Fundamentos de Matemática: Operações com Expressões Algébricas e Distributiva

O que são monômios e polinômios (no contexto de operações)

Uma expressão algébrica é uma combinação de números e variáveis (como x, y) usando operações. Para operar bem, é essencial reconhecer e organizar os termos.

• Monômio: um único termo, como 3x, -2a^2b, 7.
• Polinômio: soma/subtração de monômios, como 2x + 5, x^2 - 3x + 1.
• Termos semelhantes: têm a mesma parte literal (mesmas variáveis com os mesmos expoentes). Ex.: 4x e -x são semelhantes; 3x e 3x^2 não são.

Objetivo nas operações: juntar termos semelhantes e deixar a expressão em forma padronizada (geralmente em ordem decrescente de expoentes, quando há uma variável principal).

Organização por termos: a base para somar e subtrair

Antes de operar, uma técnica simples ajuda muito: reorganizar a expressão agrupando termos semelhantes.

Exemplo de reorganização:

3x + 2 + x^2 - 5x + 7  →  x^2 + (3x - 5x) + (2 + 7)

Depois, simplifique:

Continue em nosso aplicativo e ...

• Ouça o áudio com a tela desligada
• Ganhe Certificado após a conclusão
• + de 5000 cursos para você explorar!

ou continue lendo abaixo...

Baixar o aplicativo

x^2 - 2x + 9

Adição de expressões algébricas

Para somar polinômios, some os coeficientes dos termos semelhantes.

Exemplo 1 (passo a passo)

Some: (2x + 3) + (5x - 8)

1. Remova parênteses (na adição, os sinais não mudam): 2x + 3 + 5x - 8
2. Agrupe semelhantes: (2x + 5x) + (3 - 8)
3. Some: 7x - 5

Exemplo 2 (com duas variáveis)

(3a - 2b + 1) + (5a + 4b - 6)

(3a + 5a) + (-2b + 4b) + (1 - 6) = 8a + 2b - 5

Subtração de expressões algébricas

Subtrair um polinômio equivale a somar o oposto. Regra prática: ao tirar os parênteses após o sinal de menos, troque os sinais de todos os termos do segundo polinômio.

Exemplo 1 (passo a passo)

Calcule: (4x - 1) - (2x + 6)

1. Distribua o sinal de menos no segundo parêntese: 4x - 1 - 2x - 6
2. Agrupe semelhantes: (4x - 2x) + (-1 - 6)
3. Simplifique: 2x - 7

Exemplo 2 (atenção aos sinais)

(x^2 - 3x + 2) - (2x^2 + x - 5)

x^2 - 3x + 2 - 2x^2 - x + 5 = (x^2 - 2x^2) + (-3x - x) + (2 + 5) = -x^2 - 4x + 7

Propriedade distributiva: a ferramenta central

A propriedade distributiva permite multiplicar um termo por uma soma/subtração:

a(b + c) = ab + ac e a(b - c) = ab - ac

Em álgebra, isso aparece o tempo todo ao multiplicar expressões com parênteses.

Distribuição com número e variável

3(x + 4) = 3x + 12

-2(5x - 1) = -10x + 2 (observe que -2 multiplica os dois termos)

Multiplicação: monômio por monômio

Multiplicar monômios envolve:

• Multiplicar os coeficientes numéricos.
• Multiplicar as partes literais usando as regras de expoentes para a mesma base: x^m · x^n = x^(m+n).

Exemplos

• (3x)(4x^2) = 12x^3 (pois x^1 · x^2 = x^3)
• (-2a^2b)(5ab^3) = -10a^3b^4
• (7x^0)(2x^5) = 14x^5 (pois x^0 = 1)

Multiplicação: monômio por polinômio (distributiva)

Multiplique o monômio por cada termo do polinômio e depois simplifique.

Exemplo 1 (passo a passo)

3x(2x - 5)

1. Distribua: 3x·2x + 3x·(-5)
2. Calcule cada produto: 6x^2 - 15x

Exemplo 2 (com termo constante)

-2( x^2 + 3x - 4 )

-2x^2 - 6x + 8

Multiplicação: polinômio por polinômio

Ideia: cada termo do primeiro polinômio multiplica cada termo do segundo. Depois, some termos semelhantes.

Método distributivo em linha (FOIL para binômios)

Exemplo: (x + 3)(x + 2)

(x)(x) + (x)(2) + (3)(x) + (3)(2) = x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6

Método tabular (útil para não esquecer termos)

Exemplo: (2x - 1)(x + 4)

Some os quatro resultados:

2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4

Exemplo com trinômio (tabular)

(x^2 + x + 1)(x + 2)

Agora some e simplifique:

x^3 + (2x^2 + x^2) + (2x + x) + 2 = x^3 + 3x^2 + 3x + 2

Simplificação final e padronização de forma

Depois de somar, subtrair ou multiplicar, finalize com uma checagem de forma:

• Combine termos semelhantes (somando coeficientes).
• Organize por grau (ex.: x^2, depois x, depois constantes).
• Evite sinais duplicados: troque +(-3x) por -3x.
• Coeficiente 1 normalmente não é escrito: 1x vira x; -1x vira -x.

Exemplo de padronização:

5 + x^2 - 3x + 2x^2 - 1 + x  →  (x^2 + 2x^2) + (-3x + x) + (5 - 1)  →  3x^2 - 2x + 4

Erros comuns (e como evitar)

1) Sinais na distributiva

Erro típico: -3(x - 2) = -3x - 6 (errado)

Correto: -3(x - 2) = -3x + 6 porque -3 · (-2) = +6.

2) “Somar expoentes” quando não deve

Você só soma expoentes quando está multiplicando potências de mesma base.

• Correto: x^2 · x^3 = x^5
• Errado: x^2 + x^3 = x^5 (soma não permite isso)
• Errado: (x + x)^2 = x^2 + x^2 (não é distributiva assim; aqui há produto de binômio)

3) Esquecer termos no produto de polinômios

Em (a + b)(c + d) existem 4 produtos: ac, ad, bc, bd. O método tabular ajuda a garantir que nenhum fique de fora.

4) Misturar termos não semelhantes

2x + 3y não vira 5xy nem 5x. Só pode somar se forem semelhantes: 2x + 3x = 5x.

Verificação: como conferir se o resultado está equivalente

Uma forma prática de verificar operações algébricas é substituir valores para as variáveis e comparar o valor numérico da expressão original com o da expressão simplificada. Se bater para alguns valores, é um forte indício de equivalência (especialmente quando não há restrições como divisão por zero).

Exemplo de verificação (produto)

Você obteve: (2x - 1)(x + 4) = 2x^2 + 7x - 4. Teste com x = 3:

• Original: (2·3 - 1)(3 + 4) = (6 - 1)·7 = 5·7 = 35
• Simplificada: 2·3^2 + 7·3 - 4 = 2·9 + 21 - 4 = 18 + 17 = 35

Exemplo de verificação (subtração)

Resultado: (x^2 - 3x + 2) - (2x^2 + x - 5) = -x^2 - 4x + 7. Teste com x = -1:

• Original: ((1) - 3(-1) + 2) - (2(1) + (-1) - 5) = (1 + 3 + 2) - (2 - 1 - 5) = 6 - (-4) = 10
• Simplificada: -1 - 4(-1) + 7 = -1 + 4 + 7 = 10