Matemática e Raciocínio Lógico para concursos de Bombeiros Militares

Como estudar Matemática e Raciocínio Lógico para a prova

Em concursos de Bombeiros Militares, a cobrança costuma ser objetiva e aplicada: cálculos com porcentagem e regra de três, leitura de gráficos, equações, geometria com medidas, estatística simples e probabilidade. Em raciocínio lógico, o foco é dominar proposições, conectivos, negações, equivalências e contagem. A estratégia mais eficiente é: (1) aprender o modelo de resolução mais frequente, (2) treinar com questões curtas, (3) revisar erros por tipo.

Aritmética (razão, proporção, regra de três, porcentagem)

Razão e proporção

Razão é uma comparação por divisão: a:b = a/b. Proporção é a igualdade entre duas razões: a/b = c/d.

Propriedade fundamental: se a/b = c/d, então a·d = b·c (produto dos meios = produto dos extremos).

Passo a passo: resolver proporção

Exemplo: Se 3/5 = x/20, encontre x.

• Monte a igualdade: 3/5 = x/20
• Faça o “cruzado”: 3·20 = 5·x
• 60 = 5x
• x = 12

Regra de três (simples)

Use quando há relação direta ou inversa entre grandezas.

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Direta: aumenta com aumenta (ex.: mais tempo, mais trabalho feito). Inversa: aumenta com diminui (ex.: mais pessoas, menos tempo).

Passo a passo: regra de três direta

Exemplo: 8 bombeiros realizam uma tarefa em 6 horas. Quantas horas 12 bombeiros levariam, mantendo o mesmo ritmo?

• Identifique a relação: mais bombeiros → menos tempo (relação inversa).
• Monte a tabela: Bombeiros: 8 → 12; Tempo: 6 → x
• Em inversa, multiplica cruzado mantendo inversão: 8·6 = 12·x
• 48 = 12x
• x = 4 horas

Atalho seguro: em problemas de “pessoas × tempo”, quase sempre é inversa (se a produtividade individual é constante).

Porcentagem

Porcentagem é uma razão com denominador 100. p% de N = (p/100)·N.

Passo a passo: aumento e desconto

Exemplo (desconto): Um equipamento custava R$ 250 e teve 12% de desconto. Preço final?

• Calcule o fator: 12% de desconto → pagar 88% → fator 0,88
• Preço final = 250·0,88 = 220

Atalho seguro: desconto de p% = multiplicar por (1 − p/100); aumento de p% = multiplicar por (1 + p/100).

Porcentagem sucessiva

Dois reajustes não somam diretamente; multiplicam fatores.

Exemplo: aumento de 10% e depois desconto de 10%.

• Fatores: 1,10 e 0,90
• Resultado: 1,10·0,90 = 0,99 → queda de 1%

Conjuntos

Conceitos essenciais

Conjunto é uma coleção de elementos. Operações comuns: união (A ∪ B), interseção (A ∩ B), diferença (A \ B) e complemento (Aᶜ).

• União: elementos que estão em A ou em B.
• Interseção: elementos que estão em A e em B.
• Complemento: o que está fora de A, dentro do universo U.

Passo a passo: problema com diagrama de Venn

Exemplo: Em uma turma com 40 alunos, 22 praticam corrida (C), 18 praticam natação (N) e 10 praticam ambos. Quantos praticam pelo menos um?

• Use: |C ∪ N| = |C| + |N| − |C ∩ N|
• |C ∪ N| = 22 + 18 − 10 = 30

Atalho seguro: “somar e subtrair a interseção” evita contar duas vezes quem está nos dois.

Funções e gráficos

Função afim (1º grau)

Forma: f(x) = ax + b. O gráfico é uma reta.

• a é a inclinação (coeficiente angular): se a > 0, cresce; se a < 0, decresce.
• b é o valor quando x = 0 (intercepto em y).

Passo a passo: achar a equação da reta por dois pontos

Exemplo: reta passa por (1, 3) e (5, 11). Encontre f(x).

• Calcule a inclinação: a = (11 − 3)/(5 − 1) = 8/4 = 2
• Use y = ax + b em um ponto: 3 = 2·1 + b → b = 1
• Logo: f(x) = 2x + 1

Leitura de gráficos (interpretação)

Questões de banca costumam pedir: identificar máximos/mínimos, variação (taxa), comparar valores e interpretar áreas (em alguns casos).

