Funções Matemáticas na Prática: modelagem linear com dados e interpretação de parâmetros

Modelagem linear com dados: quando faz sentido usar uma função afim

Em muitas situações reais, a relação entre duas grandezas pode ser aproximada por uma função afim y = ax + b. Aqui, x representa a variável que você controla/observa (tempo, quantidade, distância) e y a resposta (custo, receita, temperatura, consumo). A modelagem linear com dados consiste em: coletar pares (x,y), verificar se a variação é aproximadamente constante e, quando o caso for exato, ajustar a reta e interpretar o que a e b significam no contexto.

O que os parâmetros significam na prática

• Coeficiente angular a (taxa de variação): quanto y muda quando x aumenta 1 unidade. Unidades: “unidade de y por unidade de x”.
• Coeficiente linear b (valor inicial): valor de y quando x = 0. Em custos, costuma representar taxa fixa; em medições, pode ser um “offset” do instrumento.

Atividade 1 — Coletar dados e ajustar uma função afim (caso exato)

Situação: um serviço de entrega cobra uma taxa fixa de R$ 8,00 mais R$ 2,50 por quilômetro rodado. Você registra alguns valores reais (exatos, sem ruído):

Passo a passo para ajustar a função

1. Escolha duas observações com x diferentes (por exemplo, (0,8) e (4,18)).
2. Calcule a taxa de variação: a = (18 - 8) / (4 - 0) = 10/4 = 2,5.
3. Encontre b usando um ponto (o mais simples é o de x=0): como y(0)=8, então b=8.
4. Escreva o modelo: y = 2,5x + 8.
5. Cheque com outro ponto (validação interna): para x=10, y=2,5·10+8=33, que bate com a tabela.

Interpretação dos parâmetros

• a = 2,5: cada 1 km a mais aumenta o custo em R$ 2,50.
• b = 8: mesmo com 0 km, há um custo fixo de R$ 8,00.

Atividade 2 — Ajuste exato a partir de dois pontos (sem ter x=0)

Situação: um reservatório está sendo esvaziado a uma taxa constante. Você mede o volume:

Passo a passo

1. Calcule a: a = (68 - 92) / (17 - 5) = (-24)/12 = -2 (L por minuto).
2. Use um dos pontos para achar b: com (5,92), 92 = -2·5 + b ⇒ b = 102.
3. Modelo: y = -2x + 102.

Interpretação

• a = -2: o volume diminui 2 L a cada minuto.
• b = 102: volume estimado no instante x=0 (início da contagem) seria 102 L.

Checagem de coerência: domínio relevante e limites do mundo real

Depois de obter y = ax + b, é essencial verificar se o modelo faz sentido no intervalo de x que interessa. A reta pode “funcionar” matematicamente para qualquer x, mas o fenômeno real não.

Checklist de coerência

• Unidades: confirme se a tem unidade “y por x” e se b tem unidade de y.
• Sinais e limites: custo não pode ser negativo; volume não pode ficar abaixo de 0; quantidade não pode ser negativa.
• Intervalo observado: se os dados foram coletados entre x=5 e x=17, previsões confiáveis tendem a ficar nesse intervalo (interpolação).
• Eventos de mudança: promoções, tarifas por faixa, capacidade máxima, saturação e horários podem quebrar a linearidade.

Exemplo de limite físico (evitar extrapolação indevida)

No modelo do reservatório y = -2x + 102, o volume zera quando 0 = -2x + 102 ⇒ x = 51 min. Para x > 51, a fórmula daria volume negativo, o que não faz sentido. Logo, um domínio coerente é 0 ≤ x ≤ 51 (ou o intervalo real de operação medido).

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Previsão por interpolação (sem extrapolar)

Interpolar é estimar valores de y para um x que está dentro do intervalo dos dados. Isso costuma ser mais seguro do que extrapolar para fora.

Exemplo de interpolação

Usando o modelo do serviço de entrega y = 2,5x + 8, estime o custo para x=6 km (entre 4 e 10 km da tabela):

y = 2,5·6 + 8 = 15 + 8 = 23. Logo, custo previsto: R$ 23,00.

Como justificar que é interpolação

• Os dados incluem distâncias 4 km e 10 km.
• 6 km está entre 4 e 10, então a previsão está no “meio” do que foi observado.

Leitura de gráfico: perguntas práticas com retas

Em gráficos de funções afins, muitas perguntas do cotidiano viram leitura de pontos, inclinação e interseções. A seguir, exercícios que podem ser respondidos por interpretação do gráfico (mesmo que você também calcule pela fórmula).

Exercício 1 — Custo total (taxa fixa + variável)

Um plano de internet cobra y = 79 + 5x, onde x é o número de pacotes extras de dados no mês e y é o custo total em reais.

• a) Interprete 79 e 5 no contexto.
• b) Qual o custo total para x=3 pacotes?
• c) No gráfico, que ponto representa o custo quando não há pacotes extras?

Exercício 2 — Ponto de equilíbrio simples (receita = custo)

Uma pessoa vende camisetas. O custo total de produção é C(x) = 200 + 18x (em reais) e a receita é R(x) = 35x, onde x é o número de camisetas vendidas.

• a) O que significa o 200 em C(x)?
• b) Encontre o ponto de equilíbrio resolvendo R(x)=C(x).
• c) Interprete o resultado: a partir de quantas camisetas há lucro?
• d) No gráfico, o ponto de equilíbrio é a interseção de quais duas retas?

Exercício 3 — Comparação de planos (qual é melhor e quando)

Dois aplicativos de transporte oferecem planos de assinatura:

• Plano A: y_A = 25 + 1,8x
• Plano B: y_B = 10 + 2,4x

Em ambos, x é a quantidade de corridas no mês e y é o gasto total (R$).

• a) Qual plano tem menor taxa fixa? Qual tem menor custo por corrida?
• b) Para qual valor de x os planos custam o mesmo? (resolva y_A = y_B)
• c) Para x abaixo desse valor, qual plano é mais barato? E para x acima?
• d) Se o gráfico mostrar as duas retas, como identificar visualmente a região em que cada plano é vantajoso?

Exercício 4 — Checagem de domínio antes de prever

Uma fábrica mediu o consumo de energia (kWh) em função do número de horas de operação diária e obteve o modelo y = 120x + 300. As medições foram feitas apenas para 2 ≤ x ≤ 8.

• a) Explique por que prever y para x=6 é interpolação.
• b) Explique por que prever y para x=14 é extrapolação e cite um motivo prático pelo qual pode falhar (ex.: mudança de turno, máquinas extras, limites de capacidade).
• c) Calcule y para x=6.

Roteiro rápido de modelagem linear (para usar em qualquer problema)

• 1) Defina variáveis e unidades: o que é x, o que é y, em que unidades.
• 2) Colete pares (x,y): de preferência em um intervalo bem definido e com medidas confiáveis.
• 3) Verifique variação constante: compare diferenças em y para incrementos iguais em x (quando os dados forem exatos, isso aparece claramente).
• 4) Ajuste y=ax+b: calcule a com dois pontos e obtenha b substituindo em um ponto.
• 5) Interprete a e b: traduza para “por unidade” e “valor inicial”.
• 6) Delimite o domínio relevante: intervalo observado e restrições físicas/econômicas.
• 7) Preveja com cuidado: priorize interpolação; se extrapolar, justifique e indique riscos.