Funções Matemáticas na Prática: transformações de gráficos (translações, reflexões e escalas)

Ideia central: transformar a expressão para prever o gráfico

Transformações são “regras de edição” aplicadas a uma função-base y = f(x). Em vez de recalcular muitos pontos, você aprende a prever como o gráfico se move, espelha ou estica. O objetivo é sempre o mesmo: ao ver uma expressão transformada, você deve descrever a transformação antes de desenhar.

Vamos trabalhar com seis formas muito comuns:

• f(x) + k (translação vertical)
• f(x - k) (translação horizontal)
• -f(x) (reflexão vertical)
• f(-x) (reflexão horizontal)
• a f(x) (escala vertical)
• f(a x) (escala horizontal)

Mapa rápido das transformações (o que acontece com o gráfico)

Regra de ouro: “fora” mexe no y, “dentro” mexe no x

• Alterações fora de f (como +k, a·, -) afetam o eixo vertical: deslocamento vertical, escala vertical, reflexão no eixo x.
• Alterações dentro (como x-k, ax, -x) afetam o eixo horizontal: deslocamento horizontal, escala horizontal, reflexão no eixo y.

Passo a passo prático para desenhar sem “chutar”

Passo 1 — Escolha a função-base e marque pontos de referência

Você não precisa de uma tabela grande. Escolha 3 a 6 pontos “marcantes” (interceptos, vértice, pontos simples). Ex.: para uma parábola, use o vértice e dois pontos simétricos; para exponencial/log, use pontos como x=0, x=1 e a assíntota.

Passo 2 — Descreva a transformação em palavras (antes de desenhar)

Exemplo de descrição correta: “f(x-2)+3 desloca 2 para a direita e 3 para cima”.

Passo 3 — Transforme os pontos (ou o gráfico inteiro) de forma consistente

Uma forma segura é transformar pontos do gráfico-base. Se um ponto do gráfico-base é (x, y) com y=f(x), então:

Continue em nosso aplicativo e ...

• Ouça o áudio com a tela desligada
• Ganhe Certificado após a conclusão
• + de 5000 cursos para você explorar!

ou continue lendo abaixo...

Baixar o aplicativo

• f(x)+k: (x, y) → (x, y+k)
• f(x-k): (x, y) → (x+k, y)
• -f(x): (x, y) → (x, -y)
• f(-x): (x, y) → (-x, y)
• a f(x): (x, y) → (x, a·y)
• f(a x): (x, y) → (x/a, y) (para a≠0)

Esse “método dos pontos” evita confusões de sinal e é ótimo quando você precisa casar gráfico e expressão.

Translações: f(x)+k e f(x-k)

Exemplo com reta

Considere a base f(x)=2x-1.

• g(x)=f(x)+3=2x+2. Descreva antes de desenhar: “sobe 3”. O coeficiente angular (inclinação) não muda; só o intercepto em y aumenta 3.
• h(x)=f(x-4)=2(x-4)-1=2x-9. Descreva: “vai 4 para a direita”. A reta é paralela à original (mesma inclinação), mas deslocada horizontalmente.

Exemplo com parábola

Base: f(x)=x^2 (vértice em (0,0)).

• g(x)=f(x)+5=x^2+5. Descreva: “sobe 5”. Vértice vai para (0,5).
• h(x)=f(x-2)=(x-2)^2. Descreva: “direita 2”. Vértice vai para (2,0).
• p(x)=(x-2)^2+5. Descreva: “direita 2 e sobe 5”. Vértice em (2,5).

Exemplo com módulo

Base: f(x)=|x| (vértice em (0,0)).

• g(x)=|x| - 2. Descreva: “desce 2”. Vértice em (0,-2).
• h(x)=|x+3| equivale a f(x-(-3)). Descreva: “vai 3 para a esquerda”. Vértice em (-3,0).

Exemplo com exponencial

Base: f(x)=2^x (passa por (0,1), assíntota horizontal y=0).

• g(x)=2^x+4. Descreva: “sobe 4”. A assíntota vira y=4.
• h(x)=2^{x-1}. Descreva: “direita 1”. O ponto (0,1) do base vira (1,1).

Exemplo com logarítmica

Base: f(x)=\log(x) (domínio x>0, assíntota vertical x=0, passa por (1,0)).

• g(x)=\log(x)+2. Descreva: “sobe 2”. O ponto (1,0) vira (1,2).
• h(x)=\log(x-3). Descreva: “direita 3”. A assíntota vertical muda de x=0 para x=3.

Reflexões: -f(x) e f(-x)

Exemplo com reta

Base: f(x)=x+1.

