Fundamentos de Matemática: Porcentagem e Regra de Três

Porcentagem como “fração de 100”

Porcentagem significa “por cento”, isto é, “a cada 100”. Assim, p% representa a fração p/100. Essa ideia ajuda a interpretar situações do cotidiano: 25% de uma turma significa 25 em cada 100 alunos (ou uma parte equivalente, se a turma não tiver 100 alunos).

Leitura rápida

• 1% = 1 em 100 = 1/100
• 10% = 10 em 100 = 10/100
• 100% = 100 em 100 = 100/100 (o todo)
• 150% = 150 em 100 (um todo e mais metade do todo)

Conversões: percentual ↔ decimal ↔ fração

Em problemas, é comum alternar entre três formas equivalentes: percentual, decimal e fração. A conversão correta evita erros como usar 10% como 10 em vez de 0,10.

Percentual → decimal

Divida por 100 (desloca a vírgula duas casas para a esquerda).

• 10% → 10/100 = 0,10
• 2,5% → 2,5/100 = 0,025
• 125% → 125/100 = 1,25

Decimal → percentual

Multiplique por 100 (desloca a vírgula duas casas para a direita).

• 0,08 → 8%
• 1,2 → 120%

Percentual → fração

Escreva sobre 100 e simplifique quando possível.

Continue em nosso aplicativo e ...

• Ouça o áudio com a tela desligada
• Ganhe Certificado após a conclusão
• + de 5000 cursos para você explorar!

ou continue lendo abaixo...

Baixar o aplicativo

• 25% → 25/100 = 1/4
• 12% → 12/100 = 3/25
• 2,5% → 2,5/100 = 25/1000 = 1/40

Fração → percentual

Transforme em decimal e multiplique por 100, ou encontre uma fração equivalente com denominador 100.

• 3/5 = 0,6 → 60%
• 7/20 = 0,35 → 35%

Cálculos fundamentais com porcentagem

1) Encontrar p% de um valor

Regra prática: p% de V = (p/100) · V.

Exemplo (imposto): Um produto custa R$ 250 e o imposto é 12%. Quanto é o imposto?

12% = 0,12  (não é 12! é 0,12)  imposto = 0,12 · 250 = 30

Imposto = R$ 30.

2) Aumento percentual

Se um valor V aumenta p%, o novo valor é:

V_novo = V · (1 + p/100)

Exemplo (reajuste salarial): Salário de R$ 2.000 com aumento de 7%.

V_novo = 2000 · (1 + 0,07) = 2000 · 1,07 = 2140

Novo salário = R$ 2.140.

3) Desconto percentual

Se um valor V sofre desconto de p%, o novo valor é:

V_novo = V · (1 - p/100)

Exemplo (promoção): Um tênis de R$ 180 com desconto de 15%.

V_novo = 180 · (1 - 0,15) = 180 · 0,85 = 153

Preço com desconto = R$ 153.

4) Variação percentual (quanto mudou em relação ao valor inicial)

Para medir a variação percentual do valor inicial V_i para o final V_f:

variação (%) = (V_f - V_i) / V_i · 100%

Exemplo (conta de luz): De R$ 120 para R$ 150.

variação = (150 - 120)/120 · 100% = 30/120 · 100% = 25%

A conta aumentou 25%.

5) “Porcentagem de porcentagem”

Quando uma porcentagem é aplicada sobre outra quantidade que já é uma porcentagem, multiplica-se os fatores.

Exemplo (comissão sobre vendas): Um vendedor recebe 8% de comissão. Em um mês, ele vendeu 60% do estoque. Qual porcentagem do valor total do estoque isso representa em comissão (em termos do total do estoque)?

Comissão relativa ao total = 8% de 60% = 0,08 · 0,60 = 0,048 = 4,8%

Isso equivale a 4,8% do valor total do estoque.

Erros comuns em porcentagem (e como evitar)

• Usar 10% como 10: sempre converta p% para p/100 (ex.: 10% = 0,10).
• Confundir aumento com “somar p”: aumento de 7% não é somar 7 unidades; é multiplicar por 1,07.
• Desconto sucessivo: dois descontos (ex.: 10% e depois 10%) não somam 20%; o fator é 0,9 · 0,9 = 0,81 (desconto total de 19%).

Regra de três simples (direta e inversa) — método estruturado

A regra de três é uma forma organizada de resolver problemas com duas grandezas relacionadas. O ponto central é analisar a relação antes de montar a proporção.

Método em 5 passos

1. Organizar as grandezas: identifique o que varia (ex.: preço e quantidade; tempo e velocidade).

2. Montar uma tabela com valores conhecidos e o valor desconhecido.

3. Identificar a relação: direta ou inversa.

   • Direta: se uma aumenta, a outra aumenta (ex.: quantidade e custo, mantendo preço unitário).
   • Inversa: se uma aumenta, a outra diminui (ex.: número de trabalhadores e tempo para a mesma tarefa, com mesma produtividade).

4. Montar a proporção (igualdade de razões) respeitando a relação.

5. Resolver e interpretar: calcule o valor e verifique se faz sentido.

Regra de três direta (exemplo: compras)

Problema: Se 3 kg de arroz custam R$ 21, quanto custam 5 kg?

Passo 1 e 2 (tabela):

Passo 3 (relação): mais kg → maior preço ⇒ direta.

Passo 4 (proporção):

3/5 = 21/x  (ou 3 : 5 = 21 : x)

Passo 5 (resolver):

3x = 5 · 21 = 105  ⇒  x = 105/3 = 35

Interpretação: 5 kg custam R$ 35.

Regra de três inversa (exemplo: trabalho)

Problema: 4 pessoas fazem um serviço em 6 dias. Em quantos dias 8 pessoas fazem o mesmo serviço (mesmo ritmo)?

