Funções Matemáticas na Prática: função modular |x| e gráficos por definição em partes

O que significa |x|: distância até zero

O módulo |x| representa a distância do número x até 0 na reta numérica. Distância não é negativa, então |x| ≥ 0 para qualquer x.

• |5| = 5 (distância de 5 até 0 é 5)
• |-5| = 5 (distância de -5 até 0 também é 5)
• |0| = 0

Uma forma útil de pensar: |x| “remove o sinal”, mas só depois de decidir em que lado do zero o x está.

Definição por partes do módulo

A definição formal por partes é:

|x| = { x,  se x ≥ 0
       -x, se x < 0 }

Isso explica por que |-3| = -(-3) = 3.

Construindo o gráfico de f(x)=|x| e entendendo a simetria

Gráfico de f(x)=|x| por análise de casos

Para desenhar f(x)=|x|, separe em dois casos:

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• Se x ≥ 0, então f(x)=x (uma reta de inclinação 1 no lado direito).
• Se x < 0, então f(x)=-x (uma reta de inclinação -1 no lado esquerdo).

Essas duas retas se encontram em (0,0), formando um “V”.

Simetria: por que o gráfico é espelhado

Como |-x| = |x|, a função f(x)=|x| é par: o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Na prática, basta desenhar um lado e espelhar no outro.

Variações de f(x)=|x|: deslocamentos e escalas

Muitas funções com módulo são variações do “V” básico. Um modelo comum é:

f(x)=a|x-h|+k

• h: desloca o vértice para a direita (h>0) ou esquerda (h<0).
• k: desloca o gráfico para cima (k>0) ou para baixo (k<0).
• a: estica/encolhe verticalmente; se a<0, o “V” fica invertido (abre para baixo).

Passo a passo: esboçar f(x)=a|x-h|+k

• 1) Encontre o vértice: ele ocorre quando x=h. Então o vértice é (h,k).
• 2) Determine a “abertura”: se a>0, abre para cima; se a<0, abre para baixo.
• 3) Determine a inclinação dos ramos: no lado direito a inclinação é +a; no lado esquerdo é -a.
• 4) Marque mais 1 ou 2 pontos em cada lado usando a distância ao vértice. Por exemplo, em x=h±1, o valor muda em |a|.

Exemplo 1: f(x)=|x-2|+1

• Vértice: (2,1)
• Abre para cima
• Por partes: quando x≥2, |x-2|=x-2 então f(x)=x-1; quando x<2, |x-2|=-(x-2)=2-x então f(x)=3-x.

f(x)=|x-2|+1 = { x-1,  se x ≥ 2
               3-x,  se x < 2 }

Exemplo 2: f(x)=-2|x+1|+4

• Vértice: (-1,4)
• Abre para baixo (porque a=-2)
• Inclinações: ramo direito com inclinação -2, ramo esquerdo com inclinação +2.

Como escrever funções com módulo em forma por partes

A ideia é identificar onde a expressão dentro do módulo muda de sinal.

Passo a passo: transformar |g(x)| em função por partes

• 1) Encontre onde g(x)=0 (pontos de troca).
• 2) Separe a reta real em intervalos definidos por esses pontos.
• 3) Em cada intervalo, decida o sinal de g(x) e substitua: |g(x)|=g(x) se g(x)≥0, e |g(x)|=-g(x) se g(x)<0.

Exemplo: f(x)=|2x-6|

Troca quando 2x-6=0 ⇒ x=3.

• Se x≥3, 2x-6≥0 ⇒ f(x)=2x-6
• Se x<3, 2x-6<0 ⇒ f(x)=-(2x-6)=6-2x

f(x)=|2x-6| = { 2x-6,  se x ≥ 3
              6-2x,  se x < 3 }

Equações com módulo: resolvendo por casos

Equações com módulo geralmente pedem separar em casos, porque |A| pode ser A ou -A.

Modelo 1: |A(x)| = c

Se c<0, não há solução (módulo não é negativo). Se c≥0:

• A(x)=c ou
• A(x)=-c

Exemplo: |x-4|=3

• x-4=3 ⇒ x=7
• x-4=-3 ⇒ x=1

Interpretação geométrica: os x cuja distância até 4 é 3.

