Funções Matemáticas na Prática: função logarítmica e interpretação como inversa da exponencial

Função logarítmica: definição e ideia central

A função logarítmica de base b é definida por f(x)=log_b(x), com b>0 e b≠1. Ela responde à pergunta: “qual expoente devo colocar em b para obter x?”

Em outras palavras, y=log_b(x) significa exatamente: b^y=x.

Domínio e restrição essencial

Como b^y (com b>0) é sempre positivo, só faz sentido pedir log_b(x) quando x>0. Portanto:

• Domínio: x>0
• Imagem: todos os reais (y∈ℝ), pois podemos ter expoentes positivos, zero ou negativos.

Pontos notáveis e leitura rápida de gráficos

Dois pontos aparecem em qualquer gráfico de y=log_b(x) (com b>0, b≠1):

• log_b(1)=0 porque b^0=1 → ponto (1,0)
• log_b(b)=1 porque b^1=b → ponto (b,1)

Outros valores úteis vêm de expoentes simples:

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• log_b(b^2)=2 → ponto (b^2,2)
• log_b(1/b)=-1 porque b^{-1}=1/b → ponto (1/b,-1)

Assíntota e comportamento perto de zero

Quando x se aproxima de 0 pela direita (x→0^+), o logaritmo “desce” sem limite: log_b(x)→-∞. Isso aparece no gráfico como uma assíntota vertical em x=0 (o gráfico se aproxima do eixo y, mas não toca).

Crescimento ou decrescimento depende da base

• Se b>1, log_b(x) é crescente (aumentar x aumenta y).
• Se 0<b<1, log_b(x) é decrescente.

Na prática, as bases mais comuns são 10 e e (natural), mas a leitura de pontos notáveis funciona para qualquer base válida.

Propriedades operacionais essenciais (para calcular e interpretar)

As propriedades abaixo ajudam a simplificar expressões e resolver equações. Considere x>0, y>0, b>0, b≠1.

• Produto: log_b(xy)=log_b(x)+log_b(y)
• Quociente: log_b(x/y)=log_b(x)-log_b(y)
• Potência: log_b(x^k)=k·log_b(x) (com x>0)
• Mudança de base: log_b(x)=log_a(x)/log_a(b) (útil para calcular em outra base)

Essas regras são especialmente úteis para “enxergar” como o gráfico reage a multiplicações: multiplicar x por b soma 1 no valor do logaritmo, pois log_b(bx)=log_b(b)+log_b(x)=1+log_b(x).

Logaritmo como inversa da exponencial

A função logarítmica é a inversa da função exponencial de mesma base. Isso significa que elas desfazem uma à outra:

• log_b(b^x)=x (o log “desfaz” a potência)
• b^{log_b(x)}=x (a potência “desfaz” o log)

Passo a passo: transformando entre forma log e forma exponencial

Regra prática: y=log_b(x) ⇔ b^y=x.

Exemplo 1: log_2(8)=3

• Forma log: log_2(8)=3
• Forma exponencial: 2^3=8

Exemplo 2: 10^{-2}=0,01

• Forma exponencial: 10^{-2}=0,01
• Forma log: log_{10}(0,01)=-2

Simetria no gráfico: reflexão na reta y=x

Se duas funções são inversas, seus gráficos são simétricos em relação à reta y=x. Assim, os gráficos de y=b^x e y=log_b(x) são reflexos um do outro.

Como isso aparece em pontos:

• No exponencial, o ponto (0,1) (pois b^0=1) corresponde no log ao ponto (1,0) (pois log_b(1)=0).
• No exponencial, o ponto (1,b) corresponde no log ao ponto (b,1).

Passo a passo para usar a simetria na leitura:

• 1) Identifique um ponto no gráfico de y=b^x, por exemplo (a,c).
• 2) Troque as coordenadas: o ponto correspondente no log é (c,a).
• 3) Verifique se c>0, pois o log só aceita x>0.

Leitura de gráficos: o que observar rapidamente

Checklist de leitura

• Intercepto em x: sempre em x=1 (ponto (1,0)).
• Passagem por (b,1): marca a base no eixo x.
• Assíntota em x=0: o gráfico se aproxima do eixo y sem tocar.
• Inclinação geral: crescente se b>1, decrescente se 0<b<1.

