Funções Matemáticas na Prática: crescimento, decrescimento, zeros e sinais

Variação: quando a função cresce ou decresce

Em muitas situações práticas, não basta saber “quanto vale” f(x) em um ponto: queremos entender como ela muda quando x aumenta. Essa ideia de variação aparece em perguntas como: “o lucro aumenta quando o preço sobe?”, “a temperatura está subindo ao longo do dia?”, “o custo cresce mais rápido depois de certo nível de produção?”.

Dizemos que uma função está em crescimento em um intervalo quando, ao aumentar x, os valores de f(x) aumentam. E está em decrescimento quando, ao aumentar x, os valores de f(x) diminuem.

• Crescente em um intervalo: se x1 < x2, então f(x1) < f(x2).
• Decrescente em um intervalo: se x1 < x2, então f(x1) > f(x2).

Como localizar crescimento/decrescimento por inspeção do gráfico

Quando você olha para um gráfico (com x aumentando para a direita), use esta regra visual:

• Se o traço “sobe” da esquerda para a direita, a função está crescendo naquele trecho.
• Se o traço “desce” da esquerda para a direita, a função está decrescendo naquele trecho.

Passo a passo prático (no gráfico):

1. Identifique pontos onde o comportamento muda (picos, vales, “quebras” em gráficos por partes).
2. Use esses pontos para separar o domínio em intervalos.
3. Em cada intervalo, observe se o gráfico sobe ou desce quando você caminha para a direita.
4. Escreva os intervalos usando notação de intervalos, por exemplo: (-2, 1), [0, 5], etc., conforme o contexto.

Exemplo (descrição de gráfico): suponha que o gráfico sobe até x=2 (atinge um máximo), depois desce de x=2 até x=6 (atinge um mínimo), e volta a subir após x=6. Então:

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• Crescente em (-∞, 2)
• Decrescente em (2, 6)
• Crescente em (6, +∞)

Como localizar crescimento/decrescimento por análise simples da expressão (quando cabível)

Nem sempre você terá o gráfico pronto. Em alguns tipos de função, dá para inferir crescimento/decrescimento com raciocínios diretos.

1) Função linear: f(x)=ax+b

O coeficiente a (inclinação) determina tudo:

• Se a>0, a função é crescente em todo o domínio.
• Se a<0, a função é decrescente em todo o domínio.
• Se a=0, é constante (nem cresce nem decresce).

Exemplo: f(x)=3x-12 tem a=3>0, então é crescente em todo o domínio.

2) Função quadrática: f(x)=ax^2+bx+c

Uma parábola tem um ponto de “virada” (vértice). O x do vértice é:

x_v = -b/(2a)

Depois, o sinal de a diz se ela abre para cima ou para baixo:

• Se a>0 (abre para cima): decresce até x_v e cresce após x_v.
• Se a<0 (abre para baixo): cresce até x_v e decresce após x_v.

Passo a passo prático (quadrática):

1. Identifique a e b.
2. Calcule x_v = -b/(2a).
3. Use o sinal de a para decidir a ordem (decresce→cresce ou cresce→decresce).
4. Escreva os intervalos separados por x_v.

Exemplo: f(x)=x^2-4x+1. Aqui a=1, b=-4. Então x_v = -(-4)/(2·1)=2. Como a>0, a função:

• Decresce em (-∞, 2)
• Cresce em (2, +∞)

3) Funções definidas por partes (muito comuns em tarifas e impostos)

Quando a expressão muda em certos pontos (por exemplo, “até 100 unidades cobra-se uma taxa, acima disso cobra-se outra”), analise cada trecho separadamente e depois junte a descrição por intervalos.

Exemplo:

f(x) = { 20 + 2x,   se 0 ≤ x ≤ 100  (tarifa base + consumo)  { 220 + 3(x-100), se x > 100 (consumo mais caro)

No primeiro trecho, a inclinação é 2 (crescente). No segundo, a inclinação é 3 (também crescente). Logo, a função é crescente em todo o domínio permitido, mas com “ritmo” maior após 100.

Zeros (raízes): onde f(x)=0

Os zeros (ou raízes) de uma função são os valores de x que tornam a saída igual a zero:

f(x)=0

No gráfico, isso corresponde aos pontos em que a curva cruza (ou toca) o eixo x. Por isso, os zeros também são chamados de interceptos em x.

Como encontrar zeros no gráfico

Passo a passo:

1. Localize onde o gráfico encontra o eixo horizontal (onde y=0).
2. Leia as coordenadas em x desses pontos.
3. Se o gráfico apenas “encosta” no eixo e volta, ainda assim é zero (raiz com multiplicidade par, em linguagem mais avançada).

