Permutações em Análise Combinatória: Ordem Importa e Sem Escolha de Tamanho

O que é uma permutação (e quando ela aparece)

Permutação é a contagem de ordenações completas de um conjunto com n elementos distintos, usando todos os elementos uma única vez. Em problemas de permutação, a ordem importa e não há escolha de tamanho: você está arranjando “todos os n”.

Exemplos típicos de linguagem que indicam permutação:

• “De quantas maneiras podemos ordenar…?”
• “Quantas filas diferentes…?”
• “Quantas ordens de chegada…?”
• “Quantas maneiras de dispor todas as letras…?”

Da listagem para a contagem: por que surge o fatorial

Se você tentasse listar todas as ordenações de 4 pessoas (A, B, C, D), rapidamente perceberia que a lista cresce muito. A ideia é trocar “listar” por “contar” usando um raciocínio por etapas.

Passo a passo prático (ordenação completa)

Suponha n elementos distintos para colocar em uma sequência com n posições:

• Na 1ª posição: há n escolhas.
• Na 2ª posição: restam n − 1 escolhas.
• Na 3ª posição: restam n − 2 escolhas.
• …
• Na última posição: resta 1 escolha.

Multiplicando as quantidades de escolhas por posição, obtemos:

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n · (n − 1) · (n − 2) · ... · 2 · 1

Esse produto é chamado de fatorial e é denotado por n!.

Definição operacional de fatorial

n! = n · (n − 1) · (n − 2) · ... · 2 · 1, para n ≥ 1.

Além disso, por convenção útil em contagem:

0! = 1

Interpretação: existe exatamente 1 maneira de ordenar “nada” (sequência vazia), o que evita exceções em fórmulas.

Como reconhecer “arranjar todos” (checklist rápido)

Antes de aplicar n!, verifique:

• Tamanho do conjunto: quantos elementos existem? (isso será o n)
• Elementos distintos: todos são diferentes? (se houver repetição, não é permutação simples; é outro caso)
• Todos são usados: a ordem envolve usar todos os elementos exatamente uma vez?
• Ordem importa: trocar a posição de dois elementos gera um resultado diferente?

Se as respostas forem “sim” para os três últimos itens, a contagem tende a ser n!.

Exemplos diretos (ordem define resultados distintos)

Exemplo 1: ordem de chegada

Em uma corrida com 6 atletas distintos, quantas ordens possíveis de chegada existem (sem empates)?

Como todos chegam em alguma posição e a ordem importa, é uma permutação de 6 elementos:

6! = 720

Exemplo 2: fila de atendimento

5 pessoas distintas vão formar uma fila. Quantas filas diferentes podem ocorrer?

5! = 120

Exemplo 3: disposição de letras distintas

Quantos anagramas podem ser formados com as letras A, B, C, D, E (todas distintas), usando todas?

5! = 120

Aplicações em probabilidade: quando todas as ordens são equiprováveis

Em muitos modelos probabilísticos, assume-se que todas as ordenações possíveis são igualmente prováveis (por exemplo, ordem aleatória de chegada, embaralhamento perfeito, fila formada ao acaso). Nesses casos, a permutação fornece o tamanho do conjunto de resultados possíveis.

Exemplo 4: probabilidade de uma pessoa ficar em primeiro

7 pessoas formam uma fila ao acaso. Qual a probabilidade de Ana ficar na primeira posição?

Total de filas possíveis: 7!.

Filas favoráveis: fixe Ana em primeiro e permute as outras 6 pessoas: 6!.

Logo:

P = 6! / 7! = 1/7

Exemplo 5: duas pessoas em posições específicas

8 corredores chegam em ordem aleatória (sem empates). Qual a probabilidade de (i) João chegar em 1º e (ii) Maria chegar em 2º?

Total: 8!.

Favoráveis: fixe João em 1º e Maria em 2º; permute os outros 6: 6!.

P = 6! / 8! = 1 / (8·7) = 1/56

Erros comuns e critérios de checagem

1) Confundir “ordem importa” com “usar todos”

Permutação simples é especificamente “ordenar todos”. Se o problema pede ordenar apenas parte do conjunto (por exemplo, “escolher 3 pessoas e ordenar”), isso é outro tipo de contagem (não tratado aqui).

2) Ignorar repetição de elementos

Se há letras repetidas (como em “ARARA”), não é n!. A repetição reduz o número de ordenações distintas. Esse caso exige uma técnica própria (permutação com repetição), que deve ser tratada separadamente.

3) Esquecer simetria em ciclos (caso circular)

Se a disposição é em círculo e rotações são consideradas a mesma configuração, n! superconta. A correção típica aparece nas permutações circulares.

Permutações circulares: quando o “começo” não existe

Em uma disposição circular, como pessoas sentadas ao redor de uma mesa redonda, muitas ordenações lineares representam a mesma configuração circular, porque você pode “girar” o círculo sem mudar quem está ao lado de quem.

Ideia central

Se rotações não mudam a configuração, então cada arranjo circular corresponde a n arranjos lineares (um para cada escolha de quem fica “primeiro” na escrita linear). Por isso, a contagem circular típica é:

(n − 1)!

Passo a passo prático (circular, sem considerar reflexões)

• Escolha uma pessoa (ou elemento) para “fixar” como referência. Isso elimina a simetria de rotação.
• Permute os n − 1 restantes ao redor.

Resultado: (n − 1)!.

Exemplo 6: pessoas em mesa redonda

6 pessoas distintas vão sentar em uma mesa redonda. Quantas disposições diferentes existem, considerando que apenas rotações não criam uma nova disposição?

(6 − 1)! = 5! = 120

Exemplo 7: letras em um “colar” (circular)

5 letras distintas serão colocadas em um círculo (como um colar rígido em que só rotações são equivalentes). Quantas disposições?

(5 − 1)! = 4! = 24

Atenção: e se a reflexão também contar como igual?

Em alguns problemas de “colar” (onde virar o colar é permitido), além das rotações, reflexões também podem gerar equivalência. Nesse caso, muitas vezes divide-se por 2 (quando não há simetrias adicionais), mas isso depende do enunciado e será aprofundado quando o tema de simetria for tratado.

Exercícios (incluindo casos circulares)

Permutações lineares

1. 9 alunos distintos vão formar uma fila para entrar na sala. Quantas filas diferentes são possíveis?
2. Uma senha é formada pelas 7 letras distintas A, B, C, D, E, F, G usadas todas exatamente uma vez. Quantas senhas diferentes existem?
3. Em uma corrida com 10 participantes distintos e sem empates, qual a probabilidade de Carla chegar em primeiro lugar?
4. Em uma fila aleatória com 6 pessoas distintas, qual a probabilidade de Ana ficar imediatamente antes de Bruno? (Dica: trate “AB” como um bloco.)

Permutações circulares (rotações equivalentes)

1. 8 pessoas distintas sentam ao redor de uma mesa redonda. Quantas disposições diferentes existem?
2. 7 pessoas distintas vão se posicionar em círculo para uma foto vista de cima, e rotações são consideradas a mesma pose. Quantas poses distintas existem?
3. 6 letras distintas serão colocadas em um círculo. Quantas disposições circulares existem?
4. Em uma mesa redonda com 9 pessoas distintas, qual a probabilidade de duas pessoas específicas (A e B) ficarem lado a lado? (Dica: conte disposições circulares totais e favoráveis usando “bloco” em círculo.)