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Fundamentos de Matemática: Operações Básicas com Inteiros

Capítulo 2

Tempo estimado de leitura: 5 minutos

O que são inteiros e como os sinais funcionam nas operações

Números inteiros incluem valores negativos, o zero e valores positivos. Nas operações, o sinal influencia o resultado e deve ser tratado como parte do número. Uma forma prática de pensar é: positivo aumenta e negativo diminui (em contextos como saldo, temperatura, deslocamento).

Zero é um valor especial: não é positivo nem negativo.
O sinal “−” pode indicar número negativo (ex.: −7) ou a operação de subtração (ex.: 10 − 7). Distinguir isso evita erros.

Adição de inteiros

Regras de sinal na adição

Mesmo sinal: soma os valores absolutos e mantém o sinal. Ex.: (−8) + (−5) = −13.
Sinais diferentes: subtrai os valores absolutos e fica com o sinal do número de maior valor absoluto. Ex.: (−9) + (+4) = −5; (+12) + (−20) = −8.

Passo a passo (método do valor absoluto)

Para calcular (−17) + (+9):

Compare os valores absolutos: |−17|=17 e |+9|=9.
Subtraia: 17 − 9 = 8.
Use o sinal do maior valor absoluto (−17): resultado −8.

Raciocínio mental (compensação)

Para (−48) + (+19), pense: +19 “anula” 19 unidades do −48, restando −29. Então −48 + 19 = −29.

Propriedades na adição

Comutativa: a + b = b + a. Ex.: (−3)+7 = 7+(−3).
Associativa: (a + b) + c = a + (b + c). Ex.: ((−2)+5)+1 = (−2)+(5+1).
Elemento neutro: a + 0 = a. Ex.: −11 + 0 = −11.
Inverso aditivo: para todo a, existe −a tal que a + (−a) = 0. Ex.: 6 + (−6) = 0.

Subtração de inteiros

Ideia central: subtrair é somar o oposto

A regra mais segura é transformar subtração em adição:

a − b = a + (−b)

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Exemplos:

7 − (−3) = 7 + 3 = 10
(−5) − 8 = (−5) + (−8) = −13
(−12) − (−4) = (−12) + 4 = −8

Passo a passo prático

Para calcular (−9) − (−14):

Reescreva como soma do oposto: (−9) + 14.
Sinais diferentes: subtraia valores absolutos: 14 − 9 = 5.
Fica com o sinal do maior valor absoluto (14 é positivo): resultado +5.

Conferência de resultado: prova real na subtração

Se a − b = c, então deve valer c + b = a (checagem por operação inversa).

Exemplo: suponha que (−9) − (−14) = 5. Verifique:

5 + (−14) = −9 (confere).

Multiplicação de inteiros

Regras de sinal na multiplicação

Sinais iguais: resultado positivo. (+)(+) = + e (−)(−) = +.
Sinais diferentes: resultado negativo. (+)(−) = − e (−)(+) = −.

Exemplos:

(−6) × (−4) = +24
(−6) × (+4) = −24
(+6) × (+4) = +24

Passo a passo (módulo e sinal)

Para (−13) × (+7):

Multiplique os valores absolutos: 13 × 7 = 91.
Determine o sinal: negativo × positivo = negativo.
Resultado: −91.

Propriedades na multiplicação

Comutativa: a × b = b × a. Ex.: (−2)×5 = 5×(−2).
Associativa: (a × b) × c = a × (b × c). Ex.: ((−2)×3)×4 = (−2)×(3×4).
Elemento neutro: a × 1 = a. Ex.: (−9)×1 = −9.
Distributiva: a×(b+c)=a×b+a×c e a×(b−c)=a×b−a×c. Ex.: (−3)×(10−4) = (−3)×10 − (−3)×4 = −30 + 12 = −18.
Inverso multiplicativo: em inteiros, nem todo número tem inverso inteiro. Apenas 1 e −1 têm inverso em inteiros (pois 1×1=1 e (−1)×(−1)=1).

Raciocínio mental (decomposição e distributiva)

Para (−18)×7, faça 18×7 = (20×7) − (2×7) = 140 − 14 = 126, depois aplique o sinal: −126.

Divisão de inteiros

Regras de sinal na divisão

Sinais iguais: quociente positivo. Ex.: (−24) ÷ (−6) = +4.
Sinais diferentes: quociente negativo. Ex.: (+24) ÷ (−6) = −4.

Passo a passo (módulo e sinal)

Para (−84) ÷ (+7):

Divida os valores absolutos: 84 ÷ 7 = 12.
Determine o sinal: negativo ÷ positivo = negativo.
Resultado: −12.

Divisão por zero (proibida)

a ÷ 0 não é definido para nenhum inteiro a.
0 ÷ a = 0 para todo a ≠ 0. Ex.: 0 ÷ (−5) = 0.

Conferência de resultado: checagem por operação inversa

Se a ÷ b = c (com b ≠ 0), então deve valer c × b = a.

Exemplo: se (−84) ÷ 7 = −12, verifique:

(−12) × 7 = −84 (confere).

