Funções Matemáticas na Prática: função exponencial e crescimento/decrescimento multiplicativo

Modelo exponencial: multiplicar por um fator constante a cada passo

A função exponencial é usada quando a quantidade muda de forma multiplicativa, isto é, a cada unidade de tempo (ou etapa) ela é multiplicada por um mesmo fator. O modelo básico é:

f(x) = a · b^x, com b > 0 e b ≠ 1.

• a controla o “nível inicial” (valor quando x=0).
• b é o fator multiplicativo por unidade de x (crescimento ou decrescimento).
• x costuma representar tempo, número de períodos, ciclos, gerações, etc.

Crescimento e decrescimento

• Se b > 1, a função é de crescimento exponencial: cada aumento de 1 em x multiplica o valor por b.
• Se 0 < b < 1, a função é de decrescimento exponencial: cada aumento de 1 em x multiplica o valor por um número menor que 1 (equivalente a “perder uma porcentagem fixa” por período).

Uma leitura útil é a razão entre valores consecutivos:

f(x+1)/f(x) = b. Ou seja, o fator b é constante.

Leituras essenciais no gráfico

Intercepto em y (valor inicial)

O intercepto em y é f(0):

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f(0) = a · b^0 = a.

Interpretação: a é o valor no instante inicial (quando x=0 faz sentido no contexto).

Assíntota horizontal

Para f(x)=a·b^x (sem deslocamento vertical), a assíntota horizontal é:

y = 0.

Isso significa que o gráfico se aproxima do eixo x sem necessariamente tocá-lo (exceto se a=0, caso em que a função é identicamente zero).

Comportamento para valores grandes/pequenos de x

• Se b > 1: quando x cresce muito, b^x cresce muito e f(x) tende a ficar muito grande (em módulo, dependendo do sinal de a). Quando x diminui muito (valores bem negativos), b^x fica próximo de 0, então f(x) se aproxima de 0.
• Se 0 < b < 1: quando x cresce muito, b^x vai a 0, então f(x) se aproxima de 0. Quando x diminui muito, b^x cresce (pois b^x = 1/(b^{-x})), e f(x) pode ficar muito grande em módulo.

Observação prática: em muitos problemas reais, x não assume valores negativos (por exemplo, “número de meses desde hoje”), então o comportamento para x muito negativo pode não ser relevante.

Construindo o gráfico com poucos pontos (pensamento multiplicativo)

Para esboçar um gráfico exponencial, você não precisa de muitos pontos. Use o intercepto em y e a regra “multiplica por b a cada passo”.

Passo a passo (método rápido)

• 1) Marque o ponto inicial: calcule f(0)=a e marque (0,a).
• 2) Um passo à direita: f(1)=a·b. Marque (1, a·b).
• 3) Outro passo à direita: f(2)=a·b^2. Note que f(2)=f(1)·b.
• 4) Um passo à esquerda (se fizer sentido): f(-1)=a·b^{-1}=a/b. Ou seja, ao voltar 1 unidade em x, você divide por b.
• 5) Desenhe a curva suave: aproximando-se da assíntota y=0 no lado em que b^x vai a 0.

Exemplo 1: crescimento (b > 1)

Considere f(x)=3·2^x.

Leituras: intercepto em y é 3; assíntota horizontal y=0; cresce rapidamente para x positivo.

Exemplo 2: decrescimento (0 < b < 1)

Considere g(x)=80·(0,75)^x.

Interpretação: a cada período, fica com 75% do valor anterior (perde 25%). A curva desce e se aproxima de y=0 conforme x aumenta.

Interpretação de parâmetros a e b (com domínio realista)

Em aplicações, a e b devem ser interpretados no contexto:

• a: quantidade inicial no instante x=0 (capital inicial, população inicial, valor inicial do bem).
• b: fator por período. Se o problema fala em taxa percentual r por período, então frequentemente b = 1 + r (crescimento) ou b = 1 - r (depreciação simples por taxa fixa).
• Domínio: em muitos casos, x é número de períodos, então x é inteiro e x ≥ 0. Em outros, pode ser contínuo (tempo em anos com frações), então x ≥ 0 real.

Aplicação 1: juros compostos

Em juros compostos, o capital é multiplicado por um fator fixo a cada período.

M(n) = C · (1+i)^n

• C: capital inicial (no período 0).
• i: taxa de juros por período (em decimal).
• n: número de períodos (tipicamente n ∈ {0,1,2,...}).

Passo a passo prático

• 1) Identifique a taxa por período: 2% ao mês → i=0,02.
• 2) Monte o fator: b=1+i → b=1,02.
• 3) Defina o domínio: meses contados a partir de hoje → n ≥ 0 inteiro.
• 4) Calcule pontos-chave: M(0)=C, M(1)=C·1,02, M(2)=M(1)·1,02.

Exemplo

Depósito de C=1000 reais a i=2% ao mês:

M(n)=1000·(1,02)^n

Intercepto em y: 1000. Assíntota y=0 não é “atingida” no domínio n ≥ 0, e o crescimento é gradual no início, acelerando com o tempo.

Aplicação 2: população (crescimento por taxa fixa)

Se uma população cresce p% por período, um modelo simples é:

P(t) = P0 · (1+p)^t

com t ≥ 0 (inteiro se o período for discreto, real se o tempo puder ser fracionado).

Exemplo

Uma colônia com P0=5000 indivíduos cresce 8% ao ano:

P(t)=5000·(1,08)^t

• P(0)=5000 (intercepto em y).
• P(1)=5400 (multiplica por 1,08).
• P(2)=5832 (multiplica por 1,08 de novo).

Interpretação de b: b=1,08 significa “a cada ano, fica 108% do ano anterior”.

Aplicação 3: depreciação (decrescimento multiplicativo)

Quando um bem perde uma porcentagem fixa do valor a cada período, o valor segue um decrescimento exponencial:

V(t) = V0 · (1-d)^t

• d: taxa de depreciação por período (em decimal), com 0 < d < 1.
• t ≥ 0: número de períodos.

Passo a passo prático

• 1) Converta a taxa: 15% ao ano → d=0,15.
• 2) Encontre o fator: b=1-d → b=0,85.
• 3) Use o valor inicial: V0 é o preço no instante t=0.
• 4) Gere pontos por multiplicação: cada ano multiplica por 0,85.

Exemplo

Um equipamento vale V0=20000 e deprecia 15% ao ano:

V(t)=20000·(0,85)^t

O gráfico desce e se aproxima de y=0, mas o modelo pode deixar de ser realista quando o valor se aproxima de um “valor mínimo de revenda” ou quando há troca do bem; isso deve ser refletido no domínio (por exemplo, 0 ≤ t ≤ 8 anos).

Checklist de leitura rápida de um modelo f(x)=a·b^x

• Intercepto em y: a.
• Fator por passo: b (multiplica ao avançar 1 em x).
• Cresce ou decresce: b>1 cresce; 0<b<1 decresce.
• Assíntota horizontal: y=0 (neste modelo sem deslocamento vertical).
• Domínio realista: defina se x é inteiro (períodos) e imponha x ≥ 0 e/ou um limite superior quando o contexto exigir.