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Funções Matemáticas na Prática: função afim e o gráfico da reta em situações de variação linear

Capítulo 6

Tempo estimado de leitura: 7 minutos

Função afim na prática: f(x)=ax+b

A função afim (também chamada de função do 1º grau) modela situações em que a variação de uma grandeza é linear em relação a outra. Sua forma é:

f(x)=ax+b

a é o coeficiente angular: indica a taxa de variação (quanto f(x) muda quando x aumenta 1 unidade).
b é o coeficiente linear: indica o valor inicial (o valor de f(x) quando x=0), isto é, o ponto onde a reta corta o eixo vertical.

Interpretação direta de a como taxa de variação

Em variação linear, a taxa é constante. Se x aumenta de 1 unidade, f(x) aumenta (ou diminui) de a unidades. Em termos de unidades, se x está em “unidades” e f(x) em “reais”, então a está em “reais por unidade”.

Exemplo: custo de corrida com taxa fixa e taxa por km:

C(k)=6+2,5k

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b=6 (R$): bandeirada (custo fixo).
a=2,5 (R$/km): custo por quilômetro.

Interpretação de b como valor inicial

O termo b é o valor de saída quando a entrada é zero. Em contextos:

Tarifa: valor mínimo cobrado mesmo com consumo zero (assinatura).
Conversão: valor de referência quando a medida base é zero (ex.: Celsius para Fahrenheit).
Custo fixo + custo variável: custo fixo é o “ponto de partida”.

Como construir o gráfico da reta (três métodos)

Método 1: por dois pontos

Uma reta fica determinada por dois pontos distintos. Para f(x)=ax+b, escolha dois valores de x, calcule f(x) e marque os pontos.

Passo a passo (exemplo f(x)=2x-1):

Escolha x=0: f(0)=2·0-1=-1 → ponto (0,-1).
Escolha x=2: f(2)=2·2-1=3 → ponto (2,3).
Marque os pontos no plano e trace a reta que passa por ambos.

Dica prática: escolher x=0 e outro valor simples costuma facilitar as contas.

Método 2: por interceptos (cortes nos eixos)

Os interceptos são os pontos onde a reta corta os eixos:

Intercepto em y: ocorre quando x=0. Então y=b, ponto (0,b).
Intercepto em x: ocorre quando y=0. Resolva 0=ax+b → x=-b/a (se a≠0), ponto (-b/a,0).

Passo a passo (exemplo f(x)=-3x+6):

Intercepto em y: (0,6).
Intercepto em x: 0=-3x+6 → 3x=6 → x=2 → ponto (2,0).
Marque (0,6) e (2,0) e trace a reta.

Observação: se b=0, a reta passa pela origem e os dois interceptos coincidem no ponto (0,0); nesse caso, use outro ponto adicional.

Método 3: por tabela (valores de x e f(x))

Quando você tem um conjunto de valores (por exemplo, dados de uma situação real), montar uma tabela ajuda a visualizar o padrão linear e a desenhar o gráfico.

Passo a passo (exemplo f(x)=0,5x+2):

x	f(x)
0	2
2	3
4	4
6	5

Marque os pontos (0,2), (2,3), (4,4), (6,5).
Trace a reta que melhor os conecta (em função afim perfeita, todos ficam alinhados).

Inclinação, paralelismo e leitura de taxa no gráfico

Inclinação (sinal e “subida por avanço”)

O coeficiente angular a pode ser lido como:

a = (variação em y) / (variação em x) = Δy/Δx

No gráfico, escolha dois pontos da reta, por exemplo (x1,y1) e (x2,y2), e calcule:

a = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Se a>0, a reta sobe quando x aumenta (inclinação positiva).
Se a<0, a reta desce quando x aumenta (inclinação negativa).
Quanto maior |a|, mais “inclinada” é a reta (varia mais rápido).

Paralelismo

Duas retas são paralelas quando têm o mesmo coeficiente angular (mesma taxa de variação) e coeficientes lineares diferentes:

f(x)=ax+b1 e g(x)=ax+b2 com b1≠b2

Interpretação em contexto: dois planos de cobrança com a mesma tarifa por unidade (mesmo a), mas com assinaturas diferentes (valores iniciais diferentes, b).

