Funções Matemáticas na Prática: função quadrática e a parábola (raízes, vértice e concavidade)

Forma geral da função quadrática e o papel dos coeficientes

A função quadrática (ou função do 2º grau) é escrita como f(x)=ax²+bx+c, com a≠0. O gráfico é uma parábola. Nesta forma, cada coeficiente tem uma leitura prática:

• a: controla a concavidade e “o quão aberta/fechada” é a parábola (módulo de a).
• b: influencia a posição horizontal do ponto mais alto/baixo (vértice) e a inclinação local.
• c: é o valor de f(0), isto é, o intercepto em y (onde o gráfico corta o eixo y).

Concavidade: como o sinal de a muda o formato

A concavidade é determinada pelo sinal de a:

• Se a > 0, a parábola é côncava para cima (formato “U”): o vértice é um mínimo.
• Se a < 0, a parábola é côncava para baixo (formato “∩”): o vértice é um máximo.

Além disso, quanto maior |a|, mais “fechada” é a parábola; quanto menor |a|, mais “aberta”.

Zeros (raízes): onde a parábola cruza o eixo x

Os zeros (ou raízes) são os valores de x que tornam f(x)=0. No gráfico, são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Podem existir:

• duas raízes reais (corta o eixo x em dois pontos);
• uma raiz real dupla (toca o eixo x no vértice);
• nenhuma raiz real (não cruza o eixo x).

Encontrando zeros por fatoração (quando possível)

Quando a expressão pode ser fatorada, a forma fatorada facilita achar as raízes. A ideia é reescrever:

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ax²+bx+c = a(x-r1)(x-r2)

Então, f(x)=0 implica (x-r1)(x-r2)=0, logo x=r1 ou x=r2.

Passo a passo: fatoração e zeros

1. Coloque a função igual a zero: ax²+bx+c=0.
2. Tente fatorar (fator comum, produtos notáveis, trinômio do 2º grau).
3. Use o produto nulo: cada fator igual a zero gera uma raiz.
4. Cheque rapidamente substituindo as raízes em f(x) para confirmar que dá zero.

Exemplo 1 (fatoração direta): f(x)=x²-5x+6

Fatorando: x²-5x+6=(x-2)(x-3). Zeros: x=2 e x=3. No gráfico, a parábola cruza o eixo x em (2,0) e (3,0).

Exemplo 2 (com coeficiente a diferente de 1): f(x)=2x²-8x+6

Fatore 2: 2(x²-4x+3)=2(x-1)(x-3). Zeros: x=1 e x=3.

Zeros por análise gráfica (quando não dá para fatorar facilmente)

Nem sempre a fatoração é simples. Em situações práticas, é comum estimar as raízes pelo gráfico:

• Identifique onde a curva cruza o eixo x.
• Leia os valores aproximados de x nesses pontos.
• Se a curva apenas “encosta” no eixo x, há uma raiz dupla.
• Se não cruza, não há raízes reais (o gráfico fica todo acima ou todo abaixo do eixo x).

Dica de leitura: se a>0 e o vértice está acima do eixo x, a parábola não terá raízes reais; se o vértice está abaixo, terá duas. Para a<0, o raciocínio inverte (vértice abaixo tende a não ter raízes).

Vértice: ponto de máximo ou mínimo e seu significado

O vértice é o ponto “mais baixo” (mínimo) ou “mais alto” (máximo) da parábola. Ele é central para interpretação: em muitos problemas, o vértice representa o melhor ou pior resultado possível (altura máxima, custo mínimo, lucro máximo, etc.).

Coordenadas do vértice

A abscissa do vértice é:

x_v = -b/(2a)

Depois, calcule a ordenada substituindo na função:

y_v = f(x_v)

Passo a passo: encontrando o vértice

1. Identifique a e b em f(x)=ax²+bx+c.
2. Calcule x_v=-b/(2a).
3. Substitua em f(x) para obter y_v.
4. Interprete: se a>0, y_v é o valor mínimo; se a<0, y_v é o valor máximo.

Exemplo 3 (mínimo): f(x)=x²-6x+5

a=1, b=-6. Então x_v=-(-6)/(2·1)=3. y_v=f(3)=9-18+5=-4. Vértice: (3,-4). Como a>0, o valor mínimo da função é -4, atingido em x=3.

Exemplo 4 (máximo): f(x)=-2x²+8x+1

a=-2, b=8. x_v=-8/(2·-2)=2. y_v=f(2)=-8+16+1=9. Vértice: (2,9). Como a<0, o valor máximo é 9.

Eixo de simetria

A parábola é simétrica em relação à reta vertical x=x_v. Isso ajuda a construir o gráfico: pontos à esquerda e à direita do vértice, à mesma distância horizontal, têm o mesmo valor de y.

