Fundamentos de Matemática: Frações — Conceitos e Operações

O que é uma fração (três interpretações úteis)

1) Fração como parte-todo

Uma fração a/b (com b ≠ 0) pode representar a partes de um todo dividido em b partes iguais. Exemplo: 3/8 significa 3 partes de um todo dividido em 8 partes iguais.

Essa interpretação é especialmente útil quando o “todo” é uma unidade (uma pizza, uma barra, 1 metro), mas também funciona para qualquer quantidade tomada como referência.

2) Fração como quociente (divisão)

A fração a/b também significa a ÷ b. Exemplo: 5/4 é o resultado de dividir 5 por 4, isto é, 1,25. Essa visão ajuda a entender por que frações podem ser maiores que 1.

3) Fração como razão (comparação)

Uma fração pode expressar uma comparação entre duas quantidades: “a para b”. Exemplo: se há 2 meninas para 3 meninos, a razão meninas/meninos é 2/3. Aqui, não é “parte de um todo” necessariamente; é uma relação entre grandezas.

Equivalência e simplificação de frações

Frações equivalentes

Duas frações são equivalentes quando representam o mesmo valor. A ideia central é: multiplicar ou dividir numerador e denominador pelo mesmo número não nulo não altera o valor.

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Exemplo:

• 2/3 = (2×4)/(3×4) = 8/12
• 8/12 = (8÷4)/(12÷4) = 2/3

Simplificação por fatores comuns (passo a passo)

Simplificar é escrever a fração equivalente com números menores, dividindo numerador e denominador por um fator comum (um divisor comum).

Exemplo 1: simplificar 18/24

• Encontre um fator comum: 6 divide 18 e 24.
• Divida ambos por 6: 18/24 = (18÷6)/(24÷6) = 3/4.

Exemplo 2 (por fatoração): simplificar 45/60

• Fatore: 45 = 3×3×5 e 60 = 2×2×3×5.
• Cancele fatores iguais (dividindo ambos pelo mesmo fator): sobra (3)/(2×2) = 3/4.

Atenção: “cancelar” só é válido quando o fator está multiplicando o numerador e o denominador. Não se cancela termos que estão somando ou subtraindo.

Adição e subtração de frações

Por que precisamos de denominador comum?

Somar frações significa somar quantidades medidas na mesma unidade de partes. Em 1/2, a unidade é “metade”; em 1/3, a unidade é “terço”. Para somar, transformamos ambas para uma unidade comum (mesmo denominador), usando frações equivalentes.

Adição com denominadores iguais

Se os denominadores são iguais, somamos os numeradores e mantemos o denominador.

Exemplo: 3/7 + 2/7 = (3+2)/7 = 5/7

Adição com denominadores diferentes (passo a passo)

Exemplo: 2/3 + 5/4

• 1) Encontre um denominador comum. Um jeito prático é usar o produto: 3×4 = 12 (às vezes dá para usar um menor, mas 12 funciona).
• 2) Reescreva as frações com denominador 12: 2/3 = (2×4)/(3×4) = 8/12 e 5/4 = (5×3)/(4×3) = 15/12.
• 3) Some: 8/12 + 15/12 = 23/12.
• 4) Se possível, simplifique. 23/12 já está simplificada (23 é primo e não divide 12).

Exemplo (com simplificação final): 3/10 + 9/20

• Denominador comum: 20.
• 3/10 = 6/20 e 9/20 já está em 20.
• Soma: 6/20 + 9/20 = 15/20.
• Simplifique: 15/20 = (15÷5)/(20÷5) = 3/4.

Subtração com denominadores diferentes (passo a passo)

Exemplo: 7/8 − 2/3

• 1) Denominador comum: 8×3 = 24.
• 2) Converta: 7/8 = 21/24 e 2/3 = 16/24.
• 3) Subtraia: 21/24 − 16/24 = 5/24.
• 4) Simplifique se der (aqui já está).

Multiplicação de frações

Justificativa do procedimento

Multiplicar por uma fração pode ser entendido como “pegar uma parte de outra parte”. Por exemplo, 1/2 × 3/4 é “metade de três quartos”, o que resulta em 3/8. Em geral, ao multiplicar a/b × c/d, multiplicamos numeradores e denominadores: (a×c)/(b×d).

Passo a passo com simplificação antes de multiplicar

Exemplo: 6/15 × 10/21

• 1) Simplifique fatores cruzados (para evitar números grandes):
• 6/15 simplifica para 2/5 (dividindo por 3).
• Agora: 2/5 × 10/21. Podemos simplificar 10 com 5: 10÷5 = 2 e 5÷5 = 1.
• Fica: 2/1 × 2/21 = 4/21.

Exemplo direto: 3/8 × 4/9 = 12/72 = 1/6 (simplificando no final).

Divisão de frações

Por que “multiplicar pelo inverso” funciona?

