Fundamentos de Matemática: Razão, Proporção e Escalas

Razão: comparação entre grandezas

Razão é uma forma de comparar duas grandezas por meio de uma divisão. Se temos duas quantidades a e b (com b ≠ 0), a razão de a para b é:

a:b ou a/b

Leitura correta

• a:b lê-se “a está para b”.
• a/b pode ser lido como “a dividido por b”.

Razão entre grandezas da mesma unidade

Quando as grandezas têm a mesma unidade, a razão é um número “puro” (sem unidade). Exemplo: em uma turma com 12 meninas e 18 meninos, a razão meninas:meninos é 12:18. Simplificando, 12:18 = 2:3. Interpretação: para cada 2 meninas, há 3 meninos.

Razão entre grandezas com unidades diferentes (taxas)

Quando as unidades são diferentes, a razão vira uma taxa e mantém unidade. Exemplo: um carro percorre 180 km em 3 h. A razão distância:tempo é 180/3 = 60, então a taxa é 60 km/h.

Simplificação de razões (sem “misturar unidades”)

Para simplificar uma razão, as grandezas precisam estar em unidades compatíveis. Exemplo: razão entre 2 m e 50 cm.

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• Passo 1: converter para a mesma unidade. 2 m = 200 cm.
• Passo 2: montar a razão: 200:50.
• Passo 3: simplificar: 200:50 = 4:1.

Interpretação: 2 m é 4 vezes 50 cm.

Proporção: igualdade entre razões

Proporção é uma igualdade entre duas razões:

a/b = c/d (com b ≠ 0 e d ≠ 0)

Leitura: “a está para b assim como c está para d”.

Verificação por multiplicação cruzada

Uma proporção é verdadeira quando o produto dos extremos é igual ao produto dos meios:

a/b = c/d ⇔ a·d = b·c

Exemplo: 2/3 = 10/15? Verificando: 2·15 = 30 e 3·10 = 30. Como são iguais, é proporção verdadeira.

Propriedades úteis das proporções

• Inversão: se a/b = c/d, então b/a = d/c (desde que a e c não sejam zero).
• Alternando: se a/b = c/d, então a/c = b/d.
• Compondo (somando 1): se a/b = c/d, então (a+b)/b = (c+d)/d. Interpretação: “razão do total pelo segundo termo” se mantém.

Essas propriedades ajudam a reorganizar relações sem perder a equivalência, mas a checagem final pode ser feita pela multiplicação cruzada.

Resolução de problemas por equivalência de frações

Muitos problemas de proporção se resolvem montando duas razões equivalentes e encontrando o valor desconhecido.

Passo a passo (método da proporção)

• Passo 1: identifique as duas grandezas e mantenha a mesma ordem nas razões (por exemplo, “preço por quantidade”, “distância por tempo”).
• Passo 2: escreva a proporção com o valor desconhecido.
• Passo 3: aplique multiplicação cruzada.
• Passo 4: confira unidades e faça uma estimativa para ver se o resultado faz sentido.

Exemplo 1 (diretamente proporcional)

Se 5 cadernos custam R$ 40, quanto custam 8 cadernos (mesmo preço unitário)?

Montagem mantendo “cadernos” em cima e “preço” embaixo (ou o contrário, mas sem trocar no meio):

5/40 = 8/x

Multiplicação cruzada: 5·x = 40·8 → 5x = 320 → x = 64. Então custam R$ 64.

Estimativa: 8 é um pouco mais que 5, então o preço deve ser maior que 40; 64 é coerente.

Exemplo 2 (inversamente proporcional)

Uma tarefa é feita por 6 pessoas em 10 dias. Em quantos dias 12 pessoas fariam a mesma tarefa (mesma produtividade)?

Aqui, mais pessoas → menos dias. Uma forma segura é usar “pessoas × dias” constante:

6·10 = 12·x → 60 = 12x → x = 5 dias.

Checagem de coerência: dobrou o número de pessoas, o tempo caiu pela metade (10 → 5). Faz sentido.

Tabelas para organizar proporcionalidade e coerência

Tabelas ajudam a enxergar se a relação é direta ou inversa e a evitar inversões de termos.

Exemplo (proporcionalidade direta)

Uma receita usa 300 g de farinha para 4 porções. Quantos gramas para 10 porções?

Como mais porções exigem mais farinha, é direta. Proporção: 4/300 = 10/x → 4x = 3000 → x = 750 g.

Checagem rápida: 10 porções é 2,5 vezes 4; 300 × 2,5 = 750. Coerente.

Escalas: razão entre desenho e real

Escala é uma razão que compara uma medida no desenho/mapa com a medida real. Uma escala 1:n significa:

• 1 unidade no desenho corresponde a n unidades na realidade.
• As unidades devem ser as mesmas dos dois lados (por isso, converter é essencial).

Passo a passo com escala numérica

• Passo 1: leia a escala 1:n.
• Passo 2: meça no desenho (em cm, por exemplo).
• Passo 3: multiplique pelo fator n para obter a medida real na mesma unidade.
• Passo 4: converta para a unidade final desejada (m, km etc.).