Atalho seguro: antes de calcular, marque no enunciado o que é “x” (eixo horizontal) e o que é “y” (vertical). Muitos erros vêm de trocar variáveis.

Equações e sistemas

Equação do 1º grau

Forma: ax + b = 0. Isolar x é o objetivo.

Passo a passo: equação do 1º grau

Exemplo: 3x − 7 = 11

• Some 7 nos dois lados: 3x = 18
• Divida por 3: x = 6

Equação do 2º grau

Forma: ax² + bx + c = 0. Pode ser resolvida por fatoração, completando quadrado ou fórmula de Bhaskara.

Passo a passo: Bhaskara

Exemplo: x² − 5x + 6 = 0

• a = 1, b = −5, c = 6
• Δ = b² − 4ac = 25 − 24 = 1
• x = (−b ± √Δ)/(2a) = (5 ± 1)/2
• x₁ = 3 e x₂ = 2

Atalho seguro: antes de Bhaskara, tente fatorar: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

Sistemas lineares (2x2)

Dois métodos comuns: substituição e eliminação.

Passo a passo: eliminação

Exemplo: 2x + y = 9 e x − y = 0

• Some as equações para eliminar y: (2x + y) + (x − y) = 9 + 0
• 3x = 9 → x = 3
• Substitua em x − y = 0: 3 − y = 0 → y = 3

Geometria plana e espacial

Geometria plana: perímetro e área

• Retângulo: A = b·h; P = 2(b + h)
• Triângulo: A = (b·h)/2
• Círculo: A = πr²; comprimento = 2πr

Passo a passo: área de triângulo

Exemplo: base 10 cm e altura 6 cm.

• A = (10·6)/2 = 30 cm²

Teorema de Pitágoras

Em triângulo retângulo: a² = b² + c² (hipotenusa ao quadrado = soma dos catetos ao quadrado).

Passo a passo: Pitágoras

Exemplo: catetos 9 e 12. Hipotenusa?

• a² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
• a = 15

Atalho seguro: memorize ternas comuns: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25). Escalando por k, também valem (6,8,10), (10,24,26) etc.

Geometria espacial: volume e área

• Paralelepípedo: V = a·b·c
• Cilindro: V = πr²h
• Prisma: V = A_base·h
• Esfera: V = (4/3)πr³

Passo a passo: volume de cilindro

Exemplo: r = 3 cm, h = 10 cm.

• V = π·3²·10 = 90π cm³

Estatística básica e probabilidade

Média, mediana e moda

• Média: soma dos valores / quantidade.
• Mediana: valor central após ordenar (se n é par, média dos dois centrais).
• Moda: valor mais frequente.

Passo a passo: mediana com n par

Exemplo: 2, 3, 7, 9

• Centrais: 3 e 7
• Mediana = (3 + 7)/2 = 5

Probabilidade

Probabilidade de um evento A: P(A) = casos favoráveis / casos possíveis (em espaço equiprovável).

Passo a passo: probabilidade simples

Exemplo: Uma urna tem 5 bolas azuis e 3 vermelhas. Probabilidade de retirar uma vermelha?

• Total = 8
• Favoráveis = 3
• P = 3/8

Probabilidade com “e” e “ou”

• “E” (interseção): P(A ∩ B). Se independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B).
• “Ou” (união): P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Passo a passo: sem reposição (dependente)

Exemplo: Na mesma urna (5 azuis, 3 vermelhas), probabilidade de tirar duas vermelhas sem reposição.

• Primeira vermelha: 3/8
• Depois restam 2 vermelhas em 7: 2/7
• P = (3/8)·(2/7) = 6/56 = 3/28

Raciocínio lógico

Proposições e conectivos

Proposição é uma frase declarativa que pode ser verdadeira (V) ou falsa (F).

