Fundamentos de Matemática: Problemas Integrados e Verificação de Resultados

Objetivo do capítulo: integrar ferramentas e verificar resultados

Neste capítulo, você vai praticar a integração de aritmética e álgebra em problemas mistos (frações, decimais, porcentagem, MMC/MDC, potenciação/radiciação e expressões algébricas simples). O foco não é “aprender de novo” cada assunto, e sim treinar um roteiro único de resolução e um conjunto de técnicas de conferência para reduzir erros e ganhar segurança.

Roteiro padrão de resolução (use em qualquer problema)

1) Interpretar (traduzir o enunciado)

• O que está sendo pedido? (valor final, comparação, simplificação, quantidade, taxa etc.)
• Quais são os dados? (números, unidades, condições)
• Há palavras-chave? Ex.: “resta”, “aumenta em”, “metade”, “ao quadrado”, “porcento”, “múltiplo”, “divisor”.

2) Escolher ferramentas (planejar)

Antes de calcular, decida quais técnicas entram no caminho:

• Converter? (fração ↔ decimal ↔ porcentagem)
• Usar MMC/MDC? (juntar parcelas com denominadores, sincronizar ciclos, simplificar razões, dividir em partes iguais)
• Aplicar potenciação/radiciação? (crescimento, áreas/volumes, escalas, “quadrado/cubo”, raiz como “desfazer potência”)
• Montar expressão algébrica? (quando há incógnita, padrão, generalização)

3) Executar (passos claros e organizados)

• Escreva a conta/expressão antes de operar.
• Evite “pular” conversões: registre-as.
• Se houver várias etapas, numere-as.

4) Verificar (não é opcional)

Use pelo menos duas estratégias de conferência (estimativa, operação inversa, substituição, unidades, coerência do sinal e ordem de grandeza). A seção prática abaixo traz um checklist.

Problemas integrados por tipo (com roteiro aplicado)

A) Frações + decimais + porcentagem no mesmo contexto

Problema 1. Um produto custa R$ 80,00. Ele recebe desconto de 12,5% e, sobre o preço com desconto, há um acréscimo fixo de R$ 3,60 (taxa). Qual é o preço final?

Resolução guiada

• Interpretar: aplicar desconto percentual e depois somar taxa fixa.
• Ferramentas: porcentagem como fator multiplicativo; 12,5% = 0,125 = 1/8.

Preço inicial: 80,00
Desconto de 12,5% = 1/8 do preço
1/8 de 80 = 10
Preço com desconto = 80 - 10 = 70
Preço final = 70 + 3,60 = 73,60

Verificação rápida: 12,5% é um desconto “moderado”; 80 cair para 70 faz sentido (queda de 10). Somar 3,60 dá 73,60, ainda abaixo de 80.

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B) MMC/MDC + frações (sincronizar e simplificar)

Problema 2. Você precisa preparar porções iguais usando 3/4 de kg de farinha e 5/6 de kg de açúcar. Quer dividir cada ingrediente em pacotes de mesmo peso, sem sobras, e com o maior peso possível por pacote. Qual deve ser o peso de cada pacote (em kg)?

Resolução guiada

• Interpretar: “maior peso possível sem sobras” indica usar um “divisor comum máximo” dos dois valores.
• Ferramentas: transformar em frações com denominador comum e usar ideia de MDC em frações via inteiros.

Uma forma prática: colocar as duas quantidades no mesmo denominador (MMC dos denominadores 4 e 6 é 12).

3/4 = 9/12
5/6 = 10/12

Agora o problema vira: qual maior fração do tipo k/12 que divide 9/12 e 10/12 sem sobras? Isso equivale a achar o MDC(9, 10) no numerador.

MDC(9,10) = 1
Logo, maior pacote = 1/12 kg

Verificação: 9/12 tem 9 pacotes de 1/12; 10/12 tem 10 pacotes de 1/12. Não sobra nada.

C) Potenciação/radiciação + ordem de grandeza

Problema 3. Um quadrado tem área de 196 cm². Qual é o lado do quadrado? Se o lado aumentar 10%, qual será a nova área?