Modelo 2: |A(x)| = |B(x)|

Uma estratégia direta é:

• A(x)=B(x) ou
• A(x)=-B(x)

Exemplo: |x+1|=|2x-5|

• x+1=2x-5 ⇒ x=6
• x+1=-(2x-5) ⇒ x+1=-2x+5 ⇒ 3x=4 ⇒ x=4/3

Inequações com módulo: regiões acima/abaixo de um valor

Inequações com módulo podem ser interpretadas como regiões no gráfico (onde a função fica acima/abaixo de uma altura) e também como condições de distância.

Interpretação-chave: |x-a| como distância até a

• |x-a| ≤ r significa: distância de x até a é no máximo r ⇒ a-r ≤ x ≤ a+r.
• |x-a| ≥ r significa: distância de x até a é pelo menos r ⇒ x ≤ a-r ou x ≥ a+r.

Exemplo 1: |x-2| ≤ 5

2-5 ≤ x ≤ 2+5 ⇒ -3 ≤ x ≤ 7.

Leitura no gráfico: no gráfico de y=|x-2|, os pontos onde y está abaixo ou igual a 5 correspondem ao intervalo de x entre -3 e 7.

Exemplo 2: |2x+1| > 3

Resolva por casos:

• 2x+1 > 3 ⇒ 2x > 2 ⇒ x > 1
• 2x+1 < -3 ⇒ 2x < -4 ⇒ x < -2

Solução: x<-2 ou x>1. Interpretação: o gráfico de y=|2x+1| fica acima de 3 fora de um intervalo central.

Leitura gráfica: onde f(x) está acima/abaixo de um valor

Quando você tem uma função com módulo e quer saber onde ela é maior/menor que um número, pense em uma “linha horizontal” y=c e compare com o gráfico.

Exemplo: f(x)=|x| e comparar com 2

• |x| < 2: região do gráfico abaixo de y=2 ocorre para -2 < x < 2.
• |x| ≥ 2: região do gráfico em y≥2 ocorre para x ≤ -2 ou x ≥ 2.

Aplicações: erro absoluto e variação em torno de um valor-alvo

Erro absoluto como módulo

Se um valor verdadeiro é V e uma medição é M, o erro absoluto é:

E=|M-V|

Isso mede “o quanto errou”, independentemente de ter passado ou ficado abaixo.

Exemplo: tolerância de fabricação

Uma peça deve ter 10,0 mm com tolerância de 0,2 mm. Se a medida é x, a condição de aceitação é:

|x-10| ≤ 0,2

Transformando em intervalo:

9,8 ≤ x ≤ 10,2

Variação em torno de um alvo (meta)

Em metas de desempenho, o módulo modela “desvio da meta”. Se a meta é T e o resultado é r, o desvio é |r-T|.

Exemplo: nota-alvo e faixa de segurança

Um aluno quer ficar a no máximo 1,5 ponto de uma nota-alvo 8. Se a nota é n:

|n-8| ≤ 1,5 ⇒ 6,5 ≤ n ≤ 9,5

Modelando custo por desvio

Às vezes o custo cresce proporcionalmente ao desvio:

C(x)=k|x-T|

Se k=50 (R$ por unidade de desvio) e a meta é T=100, então C(x)=50|x-100|. O gráfico é um “V” com vértice em (100,0), mostrando que o custo mínimo ocorre exatamente na meta.

Exercícios (equações, inequações e interpretação gráfica)

A. Transforme em forma por partes

• 1) f(x)=|x+3|
• 2) g(x)=|3-2x|
• 3) h(x)=2|x-1|-3

B. Resolva as equações

• 4) |x-5|=0
• 5) |2x-1|=7
• 6) |x+2|=|x-4|

C. Resolva as inequações e escreva a solução em intervalos

• 7) |x| ≤ 4
• 8) |x-3| > 2
• 9) |2x+6| ≥ 10

D. Interpretação gráfica (descreva a região em x)

• 10) Para f(x)=|x-1|+2, determine os x tais que f(x) ≤ 5.
• 11) Para f(x)=-|x|+3, determine os x tais que f(x) > 1.

E. Aplicações

• 12) Um sensor deve medir 50 com erro absoluto no máximo 0,8. Escreva a condição com módulo e o intervalo permitido.
• 13) Um produto tem custo de retrabalho C(x)=120|x-20|, onde x é a medida e 20 é o alvo. Calcule C(19,7) e C(20,4).