• Negação: ¬p
• Conjunção (e): p ∧ q
• Disjunção (ou inclusivo): p ∨ q
• Condicional (se... então): p → q
• Bicondicional (se e somente se): p ↔ q

Tabelas-verdade (regras rápidas)

• p ∧ q só é V quando ambos são V.
• p ∨ q só é F quando ambos são F.
• p → q só é F quando p é V e q é F.
• p ↔ q é V quando têm o mesmo valor.

Passo a passo: avaliar uma condicional

Exemplo: p: “O alarme tocou” (V). q: “Houve evacuação” (F). Avalie p → q.

• Condicional é F apenas em V → F
• Como p é V e q é F, p → q é F

Equivalências e negações (De Morgan)

As leis de De Morgan são muito cobradas:

• ¬(p ∧ q) ≡ (¬p ∨ ¬q)
• ¬(p ∨ q) ≡ (¬p ∧ ¬q)

Passo a passo: negar uma frase composta

Exemplo: Negue: “Vou treinar e vou descansar” (p ∧ q).

• Negação: ¬(p ∧ q)
• Pelo De Morgan: ¬p ∨ ¬q
• Em português: “Não vou treinar ou não vou descansar”

Atalho seguro: ao negar, troque “e” por “ou” e negue cada parte; troque “ou” por “e” e negue cada parte.

Argumentos: validade (modus ponens e modus tollens)

• Modus ponens: p → q; p; logo q.
• Modus tollens: p → q; ¬q; logo ¬p.

Passo a passo: identificar forma válida

Exemplo: “Se o sensor falhar, o alarme não dispara. O alarme disparou. Logo, o sensor não falhou.”

• Defina p: “sensor falhou”; q: “alarme não dispara”
• Premissa: p → q
• “O alarme disparou” é ¬q
• Conclusão: ¬p (modus tollens) → argumento válido

Contagem (análise combinatória) e problemas clássicos

Princípio fundamental da contagem

Se uma tarefa tem m opções e outra tem n opções, e ambas devem ocorrer, total = m·n.

Passo a passo: contagem por etapas

Exemplo: Uma senha tem 2 letras (A-Z) seguidas de 3 dígitos (0-9), com repetição permitida. Quantas senhas?

• Letras: 26 opções para cada posição → 26·26
• Dígitos: 10 opções para cada posição → 10·10·10
• Total: 26²·10³ = 676000

Permutação, arranjo e combinação (quando usar)

• Permutação: ordem importa e usa todos os elementos: n!
• Arranjo: ordem importa e escolhe k de n: A(n,k) = n!/(n−k)!
• Combinação: ordem não importa e escolhe k de n: C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)

Passo a passo: combinação

Exemplo: De 8 candidatos, escolher 3 para uma equipe. Quantas formas?

• Ordem não importa → combinação
• C(8,3) = 8!/(3!·5!) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56

Problemas clássicos de lógica (modelos)

As bancas repetem estruturas: “sempre/algum”, “todos/nenhum”, “pelo menos”, “exatamente”, “um deles mente”, “duas afirmações, uma verdadeira”. O segredo é traduzir para proposições e testar casos.

Passo a passo: teste de casos (um verdadeiro e um falso)

Exemplo: Duas afirmações sobre um número x: A: “x é par”. B: “x é múltiplo de 4”. Sabe-se que exatamente uma é verdadeira. O que pode ser x?

• Se B é verdadeira, então A também seria (múltiplo de 4 é par) → não pode.
• Logo B deve ser falsa e A verdadeira.
• x é par, mas não múltiplo de 4 → exemplos: 2, 6, 10, 14...

Bateria de questões (padrão de bancas) com gabarito e resolução

Questão 1 (razão e proporção)

Uma mistura tem razão álcool:água de 2:3. Em 25 litros da mistura, quantos litros são de álcool?

Resolução:

• Razão 2:3 → total de partes = 5
• Álcool = (2/5)·25 = 10

Gabarito: 10 litros.

Questão 2 (regra de três inversa)

Se 6 militares concluem um serviço em 15 dias, em quantos dias 10 militares concluiriam o mesmo serviço, no mesmo ritmo?

Resolução:

• Inversa: pessoas × dias = constante
• 6·15 = 10·x → 90 = 10x → x = 9

Gabarito: 9 dias.

