Funções Matemáticas na Prática: comparação entre tipos de funções e escolha de modelo

Comparando tipos de funções por comportamento (a “assinatura”)

Ao escolher um modelo para uma situação real, a pergunta central é: o que permanece constante quando a variável muda? Em funções, isso aparece como “assinaturas” em tabelas e gráficos. A seguir, você vai comparar cinco famílias comuns e usar critérios objetivos para decidir qual descreve melhor um contexto.

Checklist rápido de escolha (tabela + gráfico + contexto)

• 1) Olhe a tabela: diferenças (linear), segunda diferença (quadrática), razão (exponencial), espelhamento (modular), crescimento que desacelera (log).
• 2) Olhe o gráfico: reta, parábola, V, curva acelerada, curva que achata com x>0.
• 3) Cheque coerência com o contexto: unidades, restrições (por exemplo, x>0 em log), presença de máximo/mínimo, simetria, “taxa por unidade” vs “taxa percentual”.

Passo a passo prático: como decidir o modelo em situações curtas

Use este procedimento sempre que receber dados (tabela) ou uma descrição verbal.

Passo 1 — Padronize o passo em x

Garanta que você está comparando variações para o mesmo incremento em x (por exemplo, de 1 em 1, ou de 10 em 10). Se os passos forem diferentes, compare por unidade (taxa média) ou reamostre.

Passo 2 — Teste “diferença constante” (candidato linear)

Calcule Δy entre linhas consecutivas. Se for constante (ou quase, considerando ruído), o modelo linear é forte candidato.

x: 0, 1, 2, 3  y: 5, 8, 11, 14  Δy: +3, +3, +3

Passo 3 — Se não for linear, teste “razão constante” (candidato exponencial)

Calcule y_{k+1}/y_k (com y positivo). Razão aproximadamente constante sugere exponencial.

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x: 0, 1, 2, 3  y: 100, 120, 144, 172,8  razão: 1,2; 1,2; 1,2

Passo 4 — Se houver extremo e curvatura, teste “segunda diferença” (candidato quadrático)

Com passos iguais em x, calcule diferenças de primeira ordem e depois diferenças dessas diferenças. Segunda diferença aproximadamente constante sugere quadrática.

y: 2, 5, 10, 17  Δy: 3, 5, 7  Δ(Δy): 2, 2

Passo 5 — Se houver “ponta” e simetria, teste modular

Procure um ponto central h tal que valores em h-d e h+d sejam iguais (ou próximos). O gráfico típico é um V, e a variação é linear em cada lado.

x: 1, 2, 3, 4, 5  y: 4, 2, 0, 2, 4  (simetria em x=3)

Passo 6 — Se cresce lentamente e exige x>0, considere logarítmica

Se o contexto impõe x>0 (por exemplo, concentração, intensidade, tempo em escala), e o gráfico “sobe e achata”, o logaritmo é candidato. Um indício prático: aumentos multiplicativos em x geram aumentos aditivos em y (por exemplo, dobrar x aumenta y por uma quantidade parecida).

Passo 7 — Checagem de coerência com o contexto (obrigatória)

• Domínio: faz sentido ter x negativo? Se não, descarte modelos que permitiriam valores inválidos sem restrição explícita.
• Sinal e unidades: a grandeza pode ser negativa? custo, massa e população geralmente não.
• Comportamento a longo prazo: o modelo prevê valores absurdos no intervalo relevante? Exponenciais crescem rápido; lineares podem ficar negativos; quadráticas podem explodir para |x| grande.
• Interpretação local: “taxa por unidade” (linear) vs “taxa percentual” (exponencial) vs “retorno decrescente” (log).

Atividade 1 — Identificação por assinaturas em tabelas

Para cada tabela, escolha o tipo de função mais adequado (linear, quadrática, modular, exponencial, logarítmica) e justifique com um teste numérico (diferença, segunda diferença, razão, simetria, ou desaceleração com x>0).

Tabela A

• Verifique Δy.
• Cheque se o contexto poderia ser “taxa fixa por unidade”.

Tabela B

• Verifique a razão y_{k+1}/y_k.
• Discuta se “dobrar a cada passo” é plausível no fenômeno.

Tabela C

• Procure simetria em torno de um x central.
• Identifique a “ponta” (menor valor) e descreva o que ela representa no contexto.

Tabela D

• Calcule Δy e depois Δ(Δy) com passo 1 em x.
• Indique onde estaria o extremo (mínimo) e como isso aparece na tabela.