Algoritmos de cálculo (conta armada) com inteiros

Adição e subtração em coluna: trate o sinal antes

Em contas armadas, uma estratégia segura é:

Se for adição com sinais diferentes, transforme em subtração de módulos e decida o sinal pelo maior módulo.
Se for subtração, reescreva como soma do oposto e aplique a regra acima.

Exemplo: (−325) + (+178)

Sinais diferentes: calcule 325 − 178 em coluna.
```
  325  −178  ----  147
```
Como 325 é maior e era negativo, resultado −147.

Exemplo: (−402) − (+185)

Transforme: (−402) + (−185).
Some módulos em coluna: 402 + 185 = 587.
Resultado: −587.

Multiplicação em coluna: multiplique módulos e aplique o sinal no final

Exemplo: (−34) × (+27)

Multiplique 34×27 em coluna.

   34 × 27  ----  238  (34×7) +680  (34×20) ----  918

Sinal: negativo × positivo = negativo. Resultado: −918.

Divisão: divida módulos e aplique o sinal no final

Exemplo: (+156) ÷ (−12)

156 ÷ 12 = 13.
Sinal: positivo ÷ negativo = negativo.
Resultado: −13.

Conferência de resultados e estimativas

Estimativa por arredondamento (checagem rápida)

Antes ou depois de calcular, arredonde para números “fáceis” e veja se o resultado faz sentido.

Multiplicação: (−49)×21. Estime: (−50)×20 = −1000. O resultado exato deve estar perto de −1000.
Divisão: 203 ÷ 9. Estime: 198 ÷ 9 = 22. Então o quociente deve ficar perto de 22 (na divisão inteira pode sobrar resto).
Adição/subtração: (−398)+120. Estime: (−400)+120 = −280. O resultado exato deve ser próximo de −280.

Checagem por operação inversa (resumo prático)

Operação	Como conferir	Exemplo
`a + b = c`	`c − b = a` ou `c − a = b`	`(−8)+3=−5` e `−5−3=−8`
`a − b = c`	`c + b = a`	`10−(−4)=14` e `14+(−4)=10`
`a × b = c`	`c ÷ b = a` (se `b≠0`)	`(−6)×7=−42` e `−42÷7=−6`
`a ÷ b = c`	`c × b = a` (se `b≠0`)	`81÷(−9)=−9` e `(−9)×(−9)=81`

Prioridade de operações e agrupamento

Ordem padrão

Ao misturar operações, siga a prioridade:

Parênteses (e outros agrupamentos)
Multiplicação e divisão (da esquerda para a direita)
Adição e subtração (da esquerda para a direita)

Exemplo: −6 + 4×(−3)

Parênteses: (−3) já está definido.
Multiplicação: 4×(−3)=−12.
Adição: −6 + (−12) = −18.

Compare com (−6 + 4)×(−3):

Parênteses: (−6+4)=−2.
Multiplicação: (−2)×(−3)=+6.

Erros comuns e como evitar

1) Troca de sinais ao subtrair um negativo

Erro típico: 7 − (−3) = 4.
Correção: subtrair um negativo é somar o positivo: 7 − (−3) = 7 + 3 = 10.
Dica: sempre reescreva a − b como a + (−b).

2) Confundir “menos” (sinal) com “subtração” (operação)

Em −(−5) não há subtração; é o oposto de −5, que é +5.
Em 8 − (−5) há subtração e também número negativo.

3) Esquecer a prioridade de operações

Erro típico: −6 + 4×(−3) virar (−6+4)×(−3).
Correção: faça multiplicação antes da adição, a menos que parênteses mudem a ordem.

4) Divisão por zero

Erro típico: tentar calcular 15 ÷ 0.
Correção: não existe resultado; em exercícios, isso indica expressão inválida.

5) Aplicar distributiva de forma incorreta com sinais

Erro típico: −3(2−5) = −6−15.
Correção: −3(2−5) = (−3)×2 + (−3)×(−5) = −6 + 15 = 9.

Exercícios guiados (com checagem)

1) Adição com sinais diferentes

Calcule: (−73) + 58

Módulos: 73−58=15, sinal do maior módulo (−73): −15.
Checagem: −15 − 58 = −73 (confere).

2) Subtração com negativo

Calcule: 26 − (−19)

Transforme: 26 + 19 = 45.
Prova real: 45 + (−19) = 26 (confere).

3) Multiplicação com estimativa

Calcule: (−48)×22

Estimativa: (−50)×20≈−1000.
Cálculo: 48×22 = 48×(20+2)=960+96=1056, sinal negativo: −1056.
Checagem: −1056 ÷ 22 = −48 (confere).

4) Divisão e regra de sinais

Calcule: (−144) ÷ (−12)

Módulos: 144÷12=12.
Sinais iguais: resultado positivo: +12.
Checagem: 12×(−12)=−144 (confere).

Agora responda o exercício sobre o conteúdo:

Ao calcular (−9) − (−14), qual procedimento leva corretamente ao resultado?

Você acertou! Parabéns, agora siga para a próxima página

Você errou! Tente novamente.

Subtrair é somar o oposto: a - b = a + (-b). Assim, (-9) - (-14) = (-9) + 14. Com sinais diferentes, faz-se 14 - 9 = 5 e fica o sinal do maior módulo (14), resultando em +5.