Resolução guiada

• Interpretar: área de quadrado = lado²; depois aplicar aumento percentual no lado e recalcular área.
• Ferramentas: raiz quadrada; porcentagem como fator.

Área = 196 cm²
Lado = √196 = 14 cm
Aumento de 10% no lado: novo lado = 14 × 1,10 = 15,4 cm
Nova área = (15,4)² = 237,16 cm²

Verificação por estimativa: aumentar o lado em 10% aumenta a área em cerca de 21% (pois (1,1)² = 1,21). 196 × 1,21 = 237,16. Confere.

D) Expressões algébricas simples + números racionais

Problema 4. Uma corrida de táxi cobra taxa fixa de R$ 6,50 mais R$ 2,40 por km. Escreva a expressão do custo C(k) e calcule o custo para k = 7,5 km.

Resolução guiada

• Interpretar: custo = fixo + (valor por km) × km.
• Ferramentas: modelagem algébrica e substituição.

C(k) = 6,50 + 2,40k
C(7,5) = 6,50 + 2,40 × 7,5
2,40 × 7,5 = 18,00
C = 6,50 + 18,00 = 24,50

Verificação: 7,5 km a R$ 2,40 dá perto de 7,5×2,5=18,75; como 2,40 é menor, 18,00 faz sentido. Somando 6,50 dá 24,50.

E) Mistura de ferramentas: fração + porcentagem + expressão

Problema 5. Uma turma tem x alunos. 3/5 da turma fez a prova e, desses, 20% faltou na revisão. Escreva uma expressão para o número de alunos que fez a prova e participou da revisão.

Resolução guiada

• Interpretar: primeiro pega 3/5 de x; depois remove 20% desse grupo (ou fica com 80%).
• Ferramentas: porcentagem como fator; expressão algébrica.

Fez a prova: (3/5)x
Participou da revisão: 80% desse grupo = 0,8 × (3/5)x
= (8/10) × (3/5)x = (24/50)x = (12/25)x

Verificação: (12/25) = 0,48. Faz sentido: 3/5 = 0,6 e 80% de 0,6 é 0,48.

Seção prática: estratégias de conferência (checklist)

1) Estimativa (aproximação inteligente)

• Arredonde números para facilitar e veja se o resultado final está “na faixa”.
• Em porcentagens, compare com valores de referência: 10%, 25%, 50%.

Exemplo: 19,8 × 5,1 deve ser perto de 20 × 5 = 100. Se você obtiver 1000, há erro de ordem de grandeza.

2) Análise de unidades

• Verifique se a unidade do resultado combina com o que foi pedido.
• Se multiplicar “R$/km” por “km”, o “km” cancela e sobra “R$”.

Exemplo: em C(k)=6,50+2,40k, o termo 2,40k precisa estar em reais, então 2,40 é “R$/km”.

3) Operação inversa

• Se você somou, subtraia para conferir; se multiplicou, divida; se elevou ao quadrado, tire a raiz (com cuidado com sinal quando aplicável).

Exemplo: se concluiu que o preço com desconto foi 70 a partir de 80, confira: 70 + 10 = 80, e 10 é 1/8 de 80.

4) Substituição na expressão

• Quando houver fórmula/expressão, substitua valores simples para testar coerência.
• Teste extremos: k=0 em custo de táxi deve dar a taxa fixa.

Exemplo: em C(k)=6,50+2,40k, C(0)=6,50. Se não der, a expressão está errada.

5) Coerência do sinal e da ordem de grandeza

• Desconto reduz; acréscimo aumenta. Se o resultado vai na direção contrária, revise.
• Cheque casas decimais: multiplicar por 0,1 reduz 10×; por 10 aumenta 10×.

Exemplo: 12,5% de 80 é 10 (não 1 nem 100). Se aparecer 0,10 ou 1000, houve erro de escala.