Tabela E

• Note que x dobra a cada linha. Observe se os aumentos em y são aproximadamente constantes.
• Cheque coerência: por que x não inclui 0 ou negativos?

Atividade 2 — Identificação por “assinaturas gráficas” (sem fórmula)

Imagine que você recebeu cinco gráficos (sem equação). Associe cada descrição ao tipo de função e escreva duas evidências: uma visual e uma contextual.

• Gráfico 1: uma reta que sobe de forma uniforme; ao avançar 1 unidade em x, y sobe sempre o mesmo tanto.
• Gráfico 2: curva em U com um ponto mais baixo; longe do centro, y cresce rapidamente para os dois lados.
• Gráfico 3: formato de V com uma ponta nítida; lados retos e simétricos.
• Gráfico 4: curva que começa baixa e depois cresce cada vez mais rápido; intervalos iguais em x multiplicam y por um fator parecido.
• Gráfico 5: curva definida apenas para x>0; cresce rápido no começo e depois quase “estaciona”.

Para cada gráfico, faça uma checagem de coerência: o fenômeno poderia assumir valores negativos? existe limite físico? há um máximo/mínimo esperado?

Atividade 3 — Situações curtas: escolha do modelo e justificativa (gráfico + tabela)

Em cada situação, escolha o tipo de função mais adequado e justifique com: (a) uma frase sobre o contexto, (b) uma evidência de tabela (diferença/razão/simetria/desaceleração), (c) como seria a forma do gráfico.

Situação 1 — Plano de celular

Uma operadora cobra uma taxa fixa mensal e mais um valor por gigabyte usado. Ao aumentar o consumo em 1 GB, o preço aumenta sempre o mesmo valor.

• Qual tipo de função modela o custo em função do consumo?
• Que “assinatura” você espera na tabela de valores?

Situação 2 — Altura de uma bola

A altura de uma bola lançada para cima aumenta, atinge um ponto máximo e depois diminui, formando uma curva suave.

• Qual tipo de função é mais compatível com a presença de máximo?
• Como identificar isso no gráfico sem calcular nada?

Situação 3 — Erro de medição

Um sensor mede uma temperatura e você registra o erro como a distância entre a leitura e o valor real. O erro é sempre não negativo e é o mesmo para leituras igualmente acima ou abaixo do real.

• Qual tipo de função descreve o erro em função da leitura?
• Qual é a “ponta” e o que ela significa?

Situação 4 — Crescimento por porcentagem

Um investimento rende 2% ao mês. O valor do saldo aumenta por um fator fixo a cada mês.

• Qual tipo de função é adequado?
• Por que a diferença mensal não é constante, mas a razão é?

Situação 5 — Escala de intensidade

Uma medida de intensidade é definida de modo que multiplicar a intensidade física por 10 soma uma quantidade fixa na escala usada. A variável de entrada só faz sentido para valores positivos.

• Qual tipo de função é compatível com “multiplicar vira somar” e domínio positivo?
• Como seria a forma do gráfico no início e depois?

Atividade 4 — Checagem de coerência: quando o modelo escolhido entra em conflito

Em cada item, identifique o problema e proponha um ajuste (restringir domínio, trocar o tipo de função, ou limitar o intervalo de validade).

• Item A: Um modelo linear para população prevê valores negativos alguns anos antes do ano inicial.
• Item B: Um modelo exponencial para custo de produção cresce sem limite, mas o mercado tem teto de demanda e o preço não pode subir indefinidamente.
• Item C: Um modelo logarítmico foi usado com x=0 em uma tabela, gerando valor indefinido.
• Item D: Um modelo quadrático foi ajustado para um fenômeno que deveria crescer sempre (sem máximo ou mínimo) no intervalo observado.
• Item E: Um modelo modular foi escolhido, mas os dados não mostram simetria nem ponta; parecem ter curvatura suave.

Mini-roteiro de justificativa (modelo + evidências)

Ao responder exercícios de escolha de modelo, use este formato curto:

• Modelo escolhido: (linear/quadrática/modular/exponencial/logarítmica).
• Evidência numérica: “As diferenças são constantes” ou “A razão é constante” ou “Há simetria em torno de x=h” ou “A segunda diferença é constante” ou “Dobrar x soma quase o mesmo em y”.
• Evidência gráfica: “Reta / parábola com extremo / V com ponta / curva acelerada / curva que achata e só existe para x>0”.
• Coerência contextual: domínio, sinal, presença de máximo/mínimo, e interpretação da taxa (por unidade vs percentual vs retorno decrescente).