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Fundamentos de Matemática: Potenciação e Propriedades das Potências

Capítulo 10

Tempo estimado de leitura: 6 minutos

+ Exercício

Potenciação: ideia central e notação

Uma potência é uma forma compacta de escrever uma multiplicação repetida do mesmo fator. Escrevemos a^n, onde:

a é a base (o número que se repete);
n é o expoente (quantas vezes a base aparece como fator).

Para expoente natural n (como 1, 2, 3, ...), vale:

a^n = a · a · a · ... · a (com n fatores)

Exemplos (multiplicação repetida)

Exemplo 1: 2^4

Passo a passo:

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Escreva como repetição: 2^4 = 2·2·2·2
Multiplique: 2·2=4, 4·2=8, 8·2=16
Resultado: 2^4 = 16

Exemplo 2: (-3)^3

(-3)^3 = (-3)·(-3)·(-3)
(-3)·(-3)=9
9·(-3)=-27
Logo, (-3)^3 = -27

Base negativa: parênteses importam

Compare:

(-3)^2 = (-3)·(-3) = 9
-3^2 = -(3^2) = -9

Sem parênteses, o expoente atua apenas no 3, e o sinal de menos fica “fora”.

Expoente zero e expoentes negativos (justificativa operacional)

Expoente 1

a^1 = a. É apenas um fator.

Expoente zero

Para a ≠ 0, definimos a^0 = 1. A justificativa vem da propriedade do quociente (que veremos formalmente adiante), mas podemos observar o padrão:

2^3 = 8
2^2 = 4 (dividiu por 2)
2^1 = 2 (dividiu por 2)
2^0 = 1 (dividiu por 2 de novo)

Ou seja, ao diminuir o expoente em 1, dividimos por 2. Para manter o padrão, 2^0 precisa ser 1. O mesmo raciocínio vale para qualquer a ≠ 0.

Atenção: 0^0 não é definido de forma única em aritmética elementar; evite usar.

Expoentes negativos

Para a ≠ 0, definimos:

a^{-n} = 1 / a^n

Justificativa pelo mesmo padrão de “diminuir expoente divide pela base”:

2^1 = 2
2^0 = 1 (dividiu por 2)
2^{-1} = 1/2 (dividiu por 2)
2^{-2} = 1/4 (dividiu por 2)

Exemplos com expoente zero e negativo

Exemplo 3: 5^0

Como 5 ≠ 0, 5^0 = 1

Exemplo 4: 3^{-2}

Pela definição: 3^{-2} = 1/3^2
3^2 = 9
Logo: 3^{-2} = 1/9

Exemplo 5: (-2)^{-3}

(-2)^{-3} = 1/(-2)^3
(-2)^3 = -8
Então: (-2)^{-3} = -1/8

Propriedades das potências (com justificativa e exemplos)

As propriedades abaixo valem em geral para bases reais (com cuidados quando há divisão por zero). Em álgebra, considere a e b como números (ou expressões) e evite valores que zerem denominadores.

1) Produto de potências de mesma base

a^m · a^n = a^{m+n}

Por quê funciona? Porque você está juntando fatores iguais:

a^m = a·a·...·a (m vezes) e a^n = a·a·...·a (n vezes). Multiplicando, ficam m+n fatores de a.

Exemplo 6 (numérico): 2^3 · 2^4

Some os expoentes: 2^{3+4} = 2^7
2^7 = 128

Verificação por caso pequeno:

2^3=8 e 2^4=16
8·16=128 (bate com 2^7)

Exemplo 7 (algébrico): x^5 · x^2

x^{5+2} = x^7

2) Quociente de potências de mesma base

a^m / a^n = a^{m-n}, com a ≠ 0

Por quê funciona? Ao dividir, você cancela fatores iguais no numerador e denominador.

Exemplo 8 (numérico): 3^5 / 3^2

Subtraia os expoentes: 3^{5-2} = 3^3
3^3 = 27

Verificação: 3^5=243 e 3^2=9; 243/9=27.

Exemplo 9 (gera expoente zero): 7^4 / 7^4

7^{4-4} = 7^0 = 1
Faz sentido: qualquer número não nulo dividido por ele mesmo é 1.

Exemplo 10 (gera expoente negativo): 2^3 / 2^7

2^{3-7} = 2^{-4}
2^{-4} = 1/2^4 = 1/16

3) Potência de potência

(a^m)^n = a^{m·n}

Por quê funciona? (a^m)^n significa multiplicar a^m por ele mesmo n vezes. Cada a^m tem m fatores a; ao repetir n vezes, totaliza m·n fatores.

Exemplo 11: (2^3)^4

Multiplique os expoentes: 2^{3·4} = 2^{12}
2^{12} = 4096

Verificação por expansão curta:

(2^3)^2 = 2^3·2^3 = 2^{6} (bate com 3·2)

Exemplo 12 (com variável): (x^2)^5

x^{2·5} = x^{10}

4) Potência de um produto

(ab)^n = a^n · b^n

Por quê funciona? (ab)^n é (ab)·(ab)·...·(ab) (n vezes). Reagrupando, aparecem n fatores a e n fatores b.