Passo 1 e 2 (tabela):

Passo 3 (relação): mais pessoas → menos dias ⇒ inversa.

Passo 4 (proporção inversa): em relação inversa, o produto é constante:

4 · 6 = 8 · x

Passo 5 (resolver):

24 = 8x  ⇒  x = 3

Interpretação: com 8 pessoas, leva 3 dias.

Como não errar direto vs. inverso (teste rápido)

• Imagine a grandeza A aumentando. A grandeza B aumenta junto? Então é direta.
• Se A aumenta e B diminui, é inversa.
• Se o enunciado muda mais de uma condição (ex.: pessoas e horas por dia), a análise precisa considerar todas as grandezas; não aplique regra de três simples automaticamente.

Problemas do cotidiano (porcentagem + regra de três)

1) Preço com imposto e desconto

Problema: Um produto custa R$ 400. Primeiro aplica-se imposto de 10% e depois um desconto de 5% sobre o preço já com imposto. Qual o preço final?

Após imposto: 400 · 1,10 = 440

Após desconto: 440 · 0,95 = 418

Preço final: R$ 418. Observação: não é o mesmo que “+10% e -5%” no valor inicial; as bases são diferentes.

2) Rendimento (regra de três direta)

Problema: Uma receita rende 12 porções usando 300 g de farinha. Quantos gramas são necessários para 20 porções?

Relação direta. Proporção:

12/20 = 300/x  ⇒  12x = 20 · 300 = 6000  ⇒  x = 6000/12 = 500

Necessário: 500 g.

3) Concentração simples (porcentagem)

Problema: Uma solução tem 2% de sal. Em 750 g de solução, qual a massa de sal?

2% = 0,02  ⇒  sal = 0,02 · 750 = 15 g

Massa de sal: 15 g.

4) Concentração por regra de três (interpretação em “por 100”)

Problema: Em um suco, há 30 g de açúcar em 250 mL. Quantos gramas haveria em 100 mL (para comparar rótulos)?

Relação direta:

250/100 = 30/x  ⇒  250x = 3000  ⇒  x = 12

Em 100 mL, há 12 g de açúcar.

Verificação: estimativa e teste de plausibilidade

Estimativa rápida

• 10% é “um décimo”. Ex.: 10% de 250 ≈ 25 (logo 12% deve ser um pouco mais: 30 faz sentido).
• 1% é “um centésimo”. Ex.: 1% de 400 = 4, então 5% de 400 = 20.

Teste de plausibilidade em regra de três

• Se a relação é direta, o resultado deve “ir na mesma direção”. Ex.: mais kg → preço maior; se o cálculo der menor, algo está errado.
• Se a relação é inversa, o resultado deve “ir na direção oposta”. Ex.: mais pessoas → menos dias; se der mais dias, revise a montagem.

Lista de exercícios (graduais)

Nível 1 — conversões e cálculos diretos

1. Converta para decimal: a) 7% b) 0,5% c) 135%.
2. Converta para porcentagem: a) 0,32 b) 1,05 c) 0,007.
3. Converta para fração simplificada: a) 40% b) 12,5% c) 6%.
4. Calcule: a) 15% de 80 b) 2% de 1.500 c) 125% de 64.

Nível 2 — aumento, desconto e variação

5. Um celular de R$ 1.200 teve aumento de 8%. Qual o novo preço?
6. Uma jaqueta de R$ 250 teve desconto de 20%. Qual o preço final?
7. Um produto passou de R$ 90 para R$ 72. Qual foi a variação percentual?
8. Dois reajustes sucessivos: aumente R$ 500 em 10% e depois aplique desconto de 10%. Compare com o valor inicial.

Nível 3 — porcentagem de porcentagem e aplicações

9. Uma escola tem 40% de alunos no turno da manhã. Desses, 25% fazem curso de idiomas. Que porcentagem do total de alunos faz curso de idiomas no turno da manhã?
10. Em uma loja, 30% das vendas são no cartão. A taxa do cartão é 3% sobre essas vendas. Qual porcentagem do faturamento total é paga em taxa?

Nível 4 — regra de três (direta e inversa)

11. (Direta) Se 6 metros de tecido custam R$ 78, quanto custam 2,5 metros?
12. (Direta) Um carro percorre 180 km com 12 L de combustível. Quantos litros são necessários para 300 km (mesmo consumo médio)?
13. (Inversa) 5 máquinas produzem um lote em 12 horas. Quantas horas levarão 8 máquinas (mesma produtividade)?
14. (Inversa) Uma torneira enche um tanque em 30 minutos. Duas torneiras iguais, juntas, enchem em quanto tempo?

Nível 5 — mistos (análise antes de montar)

15. Um produto custa R$ 200. A loja dá 15% de desconto e depois cobra 8% de imposto sobre o preço com desconto. Qual o preço final?
16. Uma solução de 500 g tem concentração de 3% de sal. Quantos gramas de sal há na solução?
17. Em um rótulo: “9 g de proteína por 30 g de porção”. Quantos gramas de proteína há em 100 g do produto?
18. Um trabalhador faz uma tarefa em 10 dias. Quantos dias levariam 4 trabalhadores iguais (mesmo ritmo), trabalhando juntos?

Checklist de autocorreção (antes de finalizar uma resposta)

• Conferi se converti p% para p/100 (ex.: 10% virou 0,10)?
• Em aumento/desconto, usei fator 1 ± p/100?
• Na regra de três, identifiquei se a relação é direta ou inversa antes de montar a conta?
• O resultado é plausível por estimativa (ordem de grandeza) e direção (aumenta/diminui)?