Funções Matemáticas na Prática: tabelas de valores, pares ordenados e padrões

Tabelas de valores: para que servem e como ler

Uma tabela de valores organiza entradas (x) e saídas (y ou f(x)) de uma função. Ela ajuda a: (1) calcular rapidamente vários resultados, (2) identificar padrões de crescimento, (3) gerar pontos para desenhar o gráfico no plano cartesiano.

Estrutura típica:

• Coluna 1: valores escolhidos para x (entradas).
• Coluna 2: valores calculados de y (saídas) usando a regra da função.

Exemplo 1 (regra dada): y = 2x + 1

Escolhendo alguns valores para x e calculando y:

Leitura: quando x aumenta de 1 em 1, y aumenta de 2 em 2 (diferença constante).

Gerando pares ordenados (x, y) a partir da tabela

Cada linha da tabela vira um par ordenado (x, y), que é um ponto no plano cartesiano.

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Passo a passo: fórmula → tabela → pares

• 1) Escolha valores de x (de acordo com o contexto e com pontos importantes).
• 2) Substitua cada x na fórmula para obter y.
• 3) Escreva os pares (x, y).
• 4) (Se for desenhar) marque os pontos no plano cartesiano e observe o formato do gráfico.

No exemplo y = 2x + 1, os pares são: (-2,-3), (-1,-1), (0,1), (1,3), (2,5).

Como escolher valores de x relevantes

Uma boa tabela não é “qualquer lista” de x. Ela deve ajudar a entender o comportamento da função e destacar pontos úteis para o gráfico.

1) Valores simples e simétricos

Quando possível, use valores como -2, -1, 0, 1, 2. Isso facilita contas e mostra o comportamento em torno de 0.

2) Pontos notáveis (quando fizer sentido)

• Intercepto em y: use x = 0 para achar y.
• Raiz (quando existir): procure y = 0 para descobrir onde o gráfico cruza o eixo x.
• Trocas de comportamento: em funções por partes ou com restrições, escolha x perto das “fronteiras” (por exemplo, antes e depois de um ponto de mudança).

3) Respeitar o conjunto de valores permitidos

Ao montar a tabela, escolha x que façam sentido para o problema (por exemplo, tempo não negativo; quantidade inteira; limites máximos). Isso evita pontos que não representam a situação.

Reconhecendo padrões na tabela

Ao observar como y muda quando x aumenta sempre do mesmo passo (por exemplo, de 1 em 1), você identifica padrões típicos.

Padrão A: diferenças constantes (crescimento linear)

Se x aumenta de 1 em 1 e a diferença Δy é sempre a mesma, o comportamento é linear.

Exemplo: y = 3x - 2

O Δy constante indica “sobe sempre o mesmo tanto”.

Padrão B: razão constante (crescimento multiplicativo)

Se, ao aumentar x de 1 em 1, o quociente y_{novo} / y_{anterior} é constante (com valores positivos e não nulos), há padrão multiplicativo típico de funções exponenciais.

Exemplo: y = 2^x

Razão constante 2: “multiplica por 2 a cada passo”.

Padrão C: crescimento acelerado (diferenças aumentando)

Se as diferenças Δy não são constantes e vão aumentando, o crescimento é acelerado. Isso aparece em funções quadráticas e em muitas exponenciais (dependendo do intervalo observado).

Exemplo: y = x^2

As diferenças são 1, 3, 5, 7… (crescem), indicando aceleração.

Atividade 1: preencher tabelas a partir de fórmulas

Complete as tabelas. Use substituição direta e calcule com cuidado.

1) y = -x + 4

2) y = x^2 - 3

3) y = 3 · 2^x

Dica de verificação: no item 3, confira se a razão entre termos consecutivos é constante.

Atividade 2: deduzir a regra a partir de uma tabela

Agora o caminho é inverso: você observa a tabela e propõe uma regra que gere os valores.

Passo a passo para deduzir regras

• 1) Veja se x está aumentando com passo constante (ex.: +1).
• 2) Calcule as diferenças Δy entre linhas consecutivas.
• 3) Se Δy for constante, tente uma regra do tipo y = ax + b.
• 4) Se a razão for constante, tente uma regra do tipo y = c · r^x.
• 5) Teste a regra em mais de uma linha para confirmar.

1) Tabela com diferenças constantes (encontre y = ax + b)

Tarefa: determine a e b e escreva a fórmula.

2) Tabela com razão constante (encontre y = c · r^x)

Tarefa: identifique r e c e escreva a fórmula.

3) Tabela com crescimento acelerado (proponha uma regra possível)

Tarefa: calcule Δy. Se as diferenças crescerem de forma regular, tente uma expressão com x^2 (por exemplo, y = x^2 + 1 ou variações) e teste.

Conversão tabela ↔ pontos no plano cartesiano

Da tabela para o plano cartesiano

• 1) Transforme cada linha em um par (x, y).
• 2) No plano, localize x no eixo horizontal e y no eixo vertical.
• 3) Marque o ponto e repita para todos os pares.
• 4) Observe se os pontos formam uma linha, uma curva suave, ou um crescimento muito rápido.

Do plano cartesiano para a tabela

• 1) Leia as coordenadas dos pontos marcados: cada ponto fornece um par (x, y).
• 2) Organize em uma tabela com duas colunas.
• 3) Se houver muitos pontos, escolha alguns representativos (incluindo interceptos e mudanças de comportamento).

Exercícios: tabela ↔ pontos

1) Tabela → pares → pontos

Para a tabela abaixo, escreva os pares ordenados e indique quais pontos devem ser marcados no plano cartesiano.

2) Pares → tabela

Organize os pontos em uma tabela (ordene por x): (-1,3), (2,-3), (0,1), (1,-1).

3) Complete a tabela para desenhar o gráfico

Considere y = 2x - 4. Complete para x = 0, 1, 2, 3, 4 e depois escreva os pares ordenados correspondentes.

4) Escolha de x relevantes

Você quer representar uma função em um contexto em que x só pode ser inteiro e está entre 0 e 6. Monte uma tabela com todos os valores possíveis de x para a regra y = x^2 - x e liste os pares (x,y).

5) Identificação de padrão

Para cada tabela, diga se o padrão sugere diferenças constantes, razão constante ou crescimento acelerado.