Fundamentos de Matemática: Produtos Notáveis e Identidades Básicas

O que são produtos notáveis (e por que economizam trabalho)

Produtos notáveis são multiplicações algébricas que aparecem com muita frequência e têm um resultado-padrão. Em vez de expandir sempre termo a termo, você reconhece o padrão e escreve o resultado rapidamente. Mesmo assim, é importante saber justificar pelo método geral (distribuição) para evitar erros de sinal e de termos.

Neste capítulo, vamos praticar três identidades básicas:

• (a+b)^2 (quadrado da soma)
• (a-b)^2 (quadrado da diferença)
• (a+b)(a-b) (produto da soma pela diferença)

1) Quadrado da soma: (a+b)^2

Identidade

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Justificativa comparando com a distributiva

Escreva o quadrado como produto:

(a+b)^2 = (a+b)(a+b)

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(a+b)(a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

Passo a passo prático (para expandir rápido)

• 1º: quadrado do primeiro termo: a^2
• 2º: dobro do produto: 2ab
• 3º: quadrado do segundo termo: b^2

Exemplos

Exemplo 1: (x+5)^2

• a=x, b=5
• (x+5)^2 = x^2 + 2·x·5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25

Exemplo 2: (2y+3)^2

• a=2y, b=3
• (2y+3)^2 = (2y)^2 + 2·(2y)·3 + 3^2 = 4y^2 + 12y + 9

2) Quadrado da diferença: (a-b)^2

Identidade

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Justificativa comparando com a distributiva

(a-b)^2 = (a-b)(a-b)

(a-b)(a-b) = a(a-b) - b(a-b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2

Passo a passo prático (atenção ao sinal do meio)

• 1º: quadrado do primeiro termo: a^2
• 2º: menos o dobro do produto: -2ab
• 3º: quadrado do segundo termo: b^2

Exemplos

Exemplo 1: (x-5)^2

• a=x, b=5
• (x-5)^2 = x^2 - 2·x·5 + 25 = x^2 - 10x + 25

Exemplo 2: (3a-2b)^2

• a=3a (primeiro termo), b=2b (segundo termo)
• (3a-2b)^2 = (3a)^2 - 2·(3a)·(2b) + (2b)^2 = 9a^2 - 12ab + 4b^2

3) Soma pela diferença: (a+b)(a-b)

Identidade (diferença de quadrados)

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

Justificativa comparando com a distributiva

(a+b)(a-b) = a(a-b) + b(a-b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2

Note como os termos do meio se cancelam (-ab e +ab).

Passo a passo prático

• 1º: quadrado do primeiro termo: a^2
• 2º: menos o quadrado do segundo termo: -b^2

Exemplos

Exemplo 1: (x+7)(x-7)

• a=x, b=7
• (x+7)(x-7) = x^2 - 49

Exemplo 2: (2m+5)(2m-5)

• a=2m, b=5
• (2m+5)(2m-5) = (2m)^2 - 5^2 = 4m^2 - 25

Como reconhecer padrões rapidamente

Padrão 1: “quadrado de binômio”

Se você vê algo do tipo (... )^2 com dois termos dentro, suspeite de (a+b)^2 ou (a-b)^2. O resultado sempre tem três termos: quadrado do primeiro, termo do meio, quadrado do segundo.

• (a+b)^2 → termo do meio é +2ab
• (a-b)^2 → termo do meio é -2ab

Padrão 2: “mesmos termos, sinais opostos”

Se você vê (a+b)(a-b), os termos são iguais e só muda o sinal do segundo termo. O resultado tem dois termos: a^2 - b^2.

Quando vale a pena usar o produto notável (método mais eficiente)

• Use (a±b)^2 quando houver um binômio ao quadrado: evita expandir duas distribuições.
• Use (a+b)(a-b) quando os fatores forem “conjugados”: evita multiplicar quatro termos e simplificar depois.
• Se a expressão não encaixa exatamente no padrão, use a expansão termo a termo (ou reescreva para encaixar, quando possível).

Erros comuns (e como evitar)

1) Esquecer o termo 2ab

Erro típico: (a+b)^2 = a^2 + b^2 (incorreto). Sempre existe o termo do meio 2ab (com sinal + ou -).

