Fundamentos de Matemática: Transição para Álgebra — Variáveis e Expressões Algébricas

Linguagem algébrica: por que usar letras?

Na Álgebra, usamos letras para representar números. Isso permite escrever regras gerais, descrever padrões e resolver problemas sem precisar conhecer o valor numérico desde o início.

Conceitos essenciais

• Variável: símbolo (geralmente uma letra) que pode assumir diferentes valores, como x, y, a.
• Constante: número fixo, como 7, -3, 1/2.
• Coeficiente: número que multiplica a variável. Em 5x, o coeficiente é 5.
• Termo: cada “pedaço” separado por + ou -. Em 3x - 2y + 7, os termos são 3x, -2y e 7.
• Expressão algébrica: combinação de números, variáveis e operações, como 2x + 3, (a - b)/2.
• Grau: indica o maior expoente das variáveis em um termo ou expressão (em contextos de polinômios). Ex.: em 7x^3 o grau do termo é 3. Em 2x^2 + 5x - 1, o grau da expressão é 2.

Multiplicação implícita e leitura correta

Na Álgebra, é comum omitir o sinal de multiplicação:

• 2x significa 2 · x
• ab significa a · b
• 3(x + 1) significa 3 · (x + 1)
• -(x - 4) significa -1 · (x - 4)

Essa leitura correta evita erros ao substituir valores e ao simplificar.

Substituição de valores (avaliar uma expressão)

Avaliar uma expressão é trocar a variável por um número e calcular o resultado, respeitando parênteses e sinais.

Passo a passo

• 1) Identifique as variáveis e seus valores.
• 2) Substitua cada variável pelo valor, usando parênteses se o valor for negativo ou uma fração.
• 3) Calcule seguindo a ordem das operações.
• 4) Confira se não esqueceu multiplicações implícitas.

Exemplo 1 (inteiros)

Avalie E = 2x - 3 para x = -4.

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E = 2x - 3 E = 2(-4) - 3 E = -8 - 3 E = -11

Observação: o parêntese em 2(-4) ajuda a evitar confusão com o sinal.

Exemplo 2 (racionais)

Avalie F = (3/2)x + 1/4 para x = -2/3.

F = (3/2)x + 1/4 F = (3/2)(-2/3) + 1/4 F = -(3·2)/(2·3) + 1/4 F = -1 + 1/4 F = -3/4

Repare que a substituição foi feita com parênteses: (3/2)(-2/3).

Termos semelhantes e simplificação

Termos semelhantes são termos com a mesma parte literal (mesmas variáveis com os mesmos expoentes). Você pode somá-los ou subtraí-los somando/subtraindo apenas os coeficientes.

Exemplos de termos semelhantes

• 3x e -5x são semelhantes (ambos têm x).
• 2a^2 e (1/3)a^2 são semelhantes (ambos têm a^2).
• 4xy e -xy são semelhantes (ambos têm xy).

Exemplos de termos NÃO semelhantes

• 3x e 3x^2 (expoentes diferentes).
• 2x e 2y (variáveis diferentes).
• 5 e 5x (um é constante, outro tem variável).

Passo a passo para simplificar

• 1) Remova parênteses (com cuidado com sinais).
• 2) Agrupe termos semelhantes.
• 3) Some/subtraia os coeficientes de cada grupo.

Exemplo 1 (sem parênteses)

Simplifique: 7x - 3 + 2x + 5

7x - 3 + 2x + 5 (7x + 2x) + (-3 + 5) 9x + 2

Exemplo 2 (com frações)

Simplifique: (1/2)x + (3/4)x - (1/4)x

(1/2)x + (3/4)x - (1/4)x [ (1/2) + (3/4) - (1/4) ]x [ (1/2) + (2/4) ]x [ (1/2) + (1/2) ]x 1·x x

Uso correto de parênteses e sinais

Parênteses indicam que um bloco inteiro deve ser tratado junto. O erro mais comum é trocar sinais ao “tirar parênteses”.

Regra prática ao retirar parênteses

• Se houver + antes do parêntese, os sinais dentro permanecem.
• Se houver - antes do parêntese, todos os sinais dentro trocam.

Exemplo 1: sinal de “mais” antes do parêntese

Simplifique: x + (3 - 2x)

x + (3 - 2x) x + 3 - 2x (x - 2x) + 3 -x + 3

Exemplo 2: sinal de “menos” antes do parêntese

Simplifique: x - (3 - 2x)

x - (3 - 2x) x - 3 + 2x (x + 2x) - 3 3x - 3

Note a troca: - (3 - 2x) vira -3 + 2x.

