Fundamentos de Matemática: Fatoração Básica para Simplificar Expressões

Fatoração como processo inverso da expansão

Fatorar é “voltar” de uma expressão expandida (em soma/subtração de termos) para uma forma em produto. Isso é útil para simplificar expressões, identificar padrões e cancelar fatores em frações algébricas (com cuidado).

Uma forma prática de checar se a fatoração está correta é reexpandir: multiplicar os fatores e comparar com a expressão original. Se não bater termo a termo (inclusive sinais), a fatoração está errada.

Ideia central: reconhecer padrões

• Fator comum em evidência: todos os termos têm um fator em comum.
• Agrupamento simples: separar em grupos para aparecer um fator comum em cada grupo.
• Diferença de quadrados: a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).
• Trinômio quadrado perfeito (TQP): a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2, quando reconhecível.

1) Fator comum em evidência

Quando todos os termos compartilham um mesmo fator (numérico, literal ou ambos), podemos colocá-lo “para fora” dos parênteses.

Passo a passo

• Encontre o maior fator comum (numérico e de variáveis) presente em todos os termos.
• Divida cada termo por esse fator e coloque o resultado dentro dos parênteses.
• Cheque reexpandindo.

Exemplo 1: fator comum numérico e literal

Fatore: 6x^2 + 9x

1) Fator comum: 3x (pois 6 e 9 têm fator 3, e ambos os termos têm x).
2) Dividindo termo a termo:

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6x^2 ÷ 3x = 2x  e  9x ÷ 3x = 3

3) Fatoração:

6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)

Checagem por reexpansão:

3x(2x + 3) = 3x·2x + 3x·3 = 6x^2 + 9x

Exemplo 2: fator comum com sinal negativo

Fatore: -4a + 8

Você pode colocar 4 em evidência, mas muitas vezes é mais útil colocar -4 para deixar o primeiro termo dentro do parêntese positivo:

-4a + 8 = -4(a - 2)

Checagem:

-4(a - 2) = -4a + 8

2) Agrupamento simples

Usamos quando não há um fator comum em todos os termos, mas é possível agrupar para criar fatores comuns por partes.

Passo a passo

• Agrupe os termos (normalmente em dois pares) de modo que cada grupo tenha um fator comum.
• Fatore o fator comum de cada grupo.
• Observe se aparece um mesmo binômio (ou fator) repetido; coloque-o em evidência.
• Cheque reexpandindo.

Exemplo: quatro termos

Fatore: ax + ay + bx + by

1) Agrupando:

(ax + ay) + (bx + by)

2) Fatorando em cada grupo:

a(x + y) + b(x + y)

3) Agora há um fator comum (x + y):

a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)

Checagem:

(a + b)(x + y) = a(x + y) + b(x + y) = ax + ay + bx + by

3) Diferença de quadrados

Quando você tem “quadrado menos quadrado”, aplica diretamente:

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Como reconhecer

• Dois termos.
• Um sinal de subtração entre eles.
• Cada termo é um quadrado perfeito (número ou expressão).

Exemplo 1: simples

x^2 - 25

Aqui 25 = 5^2, então:

x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)

Checagem:

(x - 5)(x + 5) = x^2 + 5x - 5x - 25 = x^2 - 25

Exemplo 2: com coeficientes

9a^2 - 16b^2

9a^2 = (3a)^2 e 16b^2 = (4b)^2:

9a^2 - 16b^2 = (3a - 4b)(3a + 4b)

Checagem:

(3a - 4b)(3a + 4b) = (3a)^2 - (4b)^2 = 9a^2 - 16b^2

4) Trinômio quadrado perfeito (quando reconhecível)

Um trinômio quadrado perfeito tem a forma:

• a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2
• a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2

Como reconhecer rapidamente

• Três termos.
• Primeiro e último são quadrados perfeitos.
• O termo do meio é o dobro do produto das “raízes” desses quadrados, com o sinal correto.

Exemplo 1

Fatore: x^2 + 10x + 25

1) x^2 é x^2 e 25 é 5^2.
2) Verifique o termo do meio: 2·x·5 = 10x (confere).
3) Então:

x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2

Checagem:

(x + 5)^2 = x^2 + 2·x·5 + 25 = x^2 + 10x + 25

Exemplo 2 (com sinal negativo)

4y^2 - 12y + 9

1) 4y^2 = (2y)^2 e 9 = 3^2.
2) Termo do meio: 2·(2y)·3 = 12y, e o sinal é negativo: -12y (confere).
3) Logo:

4y^2 - 12y + 9 = (2y - 3)^2

Checagem:

(2y - 3)^2 = (2y)^2 - 2·(2y)·3 + 3^2 = 4y^2 - 12y + 9

Conectando fatoração com simplificação de frações algébricas

Uma fração algébrica pode ser simplificada quando numerador e denominador têm fatores comuns. O procedimento correto é: fatorar numerador e denominador, identificar fatores iguais e cancelar fatores (não “termos” isolados).

Regra essencial: restrições de domínio

O denominador não pode ser zero. Ao simplificar, a expressão pode ficar mais “curta”, mas as restrições do denominador original continuam valendo.

Exemplo 1: cancelamento correto após fatorar

Simplifique: (6x^2 + 9x) / (3x)

1) Fatore o numerador:

6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)

2) Substitua na fração:

(3x(2x + 3)) / (3x)

3) Cancele o fator comum 3x:

(3x(2x + 3)) / (3x) = 2x + 3

Restrição de domínio: como o denominador original é 3x, precisamos de x ≠ 0.

Exemplo 2: diferença de quadrados em fração

Simplifique: (x^2 - 25) / (x - 5)

1) Fatore o numerador (diferença de quadrados):

x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)

2) Substitua:

((x - 5)(x + 5)) / (x - 5)

3) Cancele o fator (x - 5):

((x - 5)(x + 5)) / (x - 5) = x + 5

Restrição de domínio: o denominador original exige x - 5 ≠ 0, então x ≠ 5. Mesmo que a forma simplificada seja x + 5, ela não está definida em x = 5.

Exemplo 3: TQP no numerador e fator comum no denominador

Simplifique: (x^2 + 10x + 25) / (x + 5)

1) Reconheça o TQP:

x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2

2) Substitua e cancele um fator:

(x + 5)^2 / (x + 5) = x + 5

Restrição de domínio: x + 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ -5.

Erros comuns e como evitar

1) Erros de sinal ao colocar fator em evidência

Exemplo de erro: tentar fatorar -2x - 6 como -2(x - 3) (isso daria -2x + 6, que não confere).

Correto:

-2x - 6 = -2(x + 3)

Checagem:

-2(x + 3) = -2x - 6

2) Perder termos ao fatorar por agrupamento

Ao agrupar, garanta que todos os termos originais aparecem exatamente uma vez. Uma boa prática é reescrever a expressão com parênteses e depois reexpandir no final.

3) Cancelar termos que não são fatores

Não é permitido “cancelar” partes de uma soma diretamente.

Exemplo incorreto:

(x + 5) / x “cancelar o x” e virar 5 (isso não faz sentido, porque x + 5 não é um produto com fator x).

Exemplo correto de cancelamento (com fatoração):

(x^2 + 5x) / x = (x(x + 5)) / x = x + 5, com restrição x ≠ 0.

Checklist de verificação por reexpansão

• Reexpanda o resultado fatorado usando distributiva.
• Compare com a expressão original: mesmos termos e mesmos sinais.
• Em frações algébricas: antes de cancelar, confirme que o que será cancelado é um fator completo.
• Anote as restrições do denominador original (valores que o tornam zero).