Princípio Fundamental da Contagem e Decomposição de Experimentos

Princípio multiplicativo (fundamental) e princípio aditivo

Em problemas de probabilidade, muitas vezes o objetivo é contar quantos resultados possíveis existem (tamanho do espaço amostral) ou quantos resultados favoráveis existem (tamanho de um evento). Para isso, dois princípios aparecem o tempo todo:

• Princípio multiplicativo (fundamental da contagem): se um experimento é realizado em estágios sucessivos e, para cada escolha no estágio 1, existem n2 escolhas no estágio 2; para cada par (1,2), existem n3 escolhas no estágio 3; etc., então o total de resultados é o produto das quantidades por estágio.
• Princípio aditivo: se um evento pode ocorrer por casos disjuntos (não podem acontecer ao mesmo tempo), então o total é a soma das contagens de cada caso.

A habilidade central deste capítulo é: decompor um experimento em etapas compatíveis e decidir quando multiplicar, quando somar e quando subtrair para corrigir sobreposições.

O que significa “etapas compatíveis”?

Uma decomposição em etapas é compatível quando:

• Você consegue descrever cada resultado final como uma sequência de escolhas (uma por etapa).
• As opções de uma etapa podem depender das escolhas anteriores, mas você consegue contar quantas opções há em cada ramo (ou em grupos de ramos).
• O que você está chamando de “resultado” não muda no meio do caminho (por exemplo, ora tratar “senha” como sequência, ora como conjunto).

Construção passo a passo de experimentos em estágios

Exemplo 1 (produto direto): montar um código

Um código tem 3 caracteres: 1 letra (A–Z) e depois 2 dígitos (0–9). Quantos códigos existem?

Etapas:

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• Etapa 1: escolher a letra: 26 opções.
• Etapa 2: escolher o primeiro dígito: 10 opções.
• Etapa 3: escolher o segundo dígito: 10 opções.

Princípio multiplicativo: 26 × 10 × 10 = 2600.

Árvore de possibilidades como verificação

Uma árvore ajuda a visualizar “estágios” e evitar misturar casos. Para o exemplo acima, a árvore seria grande, mas o padrão é:

Letra (26 ramos) → Dígito1 (10 ramos por letra) → Dígito2 (10 ramos por par)

Cada caminho completo da raiz até uma folha representa um código. Contar folhas = contar resultados.

Exemplo 2 (produto com dependência): sem repetição

Quantas senhas de 3 dígitos distintos podem ser formadas com 0–9?

Etapas:

• Etapa 1: escolher o 1º dígito: 10 opções.
• Etapa 2: escolher o 2º dígito (diferente do 1º): 9 opções.
• Etapa 3: escolher o 3º dígito (diferente dos anteriores): 8 opções.

Total: 10 × 9 × 8 = 720.

Erro comum: usar 10 × 10 × 10 e esquecer a restrição “distintos”. A árvore deixa claro que o número de ramos diminui após cada escolha.

Quando somar: casos disjuntos

Exemplo 3 (soma por disjunção): escolher um lanche

Uma pessoa vai escolher exatamente um item: ou uma fruta (5 opções) ou um sanduíche (3 opções). Quantas escolhas possíveis?

Como “fruta” e “sanduíche” são casos disjuntos (não escolhe os dois), aplica-se o princípio aditivo:

5 + 3 = 8.

Erro comum: multiplicar (5 × 3) como se escolhesse uma fruta e um sanduíche.

Exemplo 4 (mistura de soma e produto): placa com formatos diferentes

Uma placa pode ser de dois tipos:

• Tipo A: 2 letras seguidas de 2 dígitos.
• Tipo B: 3 letras seguidas de 1 dígito.

Quantas placas possíveis (letras A–Z, dígitos 0–9, com repetição permitida)?

Conte por caso (produto) e depois some (aditivo):

• Tipo A: 26 × 26 × 10 × 10 = 67600
• Tipo B: 26 × 26 × 26 × 10 = 175760

Total: 67600 + 175760 = 243360.

Checklist para decidir somar: “Estou contando resultados que pertencem a categorias que não se sobrepõem?” Se sim, some.

Quando subtrair: corrigindo sobreposições (motivação)

Às vezes, é mais fácil contar “tudo” e tirar o que não serve. Outras vezes, ao somar casos, você pode contar alguns resultados duas vezes. Aqui entram correções por subtração, que motivam a ideia de inclusão-exclusão (aprofundada depois).

Exemplo 5 (complemento): pelo menos um “6” em dois dados

Quantos resultados ao lançar dois dados têm pelo menos um 6?

Contar diretamente pode gerar duplicidade (o resultado (6,6) aparece em mais de um “caso”). Use complemento:

• Total de resultados: 6 × 6 = 36
• Resultados com nenhum 6: 5 × 5 = 25 (cada dado tem 5 opções: 1–5)

Logo, “pelo menos um 6” = 36 − 25 = 11.

Exemplo 6 (subtração por dupla contagem): “A ou B” com interseção

De 1 a 30, quantos números são múltiplos de 2 ou de 3?