Exercício de leitura (sem cálculo pesado)

Considere o gráfico de y=log_3(x). Responda:

• a) Em que ponto o gráfico cruza o eixo x?
• b) Qual é o valor de y quando x=3?
• c) Qual ponto corresponde a y=2?

Gabarito orientado: a) (1,0). b) log_3(3)=1 → (3,1). c) y=2 significa x=3^2=9 → (9,2).

Resolução de equações simples com logaritmos

Tipo 1: logaritmo igual a número

Exemplo: resolver log_5(x)=2.

Passo a passo:

• 1) Passe para a forma exponencial: 5^2=x.
• 2) Calcule: x=25.
• 3) Cheque o domínio: x>0 (ok).

Tipo 2: logaritmo de expressão igual a número

Exemplo: resolver log_2(x-1)=3.

• 1) Condição de existência: x-1>0 → x>1.
• 2) Forma exponencial: 2^3=x-1.
• 3) Resolva: 8=x-1 → x=9.
• 4) Verifique a condição: 9>1 (ok).

Tipo 3: igualdade entre dois logaritmos (mesma base)

Ideia: se log_b(A)=log_b(C), então A=C (desde que A>0 e C>0).

Exemplo: resolver log_3(2x)=log_3(18).

• 1) Igualar argumentos: 2x=18.
• 2) Resolver: x=9.
• 3) Domínio: 2x>0 → x>0 (ok).

Interpretação em escalas logarítmicas: “ordem de grandeza”

Em muitas situações, uma quantidade varia por fatores enormes (10 vezes, 100 vezes, 1000 vezes). Escalas logarítmicas transformam multiplicações em somas, facilitando comparar “tamanhos” por ordens de grandeza.

Ordem de grandeza (base 10): dizer que algo aumentou “1 ordem de grandeza” significa multiplicar por 10. Aumentar “2 ordens” significa multiplicar por 100.

Exemplo com pH (ideia de escala, sem aprofundar em química)

Uma forma comum de definir pH é pH=-log_{10}(H), onde H é uma medida positiva. O sinal de menos faz com que valores menores de H resultem em pH maior.

Leitura de ordem de grandeza: se H diminui 10 vezes, então log_{10}(H) diminui 1 unidade, e o pH aumenta 1 unidade.

Exemplo numérico: se H passa de 10^{-6} para 10^{-7} (10 vezes menor), então:

• pH_1=-log_{10}(10^{-6})=6
• pH_2=-log_{10}(10^{-7})=7

Exemplo com decibéis (dB): comparar razões

Uma forma típica de escala em decibéis é L=10·log_{10}(R), onde R é uma razão positiva (por exemplo, “novo/antigo”).

Leitura rápida:

• Se R multiplica por 10, então log_{10}(R) aumenta 1 e L aumenta 10.
• Se R multiplica por 100, então log_{10}(R) aumenta 2 e L aumenta 20.

Exemplo: se R=100, então L=10·log_{10}(100)=10·2=20 dB.

Exemplo com magnitude (escala logarítmica de comparação)

Em escalas de magnitude, uma diferença fixa na escala corresponde a um fator multiplicativo fixo na quantidade medida. O ponto principal é: diferenças na escala representam razões.

Exemplo genérico: se uma escala é definida por M=log_{10}(Q), então:

• Se Q multiplica por 10, M aumenta 1.
• Se Q multiplica por 1000, M aumenta 3.

Prática guiada: exercícios

1) Pontos notáveis e leitura

• a) Encontre log_4(1) e log_4(4).
• b) Determine o ponto do gráfico de y=log_4(x) quando y=-1.
• c) Sem calcular com calculadora, estime se log_4(3) é menor ou maior que 1 e justifique.

2) Transformação log ↔ exponencial

• a) Reescreva em forma exponencial: log_7(x)= -2.
• b) Reescreva em forma logarítmica: 3^5=243.

3) Equações

• a) Resolva: log_3(x)=4.
• b) Resolva: log_{10}(2x-1)=0 (inclua a condição de existência).
• c) Resolva: log_2(x+2)=log_2(10).

4) Ordem de grandeza (base 10)

• a) Uma quantidade Q passa de 10^3 para 10^6. Quantas ordens de grandeza aumentou?
• b) Se M=log_{10}(Q), qual é a variação de M no item (a)?
• c) Em uma escala L=10·log_{10}(R), quanto varia L quando R multiplica por 1000?