Dividir por um número é multiplicar pelo seu recíproco (inverso multiplicativo). O recíproco de c/d é d/c (com c ≠ 0), porque (c/d)×(d/c)=1. Então:

a/b ÷ c/d = a/b × d/c

Passo a passo

Exemplo: 5/6 ÷ 10/9

• 1) Troque a divisão por multiplicação pelo inverso: 5/6 × 9/10.
• 2) Simplifique antes de multiplicar: 5 com 10 (divida por 5): vira 1 e 2.
• 3) Multiplique: (1×9)/(6×2) = 9/12.
• 4) Simplifique: 9/12 = 3/4.

Exemplo (resultado inteiro): 3/4 ÷ 3/8 = 3/4 × 8/3. Simplificando o 3: 1/4 × 8/1 = 8/4 = 2.

Frações complexas (fração dentro de fração)

Ideia principal

Uma fração complexa é uma divisão: (A/B)/(C/D) significa (A/B) ÷ (C/D). Você pode resolver de duas formas seguras: transformar em divisão e usar o inverso, ou “limpar” denominadores multiplicando numerador e denominador pelo mesmo número.

Método 1: transformar em divisão e multiplicar pelo inverso

Exemplo: (3/5)/(2/7)

• (3/5) ÷ (2/7) = (3/5) × (7/2) = 21/10.

Método 2: limpar denominadores

Exemplo: (1/2 + 1/3)/(5/6)

• 1) Resolva o numerador: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
• 2) Agora a fração complexa vira: (5/6)/(5/6).
• 3) Dividir um número por ele mesmo (não nulo) dá 1: resultado 1.

Exemplo (limpando por multiplicação): (2/3)/(5/4). Multiplique numerador e denominador por 12 (múltiplo de 3 e 4):

• Numerador: (2/3)×12 = 8
• Denominador: (5/4)×12 = 15
• Resultado: 8/15

Estratégias de verificação (para evitar erros)

1) Estimativa por valores aproximados

Antes de finalizar, estime mentalmente:

• 2/3 ≈ 0,67 e 5/4 = 1,25. Então 2/3 + 5/4 ≈ 1,92. O resultado exato 23/12 ≈ 1,92 faz sentido.
• 7/8 ≈ 0,875 e 2/3 ≈ 0,667. Diferença ≈ 0,208. O resultado 5/24 ≈ 0,208 confere.

2) Conferir por decimal quando conveniente

Nem toda fração vira decimal exato, mas muitas ajudam a checar rapidamente:

• 3/4 = 0,75, 1/8 = 0,125, 5/6 ≈ 0,833...
• Se você obteve 3/4 em uma conta, pode checar se o decimal bate com a estimativa.

3) Checagem por operação inversa

Para divisão, uma verificação forte é multiplicar o quociente pelo divisor e ver se volta ao dividendo.

Exemplo: se 5/6 ÷ 10/9 = 3/4, então 3/4 × 10/9 = 30/36 = 5/6 (confere).

Erros comuns (e como corrigir)

1) Somar denominadores

Erro: 1/2 + 1/3 = 2/5 (incorreto).

Correção: use denominador comum: 1/2 = 3/6, 1/3 = 2/6, então 1/2 + 1/3 = 5/6.

2) Inverter a fração errada na divisão

Erro: a/b ÷ c/d = b/a × c/d (inverter a primeira fração).

Correção: mantém a primeira e inverte a segunda: a/b ÷ c/d = a/b × d/c.

Exemplo: 2/3 ÷ 5/7 correto é 2/3 × 7/5 = 14/15.

3) Esquecer a simplificação final

Erro: parar em 15/20 quando poderia simplificar.

Correção: procure fator comum e reduza: 15/20 = 3/4. Uma boa prática é sempre perguntar: “numerador e denominador têm algum divisor comum maior que 1?”

Exercícios progressivos

Nível 1 — Conceito, equivalência e simplificação

• 1) Escreva duas frações equivalentes a 3/5.
• 2) Simplifique: 12/18.
• 3) Simplifique: 42/56.
• 4) Complete com um número: 7/9 = __/36.

Nível 2 — Adição e subtração

• 5) 4/9 + 2/9
• 6) 1/6 + 3/4
• 7) 5/12 − 1/8
• 8) 7/15 + 1/10 (simplifique o resultado)

Nível 3 — Multiplicação e divisão

• 9) 3/7 × 14/15 (simplifique antes de multiplicar)
• 10) 5/9 × 27/10
• 11) 8/11 ÷ 4/33
• 12) 7/12 ÷ 14/9 (simplifique no caminho)

Nível 4 — Frações complexas e verificação

• 13) (2/5)/(3/10)
• 14) (1/2 + 1/4)/(3/8)
• 15) (5/6 − 1/3)/(1/2)
• 16) Escolha dois exercícios acima e faça uma verificação: (a) por estimativa e (b) por decimal quando possível.

Gabarito (para autocorreção)