(azul)=2/5. Comentário: equiprovável por contagem.

9) Inversa: 8·12=6·x ⇒ x=96/6=16 horas. Comentário: menos máquinas, mais tempo.

10) A:B=4:1 ⇒ A=4k, B=k, A+B=5k=25 ⇒ k=5 ⇒ A=20.

11) “Existe pelo menos um motorista que não apresentou documento.” Comentário: ¬∀ vira ∃ e nega o predicado.

12) De P → Q e Q → R, conclui-se P → R (silogismo hipotético); com P, conclui-se R (modus ponens). Válido.

13) P(acertar pelo menos uma)=1−P(errar as duas)=1−(0,3·0,3)=1−0,09=0,91.

14) ARARA tem 5 letras com repetições: A(3), R(2). Total=5!/(3!·2!)=120/(6·2)=10.

15) (2,6−2,0)/2,0=0,6/2,0=0,3=30%. Comentário: variação percentual é relativa à base inicial.