Exemplo 1

Em um mapa de escala 1:50 000, a distância entre duas cidades é 3 cm. Qual a distância real?

• Real em cm: 3 × 50 000 = 150 000 cm.
• Convertendo: 100 000 cm = 1 km, então 150 000 cm = 1,5 km.

Resposta: 1,5 km.

Exemplo 2 (encontrar a escala)

Um desenho mostra uma rua com 8 cm, e a rua mede 200 m na realidade. Qual a escala?

• Converter 200 m para cm: 200 m = 20 000 cm.
• Razão desenho:real = 8:20 000.
• Simplificando por 8: 1:2 500.

Escala: 1:2 500.

Densidades simples e cuidado com unidades

Densidade (no sentido cotidiano de “quantidade por unidade”) aparece como razão com unidades, por exemplo:

• densidade demográfica: habitantes por km²
• densidade de massa: g/cm³ ou kg/m³
• densidade linear: itens por metro

Exemplo (densidade demográfica)

Uma cidade tem 120 000 habitantes e área de 300 km². Densidade:

120 000 / 300 = 400 habitantes/km².

Interpretação: em média, 400 habitantes por km².

Exemplo (itens por comprimento)

Um rolo tem 30 m de fita e pesa 600 g. Qual a massa por metro?

600/30 = 20 g/m.

Se usar cm, precisa converter: 30 m = 3000 cm, então 600/3000 = 0,2 g/cm, que é equivalente a 20 g/m.

Erros comuns (e como evitar)

• Inverter termos: trocar a ordem em uma das razões muda o sentido. Dica: escreva rótulos (ex.: “cadernos/preço”) e mantenha a mesma ordem.
• Misturar unidades: comparar m com cm, h com min, km² com m² sem converter. Dica: antes de montar a razão, padronize unidades.
• Simplificar incorretamente: reduzir apenas um termo ou “cancelar” sem fator comum. Dica: só simplifique dividindo ambos os termos pelo mesmo número.
• Assumir proporcionalidade sem checar: nem toda relação é proporcional. Dica: use tabela e verifique se a razão (direta) ou o produto (inversa) permanece constante.

Verificação: multiplicação cruzada e estimativa

Checagem por multiplicação cruzada

Se você montou a/b = c/d, verifique se a·d e b·c batem após substituir o valor encontrado.

Checagem por estimativa

• Se a grandeza “de cima” aumenta e a relação é direta, a “de baixo” deve aumentar na mesma direção.
• Se a relação é inversa, ao aumentar uma grandeza, a outra deve diminuir.
• Compare com um caso simples (dobrar, metade, 10% a mais) para ver se o resultado está na ordem de grandeza correta.

Exercícios (com tabelas e coerência)

1) Razão e interpretação

Uma caixa tem 24 bolas azuis e 36 vermelhas.

• a) Escreva a razão azul:vermelha e simplifique.
• b) Interprete a razão simplificada em linguagem: “para cada __, há __”.

2) Taxa com unidades

Uma torneira enche 18 litros em 6 minutos.

• a) Qual a taxa em L/min?
• b) Qual a taxa em L/h? (cuidado com a conversão de tempo)

3) Proporção por equivalência de frações

Se 7 kg de ração duram 14 dias para um animal, quantos dias duram 10 kg (mesmo consumo diário)?

Indique se é proporcionalidade direta e monte a proporção mantendo a ordem.

4) Proporcionalidade inversa (coerência)

Uma equipe de 4 pessoas faz um serviço em 15 horas. Em quantas horas 6 pessoas fariam o mesmo serviço?

Explique por que a relação é inversa e use produto constante para resolver.

5) Escala

Em uma planta na escala 1:200, uma parede mede 7,5 cm.

• a) Qual o comprimento real em cm?
• b) Converta para metros.

6) Encontrar a escala

Um segmento no desenho mede 12 cm e corresponde a 3 m na realidade. Determine a escala na forma 1:n (padronize unidades antes).

7) Densidade simples

Um terreno tem 2 400 m² e serão plantadas 600 mudas igualmente distribuídas.

• a) Qual a densidade em mudas/m²?
• b) Quantas mudas por 100 m²?

8) Análise de coerência (direta ou inversa?)

Para cada situação, diga se a relação tende a ser direta, inversa ou não proporcional (dependendo do contexto) e justifique com uma frase.

• a) Número de pessoas em um carro e consumo total de combustível em uma viagem fixa.
• b) Velocidade média e tempo para percorrer uma distância fixa.
• c) Lado de um quadrado e sua área.

9) Erros comuns (diagnóstico)

Um aluno resolveu: “Se 3 camisetas custam 90, então 5 camisetas custam x. Fiz 3/90 = x/5, então 3·5 = 90·x, logo x = 1/6”.

• a) Identifique o erro de montagem.
• b) Monte corretamente e resolva.
• c) Faça uma estimativa para validar o resultado.