Fundamentos de Matemática: Números e Representações

Conjuntos numéricos: o que são e para que servem

Em matemática, usamos conjuntos numéricos para organizar os tipos de números e escolher regras adequadas para cada situação (contar, medir, comparar, dividir, resolver problemas com valores negativos etc.). Os principais conjuntos são: naturais, inteiros, racionais e reais.

Números naturais (N)

Os naturais são os números usados para contagem. Em muitos materiais, incluem o zero.

• Exemplos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
• Uso prático: quantidade de itens, páginas, pessoas, unidades inteiras.

Atenção: dependendo da convenção, pode aparecer N = {1,2,3,...} ou N = {0,1,2,3,...}. Neste capítulo, vamos considerar que 0 pertence aos naturais.

Números inteiros (Z)

Os inteiros incluem os naturais, seus opostos (negativos) e o zero.

• Exemplos: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
• Uso prático: temperaturas abaixo de zero, saldo devedor, andares subterrâneos, variações (ganho/perda).

Números racionais (Q)

Os racionais são números que podem ser escritos como uma fração a/b, onde a e b são inteiros e b ≠ 0.

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• Exemplos: 1/2, -3/4, 5 (pois 5 = 5/1), 0,25 (pois 0,25 = 25/100 = 1/4)
• Uso prático: medidas, proporções, divisão de quantidades, dinheiro, receitas.

Observação importante: todo decimal finito (ex.: 2,75) é racional. Todo decimal periódico (ex.: 0,333...) também é racional.

Números reais (R)

Os reais incluem todos os racionais e também os irracionais (que não podem ser escritos como fração de inteiros).

• Exemplos de irracionais: √2, π, 1,4142135... (sem repetição periódica)
• Uso prático: medidas contínuas (comprimentos, áreas), geometria, cálculos com raízes.

Relação de inclusão (do menor para o maior conjunto): N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Representação na reta numérica

A reta numérica representa números como pontos em uma linha. Ela ajuda a comparar valores, entender sinais e visualizar distâncias.

• O zero fica no centro (referência).
• À direita do zero ficam os números positivos.
• À esquerda do zero ficam os números negativos.
• Quanto mais à direita, maior é o número.

...  -3   -2   -1    0    1    2    3  ...

Comparação: maior (>) e menor (<)

Para comparar dois números na reta:

• O que está mais à direita é maior.
• O que está mais à esquerda é menor.

Exemplos:

• 2 > -1 (2 está à direita de -1)
• -5 < -2 (−5 está mais à esquerda)

Estratégia rápida para negativos

Entre números negativos, o que tem maior valor absoluto é o menor na reta.

• -10 < -3 porque −10 está mais distante do zero para a esquerda.

Intervalos: como escrever conjuntos de números

Um intervalo descreve todos os números entre dois valores. Usamos:

• Colchetes [ ] quando o extremo entra no intervalo.
• Parênteses ( ) quando o extremo não entra no intervalo.

Tipos comuns

Intervalos com infinito

Infinito nunca é incluído, então sempre usamos parênteses com ∞ e -∞.

• (-∞, 3]: todos os números menores ou iguais a 3
• (0, ∞): todos os números maiores que 0

Ligação com desigualdades

• x ≥ 2 equivale a [2, ∞)
• -1 < x < 4 equivale a (-1, 4)
• x ≤ 5 equivale a (-∞, 5]

Valor absoluto: distância até o zero

O valor absoluto de um número x, escrito |x|, é a distância entre x e 0 na reta numérica. Distância nunca é negativa.

• |5| = 5
• |-5| = 5
• |0| = 0

Regra prática

• Se x ≥ 0, então |x| = x.
• Se x < 0, então |x| = -x (troca o sinal para ficar positivo).

Exemplo passo a passo

Calcular |-12|:

• O número é negativo.
• Aplicar a regra: |x| = -x.
• |-12| = -(-12) = 12.

Classificação de números (passo a passo)

Para classificar um número, pergunte em ordem:

• É um número de contagem (0, 1, 2, ...)? Então está em N.
• É negativo ou zero ou positivo inteiro? Então está em Z.
• Pode ser escrito como fração de inteiros a/b? Então está em Q.
• Se não for racional, mas é um número na reta (como √2, π), então está em R e é irracional.

Exemplo 1: classificar 7

• 7 é natural: 7 ∈ N.
• Logo também é inteiro: 7 ∈ Z.
• Também é racional: 7 = 7/1, então 7 ∈ Q.
• Portanto é real: 7 ∈ R.

Exemplo 2: classificar -3

• -3 não é natural (naturais não têm negativos).
• É inteiro: -3 ∈ Z.
• É racional: -3 = -3/1, então -3 ∈ Q.
• É real: -3 ∈ R.