• g(x)=-f(x)=-(x+1)=-x-1. Descreva: “reflete no eixo x”. Tudo que estava acima vai para baixo com mesma distância.
• h(x)=f(-x)=-x+1. Descreva: “reflete no eixo y”. O intercepto em y permanece 1, mas a inclinação troca de sinal.

Exemplo com parábola

Base: f(x)=x^2.

• -f(x)=-x^2. Descreva: “espelha no eixo x”. A concavidade inverte (abre para baixo).
• f(-x)=(-x)^2=x^2. Descreva: “reflexão no eixo y”, mas aqui não muda porque a função é par (simétrica em relação ao eixo y).

Exemplo com módulo

Base: f(x)=|x|.

• -|x|. Descreva: “V invertido”, reflexão no eixo x.
• |-x|. Descreva: “reflexão no eixo y”, mas não muda (também é par).

Exemplo com exponencial e log

• g(x)=-2^x. Descreva: “reflete no eixo x”; a assíntota continua y=0, mas o gráfico fica abaixo do eixo x.
• h(x)=2^{-x}. Descreva: “reflete no eixo y”; o crescimento vira decrescimento (espelhamento horizontal).
• p(x)=\log(-x). Descreva: “reflete no eixo y”, mas atenção: o domínio vira x<0 e a assíntota vertical permanece em x=0 (agora pelo lado esquerdo).

Escalas: a f(x) (vertical) e f(a x) (horizontal)

Diferença essencial (onde os alunos mais erram)

• Escala vertical a f(x): multiplica os valores de y por a. Se |a|>1, estica; se 0<|a|<1, achata. Se a<0, além disso reflete no eixo x.
• Escala horizontal f(a x): mexe no x “ao contrário”. Se |a|>1, comprime para perto do eixo y; se 0<|a|<1, estica para os lados. Se a<0, além disso reflete no eixo y.

Exemplo com parábola (comparando vertical vs horizontal)

Base: f(x)=x^2.

• g(x)=3f(x)=3x^2. Descreva: “estica verticalmente por fator 3”. Pontos: (1,1) vira (1,3).
• h(x)=f(3x)=(3x)^2=9x^2. Descreva: “comprime horizontalmente por fator 3” (fica mais “fechada”). Pelo método dos pontos: (1,1)(1/3,1).
• p(x)=f(x/3)=(x/3)^2. Descreva: “estica horizontalmente por fator 3” (fica mais “aberta”).

Exemplo com reta

Base: f(x)=x.

• 2f(x)=2x. Descreva: “estica verticalmente por 2” (a reta fica mais inclinada).
• f(2x)=2x. Descreva: “comprime horizontalmente por 2”, mas aqui dá a mesma expressão final. Isso mostra que, para algumas bases, transformações diferentes podem coincidir algebraicamente; ainda assim, o raciocínio de “fora vs dentro” continua válido.

Exemplo com módulo

Base: f(x)=|x|.

• g(x)=\tfrac{1}{2}|x|. Descreva: “achata verticalmente pela metade” (o V fica mais “aberto”).
• h(x)=|2x|. Descreva: “comprime horizontalmente por 2” (o V fica mais “fechado”).

Exemplo com exponencial

Base: f(x)=2^x.

• g(x)=5·2^x. Descreva: “estica verticalmente por 5”. O ponto (0,1) vira (0,5).
• h(x)=2^{2x}. Descreva: “comprime horizontalmente por 2”. O crescimento fica mais rápido: o valor 2 que ocorria em x=1 passa a ocorrer em x=1/2.

Exemplo com logarítmica

Base: f(x)=\log(x).

• g(x)=2\log(x). Descreva: “estica verticalmente por 2”. O ponto (10,1)(10,2).
• h(x)=\log(2x). Descreva: “comprime horizontalmente por 2”. Pelo método dos pontos: (1,0)(1/2,0).

Combinando transformações (ordem de leitura)

Em expressões como y = a·f(b(x-h)) + k, uma leitura prática é:

• Dentro: primeiro trate b(x-h) (deslocamento horizontal por h e escala horizontal por b, lembrando que escala horizontal é “ao contrário”).
• Fora: depois aplique a (escala vertical e possível reflexão no eixo x) e por fim +k (deslocamento vertical).

Para evitar erros, use pontos do gráfico-base e transforme com as regras de pontos apresentadas.

Exemplo guiado (parábola)

Base: f(x)=x^2. Transformada: g(x)=-2·f(x-3)+1 = -2(x-3)^2+1.