Checagem rápida: conte termos: quadrado de binômio gera 3 termos, não 2.

2) Errar o sinal do termo do meio em (a-b)^2

Erro típico: (a-b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (incorreto). O termo do meio é negativo: -2ab.

Dica: pense em (a-b)(a-b): aparecem dois produtos -ab.

3) Confundir “diferença de quadrados” com “quadrado da diferença”

• a^2 - b^2 é diferença de quadrados e pode ser escrito como (a+b)(a-b).
• (a-b)^2 é quadrado da diferença e vira a^2 - 2ab + b^2.

Comparação direta:

Verificação por substituição numérica

Uma forma rápida de conferir se a expansão está correta é escolher valores simples para as letras, calcular os dois lados e comparar.

Exemplo de verificação

Verifique se (x-4)^2 = x^2 - 8x + 16.

• Escolha x=10
• Lado esquerdo: (10-4)^2 = 6^2 = 36
• Lado direito: 10^2 - 8·10 + 16 = 100 - 80 + 16 = 36

Como os valores batem, a identidade está consistente para esse teste (e, por ser identidade algébrica, vale para todo x).

Exercícios 1 — Reconhecimento de padrão (sem expandir)

Indique qual identidade se aplica ((a+b)^2, (a-b)^2 ou (a+b)(a-b)) e diga se o resultado final terá 2 ou 3 termos.

• 1) (x+9)^2
• 2) (3t-1)^2
• 3) (a+2b)(a-2b)
• 4) (5m+n)^2
• 5) (p-q)(p+q)
• 6) (2x-7)^2
• 7) (k+4)(k-4)
• 8) (u-v)^2

Exercícios 2 — Expansão completa

Expanda e simplifique.

• 1) (x+3)^2
• 2) (x-3)^2
• 3) (2x+5)^2
• 4) (2x-5)^2
• 5) (y+4)(y-4)
• 6) (3a+2b)^2
• 7) (3a-2b)^2
• 8) (5m+1)(5m-1)
• 9) (x+2y)(x-2y)
• 10) (4p-3q)^2

Exercícios 3 — Escolha do método mais eficiente

Em cada item: (i) diga qual método é mais eficiente (produto notável ou expansão termo a termo) e (ii) resolva.

• 1) (x+1)(x+1)
• 2) (x+1)(x-1)
• 3) (x+2)(x+3)
• 4) (2a-3)(2a-3)
• 5) (3y+4)(3y-4)
• 6) (m-6)^2
• 7) (m-6)(m+6)
• 8) (2x-1)(2x+5)

Exercícios 4 — Verificação por substituição

Para cada identidade proposta: (i) escolha um valor numérico simples para a variável (ou dois valores diferentes), (ii) calcule os dois lados e (iii) diga se confere.

• 1) (x+6)^2 = x^2 + 12x + 36
• 2) (x-6)^2 = x^2 - 12x + 36
• 3) (x+6)(x-6) = x^2 - 36
• 4) (2x+3)^2 = 4x^2 + 6x + 9
• 5) (a-b)^2 = a^2 - b^2

Gabarito comentado (selecionado)

Reconhecimento (Exercícios 1)

• 1) (a+b)^2, 3 termos
• 2) (a-b)^2, 3 termos
• 3) (a+b)(a-b), 2 termos
• 5) (a+b)(a-b), 2 termos

Expansão (alguns itens do Exercícios 2)

• 1) (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9
• 2) (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9
• 5) (y+4)(y-4) = y^2 - 16
• 9) (x+2y)(x-2y) = x^2 - 4y^2

Escolha do método (alguns itens do Exercícios 3)

• 1) Produto notável: (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
• 2) Produto notável: (x+1)(x-1) = x^2 - 1
• 3) Termo a termo (não é padrão): (x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6
• 5) Produto notável: (3y+4)(3y-4) = 9y^2 - 16

Verificação (Exercícios 4, item 5)

(a-b)^2 = a^2 - b^2 é falsa em geral. Teste: escolha a=5, b=2.

• Lado esquerdo: (5-2)^2 = 9
• Lado direito: 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21

Como não confere, a igualdade não é uma identidade.