Modelos típicos de variação linear (com leitura de a e b)

Custo fixo + custo por unidade

Modelo:

C(q)=C_f + p·q

b=C_f é o custo fixo (aluguel, taxa de serviço, assinatura).
a=p é o custo por unidade (R$/unidade).

Exemplo: uma gráfica cobra R$ 30 de preparação + R$ 0,80 por panfleto:

C(n)=0,80n+30

Se n aumenta 10 panfletos, o custo aumenta 0,80·10=8 reais.

Conversão de unidades (modelo linear)

Algumas conversões são lineares. Um exemplo clássico é temperatura:

F(C)=1,8C+32

a=1,8: a cada 1°C, aumentam 1,8°F.
b=32: quando C=0, F=32.

Checagem rápida: se C=10, então F=1,8·10+32=50.

Tarifa com franquia ou taxa mínima

Modelo simples de tarifa:

T(x)=taxa_mínima + (tarifa_por_unidade)·x

Exemplo: estacionamento cobra R$ 12 fixos + R$ 4 por hora:

T(h)=4h+12

a=4 R$/h (taxa por hora).
b=12 R$ (valor inicial).

Como identificar a e b a partir de dados (sem “adivinhar”)

1) A partir de dois pontos (dados de tabela ou enunciado)

Se você conhece dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) da relação linear, então:

Calcule a=(y2-y1)/(x2-x1).
Depois encontre b substituindo um ponto em y=ax+b: b=y1-ax1.

Problema 1: uma empresa cobra por entrega. Para 2 entregas, o custo é R$ 19. Para 6 entregas, o custo é R$ 35. Encontre a e b em C(n)=an+b.

Passo a passo:

Pontos: (2,19) e (6,35).
a=(35-19)/(6-2)=16/4=4 (R$/entrega).
b=19-4·2=19-8=11 (R$).
Modelo: C(n)=4n+11.

Validação por substituição:

Para n=6: C(6)=4·6+11=24+11=35 (confere).

2) A partir de um ponto e da taxa (a)

Às vezes o enunciado fornece diretamente a taxa por unidade (isso já é a) e fornece um valor para algum x (um ponto). Então basta achar b.

Problema 2: um serviço cobra R$ 3 por GB (taxa) e, ao consumir 5 GB, a conta fica em R$ 22. Determine f(x)=ax+b.

a=3.
Ponto: (5,22).
b=22-3·5=22-15=7.
f(x)=3x+7.

Validação: f(5)=3·5+7=22.

3) A partir do gráfico: lendo b e calculando a por “subida/avanço”

Quando você tem um gráfico de reta:

Leia b no ponto em que a reta cruza o eixo vertical (x=0).
Calcule a escolhendo dois pontos “bem marcados” na malha e usando a=Δy/Δx.

Problema 3: no gráfico, a reta passa pelos pontos (0,2) e (4,10). Encontre a função.

b=2 (pois em x=0, y=2).
a=(10-2)/(4-0)=8/4=2.
f(x)=2x+2.

Validação: substituindo x=4, f(4)=2·4+2=10.

Leitura de taxa e comparação de planos (aplicação de paralelismo e intercepto)

Considere dois planos de impressão:

Plano A: C_A(n)=0,50n+20
Plano B: C_B(n)=0,50n+35

As retas são paralelas porque têm o mesmo a=0,50. Isso significa que o custo por unidade é igual; a diferença entre os planos é apenas o valor inicial (b). Para qualquer n, o Plano B custa R$ 15 a mais, pois 35-20=15.

Agora compare com um Plano C: C_C(n)=0,65n+10. Ele tem a maior (0,65), então cresce mais rápido: pode ser mais barato para poucos itens (b menor), mas fica mais caro conforme n aumenta.

Exercícios orientados (com foco em a, b e validação)

Problema 4 (identificar a e b a partir de três dados e checar alinhamento)

Uma tabela de uma tarifa apresenta: (1,18), (3,26), (5,34), onde o primeiro valor é x e o segundo é f(x). Determine a e b e verifique se os pontos são compatíveis com uma função afim.

Passo a passo:

Use dois pontos para achar a: entre (1,18) e (3,26): a=(26-18)/(3-1)=8/2=4.
Encontre b: b=18-4·1=14.
Função: f(x)=4x+14.
Validação no terceiro ponto: f(5)=4·5+14=34 (confere).