Funções Matemáticas na Prática: domínio, imagem e restrições do mundo real

Domínio e imagem: o que são e como aparecem na prática

Em uma função, domínio é o conjunto de valores de entrada (valores possíveis para a variável independente, como x) que fazem sentido e tornam a expressão definida. A imagem (ou conjunto imagem) é o conjunto de valores de saída que a função pode produzir (valores possíveis de y).

Uma forma útil de pensar: domínio responde “quais entradas posso usar?” e imagem responde “quais saídas consigo obter?”. Em problemas reais, o domínio costuma vir de restrições do mundo real (quantidades não negativas, limites de capacidade, tempo não negativo). Em funções algébricas, o domínio costuma vir de restrições matemáticas (não dividir por zero, não tirar raiz quadrada de número negativo nos reais).

Exemplo numérico (discreto): tabela de valores

Considere uma função definida por uma tabela (domínio discreto):

Nesse caso:

• Domínio = {1, 2, 4, 7} (as entradas listadas).
• Imagem = {3, 5, 9} (as saídas que aparecem; note que 9 repete, mas no conjunto aparece uma vez).

Checagem rápida: se alguém disser que a imagem é {1, 2, 4, 7}, está confundindo domínio com imagem.

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Determinando domínio por restrições algébricas

Regra 1: denominador diferente de zero

Se a função tem fração algébrica, o denominador não pode ser zero.

Exemplo 1: f(x) = (2x + 1)/(x - 3)

Passo a passo para o domínio:

• Identifique o denominador: x - 3.
• Imponha a restrição: x - 3 ≠ 0.
• Resolva: x ≠ 3.
• Escreva o domínio: D = ℝ \ {3} ou, em intervalos, (-∞, 3) ∪ (3, ∞).

Validação por substituição: teste um valor permitido, por exemplo x=4: f(4)=(8+1)/(1)=9 (definida). Teste o valor proibido x=3: denominador 0 (indefinida).

Erro comum: cancelar fatores e “esquecer” a restrição original. Ex.: g(x)=(x^2-9)/(x-3). Como x^2-9=(x-3)(x+3), para x≠3 temos g(x)=x+3, mas o domínio continua excluindo x=3 porque a expressão original não existe nesse ponto.

Regra 2: radicando não negativo (no conjunto dos reais)

Para raízes quadradas reais, o que está dentro da raiz (radicando) deve ser ≥ 0.

Exemplo 2: h(x) = √(5 - 2x)

Passo a passo para o domínio:

• Imponha: 5 - 2x ≥ 0.
• Resolva: -2x ≥ -5 ⇒ (ao dividir por número negativo, inverte o sinal) x ≤ 5/2.
• Domínio em intervalos: D = (-∞, 5/2].

Validação por substituição: escolha x=2 (permitido): radicando 5-4=1, então h(2)=1. Escolha x=3 (proibido): radicando 5-6=-1, raiz real não existe.

Erro comum: esquecer de inverter o sinal ao dividir por número negativo na inequação.

Combinação de restrições: fração com raiz

Exemplo 3: p(x) = √(x - 1)/(x + 2)

Passo a passo para o domínio:

• Restrição da raiz: x - 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1.
• Restrição do denominador: x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ -2.
• Interseção das duas: como x ≥ 1 já exclui -2, o domínio final é [1, ∞).

Validação: teste x=1: p(1)=0/3=0 (ok). Teste x=0: raiz de -1 (não existe nos reais).

Determinando domínio e imagem por restrições de contexto (mundo real)

Em aplicações, o domínio pode ser menor do que o domínio algébrico, porque o contexto impõe limites físicos, econômicos ou de unidades.

Exemplo contextual 1: custo com taxa fixa e quantidade

Uma gráfica cobra R$ 30 de taxa fixa mais R$ 2 por camiseta. Seja q o número de camisetas e C(q)=30+2q o custo.

• Restrição de contexto: não existe “-3 camisetas”. Logo q ≥ 0. Se a produção só aceita unidades inteiras: q ∈ {0,1,2,3,...}.
• Domínio: discreto, D = {0,1,2,...}.
• Imagem: {30, 32, 34, 36, ...} (valores possíveis do custo, em reais).

Checagem de erro (unidades): q é “camisetas” (inteiro), C é “reais”. Não faz sentido dizer que a imagem é “camisetas” ou que o domínio é “reais”.

Exemplo contextual 2: capacidade máxima (domínio limitado)

Um estacionamento cobra R$ 8 por hora, com no máximo 6 horas permitidas. Seja t o tempo (em horas) e P(t)=8t.

• Restrição de contexto: 0 ≤ t ≤ 6.
• Domínio (contínuo): [0,6].
• Imagem: como P(t)=8t cresce com t, o menor valor é P(0)=0 e o maior é P(6)=48. Logo a imagem é [0,48].