Construção do gráfico com pontos notáveis

Para desenhar uma parábola de forma eficiente, use pontos que “ancoram” o formato: intercepto em y, raízes (se existirem) e vértice. Esses elementos geralmente bastam para um esboço confiável.

Roteiro prático de construção

1. Determine a concavidade pelo sinal de a.
2. Marque o intercepto em y: ponto (0,c).
3. Encontre e marque o vértice com x_v=-b/(2a) e y_v=f(x_v).
4. Encontre as raízes (por fatoração quando possível; caso contrário, estime pelo gráfico/valores) e marque (r1,0), (r2,0) se existirem.
5. Use simetria: se você tiver um ponto de um lado do eixo x=x_v, reflita para o outro lado.
6. Desenhe a curva suave passando pelos pontos, respeitando a concavidade.

Exemplo completo de esboço com pontos notáveis

Considere f(x)=x²-4x-5.

• Concavidade: a=1>0, côncava para cima.
• Intercepto em y: c=-5 → ponto (0,-5).
• Vértice: x_v=-(-4)/(2·1)=2; y_v=f(2)=4-8-5=-9 → (2,-9).
• Raízes: fatorando x²-4x-5=(x-5)(x+1) → x=5 e x=-1 → pontos (5,0) e (-1,0).

Com esses pontos, o esboço fica bem definido: a curva desce até o mínimo em (2,-9) e sobe, cruzando o eixo x em -1 e 5.

Interpretação prática: trajetórias e áreas simplificadas

Trajetória (altura) modelada por parábola

Em modelos simplificados, a altura de um objeto ao longo do tempo pode ser aproximada por uma função quadrática com a<0 (concavidade para baixo). O vértice representa a altura máxima e o instante em que ela ocorre.

Exemplo 5 (altura máxima): h(t)=-5t²+20t+1, com t em segundos e h em metros.

• a=-5<0 → existe um máximo.
• t_v=-b/(2a)=-20/(2·-5)=2 s.
• h(2)=-5·4+40+1=21 m → altura máxima de 21 m.

As raízes (quando existirem) indicam instantes em que a altura é zero (por exemplo, quando toca o chão), mas em contextos reais pode haver restrições (tempo não negativo, altura não negativa).

Área “sob a curva” como leitura aproximada

Em algumas situações, a área sob o gráfico em um intervalo pode representar uma quantidade acumulada (por exemplo, uma medida total ao longo do tempo). Sem técnicas formais de cálculo, é possível fazer uma aproximação por formas simples:

• Divida o intervalo em partes iguais.
• Leia valores de f(x) em pontos (por exemplo, início, meio e fim).
• Aproxime por retângulos ou trapézios usando essas alturas.

Exemplo 6 (aproximação por trapézios): Suponha f(x)=-(x-2)²+4 e queremos aproximar a área de x=0 a x=4. Leia: f(0)=0, f(2)=4, f(4)=0. Dividindo em dois trapézios de base 2:

Área ≈ (2/2)·(f(0)+f(2)) + (2/2)·(f(2)+f(4)) = 1·(0+4) + 1·(4+0) = 8

Essa leitura é útil para comparar cenários e interpretar gráficos, mesmo sem buscar exatidão.

Exercícios (foco em leitura do gráfico, máximos/mínimos e pontos notáveis)

1) Concavidade e vértice

• a) Para f(x)=3x²-12x+7, determine a concavidade e calcule o vértice.
• b) Para g(x)=-x²+4x-1, determine a concavidade e interprete o significado do vértice como máximo/mínimo.

2) Zeros por fatoração (quando possível)

• a) Encontre as raízes de f(x)=x²+x-6 e indique os pontos de intercepto com o eixo x.
• b) Encontre as raízes de f(x)=2x²+2x-12 e simplifique o máximo possível antes de fatorar.

3) Construção de gráfico por pontos notáveis

• a) Para f(x)=x²-2x-3, liste: intercepto em y, raízes (se existirem) e vértice. Em seguida, esboce o gráfico.
• b) Para f(x)=-2x²+8x, faça o mesmo e indique claramente o ponto de máximo.

4) Interpretação de trajetória

• Uma bola tem altura dada por h(t)=-4t²+16t. Determine: (i) o instante de altura máxima, (ii) a altura máxima, (iii) em quais instantes a altura é zero (interprete no contexto).

5) Leitura de máximos/mínimos e intervalos relevantes

• Considere f(x)=(x-1)²-9. Sem expandir, identifique o vértice e diga se é máximo ou mínimo. Depois, determine em quais valores de x a função é negativa (use as raízes e a concavidade).

6) Área aproximada sob uma parábola (interpretação)

• Para f(x)=-(x-3)²+9, aproxime a área sob o gráfico de x=0 a x=6 usando dois trapézios (pontos em x=0, 3 e 6). Mostre as leituras e o cálculo.