Exemplo 13: (2·3)^4

(2·3)^4 = 2^4·3^4
2^4=16 e 3^4=81
16·81 = 1296

Verificação: (2·3)^4 = 6^4 = 1296.

Exemplo 14 (algébrico): (3x)^2

(3x)^2 = 3^2·x^2 = 9x^2

5) Potência de um quociente

(a/b)^n = a^n / b^n, com b ≠ 0

Exemplo 15: (2/5)^3

(2/5)^3 = 2^3/5^3
2^3=8 e 5^3=125
Resultado: 8/125

Exemplo 16 (com expoente negativo): (3/2)^{-2}

(3/2)^{-2} = 1/(3/2)^2
(3/2)^2 = 3^2/2^2 = 9/4
1/(9/4) = 4/9

Simplificação prática: como escolher a propriedade certa

Roteiro rápido

Se for multiplicação com a mesma base: some expoentes.
Se for divisão com a mesma base: subtraia expoentes.
Se for potência de potência: multiplique expoentes.
Se for potência de produto/quociente: distribua o expoente para cada fator.
Se aparecer expoente negativo: transforme em recíproco com expoente positivo.

Exemplos passo a passo (mistos)

Exemplo 17: 2^3 · 2^{-5}

Mesma base, multiplica: some expoentes 3 + (-5) = -2
2^{-2} = 1/2^2 = 1/4

Exemplo 18: (x^3)^2 · x^{-4}

Potência de potência: (x^3)^2 = x^{6}
Produto mesma base: x^6 · x^{-4} = x^{6-4} = x^2

Exemplo 19: (2a^2b)^3

Potência do produto: (2a^2b)^3 = 2^3 · (a^2)^3 · b^3
2^3=8
(a^2)^3 = a^{2·3} = a^6
Resultado: 8a^6b^3

Exemplo 20: (x^2y^{-1})^2

Distribua: (x^2)^2 · (y^{-1})^2
(x^2)^2 = x^4
(y^{-1})^2 = y^{-2}
Reescreva sem expoente negativo: x^4 · 1/y^2 = x^4/y^2

Exemplo 21: 9x^4 / (3x)^2

Calcule o denominador: (3x)^2 = 3^2x^2 = 9x^2
Então: 9x^4 / (9x^2)
Cancele: 9/9 = 1 e x^4/x^2 = x^{4-2} = x^2
Resultado: x^2

Notação científica (introdução)

A notação científica escreve números muito grandes ou muito pequenos como:

a · 10^n, onde 1 ≤ a < 10 e n é um inteiro.

Como montar (passo a passo)

Exemplo 22: 450000

Coloque a vírgula para ficar um número entre 1 e 10: 4,5
Conte quantas casas a vírgula “andou” para a esquerda: 5 casas
Então: 450000 = 4,5 · 10^5

Exemplo 23: 0,00072

Coloque a vírgula para ficar entre 1 e 10: 7,2
A vírgula andou 4 casas para a direita
Então o expoente é negativo: 0,00072 = 7,2 · 10^{-4}

Operações simples usando propriedades

Exemplo 24: (3 · 10^4) · (2 · 10^3)

Multiplique os coeficientes: 3·2 = 6
Some os expoentes de 10: 10^4 · 10^3 = 10^{7}
Resultado: 6 · 10^7

Exemplo 25: (8 · 10^{-2}) / (2 · 10^3)

Divida os coeficientes: 8/2 = 4
Subtraia os expoentes: 10^{-2}/10^3 = 10^{-2-3} = 10^{-5}
Resultado: 4 · 10^{-5}

Erros comuns e como verificar

Erro 1: somar expoentes quando não pode

Errado: 2^3 + 2^4 = 2^7

Por que está errado? A regra de somar expoentes vale para multiplicação, não para soma.

Verificação numérica:

2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24
2^7 = 128
Não bate, então a transformação é inválida.

Erro 2: esquecer parênteses com base negativa

Exemplo: compare (-2)^4 e -2^4

(-2)^4 = 16 (expoente par torna o resultado positivo)
-2^4 = -(2^4) = -16

Erro 3: confundir potência de produto com soma de potências

Errado: (a+b)^2 = a^2 + b^2

Verificação com números: tome a=1 e b=2

(1+2)^2 = 3^2 = 9
1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5
Não bate.

Outro erro parecido: (ab)^n = a^n + b^n (também é falso). O correto é (ab)^n = a^n·b^n.

Verificação rápida: teste com casos pequenos

Se você aplicou uma propriedade, teste com números simples (como 2, 3, -1) para ver se os dois lados dão o mesmo resultado.
Quando houver letras, escolha valores que não anulem denominadores (por exemplo, evite x=0 se houver 1/x).