Exemplo 3: multiplicação por parênteses (distributiva)

Expanda e simplifique: 2(3x - 5) + 4x

2(3x - 5) + 4x 2·3x + 2·(-5) + 4x 6x - 10 + 4x 10x - 10

Multiplique o número fora do parêntese por cada termo dentro.

Tradução de frases para expressões algébricas

Transformar um enunciado em expressão é treinar a leitura matemática. Primeiro, identifique a variável (o que “muda”) e depois traduza as operações.

Vocabulário comum

Exemplos guiados (com organização de passos)

Exemplo 1: “A soma do dobro de um número com 5”.

• Escolha a variável: seja o número x.
• Dobro de x: 2x.
• Soma com 5: 2x + 5.

Exemplo 2: “A diferença entre 7 e o triplo de um número”.

• Variável: x.
• Triplo: 3x.
• Diferença entre 7 e 3x: 7 - 3x (ordem importa).

Exemplo 3: “A metade da soma de um número com 8”.

• Variável: x.
• Soma: x + 8.
• Metade da soma: (x + 8)/2 (parênteses são essenciais).

Exemplo 4: “O quadrado da diferença entre um número e 3”.

• Variável: x.
• Diferença: x - 3.
• Quadrado da diferença: (x - 3)^2 (parênteses são essenciais).

Avaliação após traduzir (inteiros e racionais)

Depois de montar a expressão, uma boa prática é testar com um valor para verificar se a leitura faz sentido.

Exemplo 1

Frase: “O triplo de um número diminuído de 4”. Expressão: 3x - 4. Avalie para x = -2.

3x - 4 3(-2) - 4 -6 - 4 -10

Exemplo 2

Frase: “A metade da soma de um número com 1/3”. Expressão: (x + 1/3)/2. Avalie para x = 5/6.

(x + 1/3)/2 ((5/6) + (1/3))/2 ((5/6) + (2/6))/2 (7/6)/2 7/12

Erros comuns (e como evitar)

1) Somar termos não semelhantes

Erro: 2x + 3y = 5xy ou 2x + 3 = 5x.

Correção: 2x + 3y não simplifica (não são semelhantes). 2x + 3 também não vira um único termo.

2) Esquecer multiplicação implícita

Erro: ler 2x como “vinte e x” ou tratar 3(x+1) como 3x+1.

Correção: 2x é 2·x. E 3(x+1) expande para 3x + 3.

3) Errar o sinal ao retirar parênteses

Erro: -(x - 4) = -x - 4.

Correção: -(x - 4) = -x + 4 (troca o sinal de todos os termos).

Verificação por substituição (conferir o resultado)

Uma forma rápida de checar uma simplificação é escolher um valor para a variável e comparar o valor numérico antes e depois.

Exemplo de verificação

Verifique se 2(x - 3) + x simplifica para 3x - 6.

• Escolha um valor, por exemplo x = 4.

Expressão original: 2(4 - 3) + 4 = 2·1 + 4 = 6 Expressão simplificada: 3·4 - 6 = 12 - 6 = 6

Como os resultados coincidem, a simplificação está consistente para esse teste.

Exercícios de interpretação e prática

A) Traduza para expressão algébrica

• 1) “Cinco a mais que o dobro de um número.”
• 2) “Três a menos que a metade de um número.”
• 3) “O produto de um número por 7, somado com 1/2.”
• 4) “A diferença entre o quadrado de um número e 9.”
• 5) “O dobro da soma de um número com 4.”

B) Simplifique (mostre passos)

• 6) 4x + 3 - 2x + 5
• 7) 3(a - 2) - 2(a + 5)
• 8) (1/3)x + (1/2)x - (5/6)x
• 9) y - (2y - 7) + (y - 1)

C) Avalie (substitua e calcule)

• 10) 2x^2 - 3x + 1 para x = -2
• 11) (x - 1/2)/(3) para x = 5/2
• 12) -(2x - 3) + 4 para x = -1/4

D) Verificação (compare original e simplificada)

• 13) Alguém simplificou 5(x - 2) - (x - 2) para 4x - 8. Verifique substituindo x = 0 e x = 3.
• 14) Alguém disse que 2(x + 3) = 2x + 3. Mostre um valor de x que prove que está errado.