• Descreva antes de desenhar: “direita 3; estica verticalmente por 2 e reflete no eixo x; sobe 1”.
• Pontos-base: (0,0), (1,1), (-1,1).
• Aplicando x-3: (0,0)→(3,0), (1,1)→(4,1), (-1,1)→(2,1).
• Aplicando -2: y multiplica por -2: (3,0), (4,-2), (2,-2).
• Aplicando +1: sobe 1: (3,1), (4,-1), (2,-1). Vértice final em (3,1).

Erros típicos (e como se autocorrigir)

1) Sinal na translação horizontal

f(x-2) desloca para a direita 2, não para a esquerda. Um teste rápido: pegue um ponto conhecido do base. Se f(0) era especial, em f(x-2) o mesmo “evento” acontece quando x-2=0, isto é, em x=2.

2) Confundir escala horizontal com vertical

2f(x) dobra alturas. Já f(2x) não dobra alturas: ele “aperta” o gráfico no eixo x. Use a regra de pontos: (x,y)→(x/2,y) para f(2x).

3) Esquecer que fator negativo inclui reflexão

• a f(x) com a<0: escala vertical e reflexão no eixo x.
• f(a x) com a<0: escala horizontal e reflexão no eixo y.

4) Parênteses ausentes mudam tudo

-(x-2)^2 é reflexão de uma parábola deslocada; já -x-2^2 nem representa a mesma ideia. Em transformações, parênteses são parte do “desenho”.

Atividade 1 — Descreva a transformação (sem desenhar ainda)

Para cada item, escreva uma frase descrevendo as transformações em relação à função-base indicada.

• Base f(x)=x^2: g(x)=(x+1)^2-4
• Base f(x)=|x|: g(x)=-|x-3|+2
• Base f(x)=2^x: g(x)=2^{x+2}-1
• Base f(x)=\log(x): g(x)=\log(3x)+1
• Base f(x)=x: g(x)=f(-x)+5

Atividade 2 — Casar gráfico e expressão (matching)

Você terá um conjunto de gráficos (A, B, C, D, E, F) fornecidos pelo professor/material. Para cada gráfico, identifique qual expressão corresponde. Use primeiro a descrição qualitativa (desloca, reflete, estica) e só depois confirme com 1 ou 2 pontos.

Conjunto de expressões (exemplo):

• (1) y=(x-2)^2+1
• (2) y=-(x-2)^2+1
• (3) y=\tfrac{1}{2}|x+4|
• (4) y=|2x|
• (5) y=2^x+3
• (6) y=\log(x-1)

Roteiro obrigatório para cada casamento:

• Identifique o tipo de base (parábola, V do módulo, exponencial, log).
• Diga onde está o “marco” principal (vértice no módulo/parábola; assíntota no exp/log; intercepto na reta).
• Descreva as transformações (ex.: “direita 2 e sobe 1; depois reflete no eixo x”).
• Confirme com um ponto (ex.: em x=2 qual é o valor?).

Atividade 3 — Construir a função para atingir um gráfico-alvo

Em cada item, o “alvo” é descrito por características do gráfico. Sua tarefa é escrever uma expressão do tipo y = a·f(b(x-h)) + k usando a base indicada.

Alvos com parábola (base f(x)=x^2)

• Alvo 1: vértice em (-2,3) e abre para cima com “esticamento” vertical por 2. Escreva y=...
• Alvo 2: vértice em (1,-4) e abre para baixo, mesma “abertura” do x^2. Escreva y=...

Alvos com módulo (base f(x)=|x|)

• Alvo 3: vértice em (5,0), V invertido, e alturas dobradas. Escreva y=...
• Alvo 4: vértice em (0,2) e V mais “fechado” por compressão horizontal de fator 3. Escreva y=...

Alvos com exponencial (base f(x)=2^x)

• Alvo 5: assíntota horizontal em y=-2 e passa por (0,1). Escreva y=...
• Alvo 6: reflexão no eixo y e depois deslocamento 1 para cima. Escreva y=...

Alvos com log (base f(x)=\log(x))

• Alvo 7: assíntota vertical em x=4 e o gráfico todo 3 unidades acima do base. Escreva y=...
• Alvo 8: compressão horizontal por 2 e reflexão no eixo y (atenção ao domínio). Escreva y=...

Checklist de autocorreção (antes de finalizar um desenho)

• Eu descrevi cada transformação em palavras antes de traçar?
• Translação horizontal: conferi o sinal usando a ideia “o evento ocorre quando o argumento vira 0”?
• Escala horizontal: usei (x,y)→(x/a,y) para f(ax)?
• Fator negativo: identifiquei qual eixo é refletido (x para -f, y para f(-x))?
• Em exp/log: atualizei mentalmente a assíntota após +k ou x-h?