Exemplo 3: classificar 0,125

• Não é inteiro (tem parte decimal).
• É decimal finito, então é racional.
• Converter: 0,125 = 125/1000.
• Simplificar: dividir por 125: 125/1000 = 1/8.
• Conclusão: 0,125 ∈ Q e 0,125 ∈ R.

Exemplo 4: classificar √2

• √2 ≈ 1,414213... (decimal infinito sem período).
• Não pode ser escrito como a/b com inteiros.
• Conclusão: √2 é irracional, então √2 ∈ R e √2 ∉ Q.

Conversões entre fração e decimal (passo a passo)

De fração para decimal

Basta dividir o numerador pelo denominador.

Exemplo: converter 3/4 para decimal.

• Fazer 3 ÷ 4.
• 3 ÷ 4 = 0,75.
• Logo, 3/4 = 0,75.

Exemplo: converter 2/3 para decimal.

• 2 ÷ 3 = 0,666... (repete o 6).
• Logo, 2/3 = 0,6̅ (decimal periódico).

De decimal finito para fração

Transforme em inteiro e divida por uma potência de 10, depois simplifique.

Exemplo: converter 0,72 para fração.

• Tem 2 casas decimais: 0,72 = 72/100.
• Simplificar dividindo por 4: 72/100 = 18/25.
• Logo, 0,72 = 18/25.

Exemplo: converter -1,5 para fração.

• Uma casa decimal: -1,5 = -15/10.
• Simplificar por 5: -15/10 = -3/2.
• Logo, -1,5 = -3/2.

Erros comuns e como evitar

1) Confundir inteiro com natural

• Erro: achar que -2 é natural.
• Correção: naturais não têm negativos. -2 é inteiro, racional e real.
• Verificação: na reta, naturais (neste capítulo) começam em 0 e vão para a direita.

2) Perder o sinal ao converter ou comparar

• Erro: converter -0,25 para 1/4 (esquecendo o sinal).
• Correção: -0,25 = -25/100 = -1/4.
• Verificação: se o número original é negativo, a fração final também deve ser negativa.

3) Comparação de negativos invertida

• Erro: pensar que -8 > -3 porque 8 é maior que 3.
• Correção: na reta, -8 está mais à esquerda, então -8 < -3.
• Verificação: use a reta numérica ou pense em temperatura: −8°C é menor que −3°C.

4) Achar que todo decimal é irracional

• Erro: dizer que 0,125 é irracional.
• Correção: decimal finito é racional: 0,125 = 1/8.
• Verificação: se termina, dá para escrever como fração com denominador potência de 10.

Estratégias de verificação (rápidas)

• Reta numérica: desenhe 0 e marque aproximadamente os valores para comparar.
• Estimativa: use aproximações: 1/3 ≈ 0,33, 1/8 = 0,125, √2 ≈ 1,41.
• Checagem de sinal: se o contexto é “dívida” ou “abaixo de zero”, o número deve ser negativo.

Exercícios curtos (com gabarito comentado)

1) Classificação

a) Classifique 0 nos conjuntos N, Z, Q, R.

b) Classifique -7 nos conjuntos N, Z, Q, R.

c) Classifique 2,4 nos conjuntos N, Z, Q, R.

d) Classifique π nos conjuntos N, Z, Q, R.

2) Comparação

Coloque o símbolo correto (<, > ou =) entre os pares:

• -2 ___ 1
• -5 ___ -9
• 0,6 ___ 2/3

3) Intervalos

a) Escreva em notação de intervalo: -1 ≤ x < 4.

b) Escreva como desigualdade: (-∞, 2].

4) Valor absoluto

Calcule:

• |-3|
• |2 - 7|

5) Conversões

a) Converta 5/8 para decimal.

b) Converta 0,04 para fração simplificada.

Gabarito comentado

1a) 0 ∈ N, 0 ∈ Z, 0 ∈ Q (pois 0 = 0/1), 0 ∈ R.

1b) -7 ∉ N, -7 ∈ Z, -7 ∈ Q (pois -7 = -7/1), -7 ∈ R.

1c) 2,4 ∉ N, 2,4 ∉ Z, 2,4 ∈ Q (decimal finito), 2,4 ∈ R. (Ex.: 2,4 = 24/10 = 12/5.)

1d) π ∉ N, π ∉ Z, π ∉ Q, π ∈ R (irracional).

2) -2 < 1 (negativo é menor que positivo). -5 > -9 (−5 está à direita de −9). 0,6 < 2/3 porque 2/3 = 0,666....

3a) [-1, 4) (inclui −1 e não inclui 4).

3b) x ≤ 2.

4) |-3| = 3. |2 - 7| = |-5| = 5 (primeiro calcula dentro, depois aplica o valor absoluto).

5a) 5/8 = 0,625 (dividir 5 por 8).

5b) 0,04 = 4/100 = 1/25 (simplifica dividindo por 4).