Banco de exercícios mistos (com gabarito comentado)

Exercícios

1. Um valor de R$ 240,00 sofre desconto de 15% e depois um acréscimo de R$ 12,00. Qual o valor final?
2. Calcule: 3/8 + 5/12. Em seguida, transforme o resultado em decimal e em porcentagem.
3. Dois alarmes tocam a cada 18 min e 30 min. Se tocaram juntos agora, em quantos minutos tocarão juntos novamente?
4. Um cubo tem volume 125 cm³. Qual é a aresta? Se a aresta dobrar, qual será o novo volume?
5. Uma loja vende um item por x reais. Na promoção, o preço vira x − 10% de x, e ainda há um cupom de R$ 5,00 de desconto. Escreva a expressão do preço final.
6. Resolva e confira substituindo: 2(x − 3) + 5 = 17.
7. Uma receita usa 2/3 de xícara de leite por porção. Quantas xícaras são necessárias para 7,5 porções?
8. Você tem 36 balas e 48 chocolates para montar kits iguais, usando tudo e sem sobras. Qual o maior número de kits? Quantos de cada item em cada kit?
9. Calcule: (0,2)³ × 10². Faça uma estimativa antes.
10. Uma expressão é E = (a² − 9)/(a − 3), com a ≠ 3. Calcule E para a = 5 e verifique por substituição.

Gabarito comentado

1. R$ 216,00. Desconto: 15% de 240 = 36, então 240 − 36 = 204. Depois +12 = 216. Conferência: 10% de 240 é 24 e 5% é 12, total 36.

2. 19/24 = 0,7916… = 79,16…%. MMC(8,12)=24: 3/8=9/24 e 5/12=10/24, soma 19/24. Decimal: 19 ÷ 24. Porcentagem: ×100.

3. 90 minutos. É o MMC de 18 e 30: 18=2×3², 30=2×3×5, MMC=2×3²×5=90.

4. Aresta 5 cm; novo volume 1000 cm³. √³? Aqui é raiz cúbica: 125 = 5³. Dobrar aresta multiplica volume por 2³=8: 125×8=1000.

5. 0,9x − 5. Promoção: x − 0,1x = 0,9x. Cupom: 0,9x − 5.

6. x = 9. 2(x−3)+5=17 → 2x−6+5=17 → 2x−1=17 → 2x=18 → x=9. Conferência: 2(9−3)+5=12+5=17.

7. 5 xícaras. (2/3) por porção × 7,5 porções = (2/3)×7,5 = (2×7,5)/3 = 15/3 = 5.

8. 12 kits; 3 balas e 4 chocolates por kit. Maior número de kits = MDC(36,48)=12. Então 36/12=3 e 48/12=4.

9. 0,8. Estimativa: 0,2³=0,008; ×100 dá 0,8. Cálculo: (0,2)³=0,008 e 10²=100, produto 0,8.

10. E = 8. Para a≠3, fatorar: a²−9=(a−3)(a+3), então E=a+3. Para a=5, E=8. Conferência por substituição direta: (25−9)/(5−3)=16/2=8.

Erros comuns recorrentes (autoavaliação)

• Aplicar porcentagem na base errada: desconto e acréscimo em sequência não usam sempre o valor inicial; cada etapa usa a base indicada (geralmente o valor atualizado).
• Confundir “%” com “pontos percentuais”: aumentar de 40% para 50% é +10 pontos percentuais, mas é aumento relativo de 25% sobre 40.
• Esquecer a ordem das operações: principalmente em expressões com parênteses e potências.
• Erros de conversão: 12,5% = 0,125 = 1/8; 0,2 = 1/5; confundir 0,02 com 0,2 muda 10×.
• MMC/MDC trocados: sincronizar eventos/ciclos geralmente pede MMC; dividir em partes iguais máximas geralmente pede MDC.
• Perder unidades: somar grandezas incompatíveis (ex.: somar “R$/km” com “R$” sem multiplicar pelo km).
• Sinal e coerência: desconto que aumenta preço, raiz que dá valor negativo sem contexto, ou resultado final fora da faixa esperada.
• Não verificar: deixar de testar com estimativa, operação inversa ou substituição aumenta muito a chance de erro simples.