Se somar “múltiplos de 2” + “múltiplos de 3”, os múltiplos de 6 entram duas vezes. Corrija subtraindo a interseção:

• Múltiplos de 2: ⌊30/2⌋ = 15
• Múltiplos de 3: ⌊30/3⌋ = 10
• Múltiplos de 6 (contados duas vezes): ⌊30/6⌋ = 5

Total: 15 + 10 − 5 = 20.

Ideia-chave: somar funciona para casos disjuntos; quando há sobreposição, é preciso corrigir.

Ferramentas de verificação: árvores, tabelas e diagramas

Tabela de dupla entrada (produto e checagem)

Uma tabela ajuda quando há dois estágios simples. Exemplo: escolher uma camiseta (3 cores) e um tamanho (P, M, G).

Há 3 linhas e 3 colunas, total 3 × 3 = 9 combinações. A tabela evita esquecer algum par (cor, tamanho).

Diagrama de Venn (checagem de sobreposição)

Para eventos do tipo “A ou B”, um diagrama de Venn ajuda a lembrar que:

• Somar |A| + |B| conta a interseção duas vezes.
• Subtrair |A ∩ B| corrige a contagem.

Mesmo quando você não desenha, pense nas três regiões: “só A”, “só B”, “A e B”.

Como particionar um problema em etapas (roteiro prático)

Roteiro em 6 perguntas

• 1) O que é um resultado? (sequência? conjunto? par ordenado? escolha única?)
• 2) Dá para descrever cada resultado como uma sequência de etapas?
• 3) Em cada etapa, quantas opções existem? (constante ou depende do que veio antes?)
• 4) As etapas acontecem juntas (E) ou são alternativas (OU)? “E” sugere multiplicar; “OU” sugere somar.
• 5) Os casos do “OU” são disjuntos? Se não forem, haverá sobreposição e você precisa corrigir (subtração).
• 6) Existe um complemento mais fácil? Contar “total − proibidos” pode simplificar.

Exemplo 7 (decomposição com casos): números de 3 dígitos com restrição

Quantos números de 3 dígitos (100 a 999) têm pelo menos um dígito 0?

Estratégia por complemento:

• Total de números de 3 dígitos: primeira casa 1–9 (9 opções), demais 0–9 (10 cada) ⇒ 9 × 10 × 10 = 900.
• Sem nenhum 0: primeira casa 1–9 (9), demais 1–9 (9 cada) ⇒ 9 × 9 × 9 = 729.

Com pelo menos um 0: 900 − 729 = 171.

Erro comum: tentar somar “0 na centena OU 0 na dezena OU 0 na unidade” sem corrigir sobreposições (números com dois zeros seriam contados mais de uma vez).

Exercícios (alternando listar e contar diretamente)

Parte A — construir o espaço amostral (listar de forma organizada)

• 1) Um experimento consiste em lançar uma moeda (C ou K) e depois escolher uma cor entre {Vermelho, Azul}. (a) Liste o espaço amostral como pares ordenados. (b) Verifique com uma tabela 2×2.
• 2) Uma senha tem 2 letras (A, B, C) e 1 dígito (0,1). (a) Construa uma árvore de possibilidades. (b) Liste todas as senhas.
• 3) Um dado é lançado e observa-se: “paridade (par/ímpar)” e “se é maior que 3 (sim/não)”. (a) Liste os resultados possíveis desse experimento de duas características. (b) Discuta por que esse espaço amostral não tem 6 resultados, embora venha de um dado.

Parte B — contar sem listar (usar etapas, soma, complemento)

• 4) Quantas sequências de 4 caracteres podem ser formadas com letras {A,B,C,D} se (a) repetição é permitida; (b) repetição não é permitida?
• 5) Quantos números de 4 dígitos (1000 a 9999) têm todos os dígitos pares?
• 6) Um menu oferece 3 entradas, 4 pratos e 2 sobremesas. Quantas refeições completas (entrada + prato + sobremesa) existem? E quantas escolhas existem se a pessoa escolhe apenas um item (entrada OU prato OU sobremesa)?
• 7) Quantas placas do tipo “LLD” (2 letras e 1 dígito) existem com pelo menos uma letra igual a A? (Sugestão: complemento.)
• 8) De 1 a 100, quantos números são múltiplos de 4 ou de 6? (Faça a correção da sobreposição.)
• 9) Quantas maneiras existem de escolher um presidente e um vice dentre 8 pessoas? E quantas maneiras de escolher apenas uma dupla sem cargos (apenas um par)? Identifique onde a definição de “resultado” muda.

Parte C — diagnóstico de erros comuns

• 10) Um aluno contou “números de 3 dígitos com pelo menos um 5” como: (5 na centena) + (5 na dezena) + (5 na unidade) = 100 + 90 + 90. (a) Explique por que há dupla contagem. (b) Refaça corretamente usando complemento.
• 11) Em um problema de “camiseta e calça”, alguém somou as opções em vez de multiplicar. (a) Crie um exemplo numérico simples que mostre o erro. (b) Explique a diferença entre “escolher uma combinação” e “escolher um item”.
• 12) Em uma contagem com casos, alguém definiu “resultado” como “conjunto de dígitos” em um caso e como “sequência” em outro. (a) Dê um exemplo de como isso altera a contagem. (b) Reescreva o problema com uma definição única de resultado.