Questão 3 (porcentagem)

Um valor sofre aumento de 20% e depois desconto de 10%. O resultado final, em relação ao valor inicial, é:

Resolução:

• Fatores: 1,20 e 0,90
• 1,20·0,90 = 1,08 → aumento de 8%

Gabarito: aumento de 8%.

Questão 4 (conjuntos)

Em um grupo de 60 pessoas, 35 gostam de café, 25 gostam de chá e 10 gostam de ambos. Quantas não gostam de nenhum dos dois?

Resolução:

• |C ∪ T| = 35 + 25 − 10 = 50
• Nenhum = 60 − 50 = 10

Gabarito: 10.

Questão 5 (função afim)

Se f(x) = 3x − 4, então f(2) é:

Resolução:

• f(2) = 3·2 − 4 = 2

Gabarito: 2.

Questão 6 (sistema 2x2)

Resolva o sistema: x + y = 7 e x − y = 1.

Resolução:

• Some: (x + y) + (x − y) = 7 + 1 → 2x = 8 → x = 4
• Substitua: 4 + y = 7 → y = 3

Gabarito: x = 4, y = 3.

Questão 7 (geometria plana)

Um retângulo tem lados 8 cm e 5 cm. Sua área e seu perímetro são, respectivamente:

Resolução:

• Área: 8·5 = 40 cm²
• Perímetro: 2(8 + 5) = 26 cm

Gabarito: 40 cm² e 26 cm.

Questão 8 (Pitágoras)

Uma escada forma um triângulo retângulo com o chão e a parede. A base está a 6 m da parede e a escada alcança 8 m de altura. O comprimento da escada é:

Resolução:

• Hipotenusa: a = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10

Gabarito: 10 m.

Questão 9 (estatística)

Considere os valores: 4, 7, 7, 10, 12. A média e a moda são:

Resolução:

• Média: (4 + 7 + 7 + 10 + 12)/5 = 40/5 = 8
• Moda: 7

Gabarito: média 8, moda 7.

Questão 10 (probabilidade)

Um dado honesto é lançado. Qual a probabilidade de sair número primo?

Resolução:

• Primos em 1 a 6: 2, 3, 5 → 3 casos
• Total: 6
• P = 3/6 = 1/2

Gabarito: 1/2.

Questão 11 (tabela-verdade: condicional)

Se p é verdadeira e q é falsa, o valor lógico de (p → q) é:

Resolução:

• Condicional só é falsa em V → F

Gabarito: Falso.

Questão 12 (negação com De Morgan)

A negação de “p e q” é:

Resolução:

• ¬(p ∧ q) ≡ (¬p ∨ ¬q)

Gabarito: “não p ou não q”.

Questão 13 (argumento)

Considere: “Se estudo, então passo. Não passei. Logo, não estudei.” O argumento é:

Resolução:

• Forma: p → q; ¬q; logo ¬p (modus tollens)
• É uma forma válida

Gabarito: Válido.

Questão 14 (contagem)

Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5?

Resolução:

• Escolha e ordem importam, sem repetição: A(5,3) = 5·4·3 = 60

Gabarito: 60.

Questão 15 (lógica clássica: exatamente uma verdadeira)

Um candidato afirma: “Eu fui aprovado” (p). Outro afirma: “Ele não foi aprovado” (¬p). Sabendo que exatamente uma das afirmações é verdadeira, conclui-se que:

Resolução:

• p e ¬p são contraditórias: sempre uma é verdadeira e a outra é falsa
• A condição “exatamente uma verdadeira” é sempre satisfeita

Gabarito: Não é possível concluir se foi aprovado; apenas que as frases são contraditórias.

Checklist de atalhos seguros para revisão

• Regra de três: identifique se é direta ou inversa antes de montar a conta.
• Porcentagem: use fator multiplicativo (1 ± p/100) para evitar erros.
• Conjuntos: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
• Reta por dois pontos: a = (y2 − y1)/(x2 − x1), depois ache b.
• Sistemas: eliminação costuma ser mais rápida quando coeficientes “combinam”.
• Pitágoras: memorize ternas para ganhar tempo.
• Condicional p → q só é falsa em V → F.
• Negação: aplique De Morgan e negue cada proposição.
• Contagem: “e” multiplica etapas; “ou” soma casos (quando disjuntos).