Validação por substituição: escolha t=2,5 (permitido): P(2,5)=20. Escolha t=7 (fora do domínio): o modelo até calcula 56, mas o contexto proíbe.

Exemplo contextual 3: fórmula válida, mas contexto restringe mais

A altura (em metros) de um objeto lançado para cima pode ser modelada por H(t) = -5t^2 + 20t + 1, com t em segundos.

• Domínio algébrico: qualquer real (polinômio está definido para todo t).
• Domínio contextual: tempo não negativo e, muitas vezes, apenas enquanto o objeto está no ar (altura ≥ 0).

Passo a passo para restringir pelo “tempo de voo” (altura não negativa):

• Imponha: -5t^2 + 20t + 1 ≥ 0.
• Resolva a equação associada -5t^2 + 20t + 1 = 0 para achar quando toca o chão.
• Multiplique por -1: 5t^2 - 20t - 1 = 0.
• Fórmula quadrática: t = (20 ± √(400 + 20))/10 = (20 ± √420)/10.
• A raiz negativa não faz sentido para tempo; a positiva é t = (20 + √420)/10 ≈ 4,049.
• Domínio contextual típico: [0, (20 + √420)/10].

Imagem no intervalo: o máximo ocorre no vértice (t = -b/(2a) = -20/(2·(-5)) = 2). Então H(2) = -5·4 + 40 + 1 = 21. A altura mínima no intervalo é 0 (no instante de queda) e a máxima é 21. Logo a imagem (durante o voo) é [0, 21].

Como descrever domínio e imagem: intervalos e conjuntos discretos

Notação por intervalos (contínuo)

• (a,b): valores estritamente entre a e b.
• [a,b]: inclui a e b.
• (-∞, c]: todos os reais menores ou iguais a c.
• (-∞, c) ∪ (c, ∞): todos os reais, exceto c.

Notação por conjuntos (discreto)

• {0,1,2,...}: inteiros não negativos.
• {2,4,6,...}: pares positivos.
• {1,2,4,7}: conjunto finito de entradas possíveis.

Checagem de erro: se a variável representa contagem (pessoas, itens), usar intervalo contínuo como [0,10] pode ser inadequado; prefira {0,1,2,...,10} quando a grandeza for inteira.

Tarefas práticas (com validação por substituição)

Tarefa 1: domínio por restrições algébricas

Determine o domínio de f(x) = (x + 1)/(x^2 - 9) e escreva em intervalos.

• Dica: fatorar x^2 - 9.
• Valide escolhendo um valor permitido e um proibido.

Tarefa 2: domínio por raiz e fração

Determine o domínio de g(x) = 1/√(x - 4).

• Dica: aqui há duas restrições ao mesmo tempo: radicando ≥ 0 e denominador ≠ 0.
• Escreva o domínio em intervalo e valide com substituições.

Tarefa 3: imagem a partir de um domínio dado

Considere h(x) = 2x - 3 com domínio D = [1,5]. Encontre a imagem.

• Dica: função linear crescente; avalie nos extremos.
• Valide testando um valor interno, por exemplo x=3, e verifique se h(3) cai no intervalo encontrado.

Tarefa 4: domínio e imagem em conjunto discreto

Uma máquina só aceita moedas de R$ 1, R$ 2 e R$ 5. Seja v o valor inserido e T(v)=3v o tempo (em minutos) liberado.

• Escreva o domínio como conjunto.
• Escreva a imagem como conjunto.
• Valide substituindo cada elemento do domínio.

Tarefa 5: restrição de contexto com capacidade

Um reservatório tem capacidade de 500 litros. O volume (em litros) após t horas é V(t)=80t+50, mas não pode ultrapassar a capacidade.

• Encontre o domínio contextual de t (assuma t ≥ 0).
• Encontre a imagem correspondente.
• Valide calculando V(0) e V no instante em que atinge 500.

Checagens comuns de erro (lista rápida)

• Confundir domínio com imagem: domínio são entradas; imagem são saídas. Uma checagem é olhar para a variável: se é x (entrada), você está falando do domínio; se é f(x) (saída), você está falando da imagem.
• Ignorar restrições do contexto: mesmo que a fórmula aceite qualquer real, tempo negativo, quantidade fracionária ou acima da capacidade pode ser inválido.
• Esquecer denominador ≠ 0: sempre isole onde o denominador zera e exclua esses pontos.
• Radicando negativo: em raízes quadradas reais, imponha ≥ 0 (e se a raiz estiver no denominador, imponha > 0).
• Unidades: domínio e imagem carregam unidades diferentes (ex.: horas vs reais). Se a resposta mistura unidades, há erro de interpretação.