Como encontrar zeros em expressões simples

1) Linear: ax+b=0

Passo a passo:

1. Iguale a zero: ax+b=0.
2. Isole x: x=-b/a (com a≠0).

Exemplo: f(x)=3x-12. Zero: 3x-12=0 → 3x=12 → x=4.

2) Quadrática: ax^2+bx+c=0

Você pode fatorar quando for simples ou usar a fórmula de Bhaskara.

Exemplo por fatoração: f(x)=x^2-5x+6

x^2-5x+6=(x-2)(x-3). Zeros: x=2 e x=3.

Sinais: onde f(x)>0 e onde f(x)<0

Estudar o sinal de uma função é descobrir em quais intervalos ela é positiva (acima do eixo x) e em quais é negativa (abaixo do eixo x). Isso é essencial para interpretar situações como:

• Lucro/prejuízo: lucro quando L(x)>0, prejuízo quando L(x)<0.
• Temperatura relativa a 0°C: acima de zero quando T(t)>0, abaixo de zero quando T(t)<0.
• Saldo: saldo positivo/negativo ao longo do tempo.

Sinal pelo gráfico

Passo a passo:

1. Marque os zeros (onde f(x)=0).
2. Separe a reta real em intervalos usando esses zeros como “divisores”.
3. Em cada intervalo, veja se o gráfico está acima (positivo) ou abaixo (negativo) do eixo x.

Sinal por tabela de sinais (quando você tem a expressão)

Uma técnica prática é decompor a função em fatores (quando possível) e analisar o sinal de cada fator.

Exemplo 1 (linear): f(x)=3x-12

Zero em x=4. Como a função é crescente, ela fica:

• Negativa para x<4 (pois antes de cruzar o eixo, está abaixo)
• Zero em x=4
• Positiva para x>4

Exemplo 2 (quadrática fatorada): f(x)=(x-2)(x-3)

Zeros: x=2 e x=3. Analise o sinal em cada intervalo:

• Se x<2, então (x-2)<0 e (x-3)<0 → produto positivo.
• Se 2<x<3, então (x-2)>0 e (x-3)<0 → produto negativo.
• Se x>3, então (x-2)>0 e (x-3)>0 → produto positivo.

Logo:

• f(x)>0 em (-∞,2)∪(3,+∞)
• f(x)<0 em (2,3)
• f(x)=0 em x=2 e x=3

Interpretação em contextos: lucro/prejuízo e temperatura

1) Lucro/prejuízo

Se L(q) representa o lucro em função da quantidade vendida q:

• L(q)>0: lucro
• L(q)=0: ponto de equilíbrio (nem lucro nem prejuízo)
• L(q)<0: prejuízo

Exemplo: L(q)=(q-100)(q-300) (modelo simplificado). Zeros em q=100 e q=300. Pelo estudo de sinais (produto de dois fatores):

• Lucro (L(q)>0) se q<100 ou q>300
• Prejuízo (L(q)<0) se 100<q<300

Se o contexto restringe q (por exemplo, q≥0 e capacidade máxima), aplique a restrição antes de concluir.

2) Temperatura acima/abaixo de zero

Se T(t) é a temperatura (em °C) ao longo do tempo t (em horas):

• T(t)>0: acima de 0°C
• T(t)=0: exatamente 0°C (ponto de congelamento)
• T(t)<0: abaixo de 0°C

Exemplo: T(t)=t-3 (modelo simples). Zero em t=3. Então:

• Abaixo de zero para t<3
• Acima de zero para t>3

Exercícios (crescimento/decrescimento, zeros e sinais)

A) Crescimento e decrescimento

1. Para f(x)= -2x+5, determine se a função é crescente, decrescente ou constante no domínio real.
2. Para g(x)= x^2-6x+8: (a) calcule x_v; (b) indique os intervalos de crescimento e decrescimento.
3. Uma tarifa é dada por C(x)=30+1,5x para 0≤x≤200 e C(x)=330+2,2(x-200) para x>200. Em quais trechos o custo cresce mais rapidamente?

B) Zeros (raízes)

1. Encontre o zero de f(x)=7x-21.
2. Encontre as raízes de h(x)=x^2-9 e interprete como interceptos em x.
3. Uma função tem gráfico que cruza o eixo x em x=-1 e x=4. O que isso significa em termos de f(x)=0?

C) Sinais e interpretação

1. Determine onde f(x)=(x-1)(x+2) é positiva, negativa e nula.
2. Se L(q)= -q^2+10q-16 representa lucro (em milhares) e q é a quantidade (em centenas), determine os intervalos de q em que há lucro, prejuízo e equilíbrio.
3. Considere T(t)= (t-2)(t-6) como um modelo de temperatura relativa a 0°C. Em quais intervalos do tempo a temperatura está abaixo de zero? Em quais está acima?