Funções Matemáticas na Prática: conceito, notação e leitura de f(x)

O que é uma função (definição operacional)

Uma função é uma regra de associação que, para cada valor de entrada, determina um único valor de saída. Em termos práticos: você fornece um valor (entrada) e a regra devolve exatamente um resultado (saída).

• Variável independente: representa a entrada (o que você escolhe ou controla). Geralmente é indicada por x.
• Variável dependente: representa a saída (o que é determinado pela regra). Pode ser indicada por y ou por f(x).

Exemplo de regra: “multiplicar por 3 e somar 2”. Se a entrada é x, a saída é 3x+2. Isso define uma função porque cada x gera um único resultado.

Correspondência única: o ponto-chave

Uma relação é função quando vale a ideia de correspondência única: um mesmo valor de entrada não pode apontar para duas saídas diferentes. Já é permitido que entradas diferentes produzam a mesma saída (isso não quebra a definição).

Exemplo permitido: f(1)=5 e f(2)=5. Aqui duas entradas têm a mesma saída, e ainda é função.

Exemplo proibido: f(1)=5 e f(1)=7. A mesma entrada gerou duas saídas; não é função.

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Notações mais usadas: f(x), y=f(x) e leitura

Notação f(x)

f(x) é lido como “f de x” e significa “o valor da função f quando a entrada é x”. A letra f nomeia a regra.

Exemplo: se f(x)=2x-1, então f(4)=2·4-1=7.

Notação y = f(x)

y=f(x) indica que y é a variável dependente e seu valor é determinado pela função aplicada à entrada x. É uma forma de explicitar “y depende de x”.

Leitura com foco em dependência

• f(x)=x^2: “o valor de f na entrada x é o quadrado de x”.
• y=5x: “y é cinco vezes x”.
• f(0)=3: “quando a entrada é 0, a saída é 3”.

Conjuntos de entrada e saída: domínio e contradomínio

Uma função pode ser descrita como uma regra que associa elementos de um conjunto de entrada a elementos de um conjunto de saída.

• Domínio: conjunto de valores permitidos para a entrada (os x possíveis).
• Contradomínio: conjunto onde as saídas “moram” (valores possíveis para f(x)).
• Imagem: conjunto das saídas que realmente aparecem quando aplicamos a função a todos os valores do domínio.

Exemplo: f(x)=x^2 com domínio R (reais) e contradomínio R. A imagem é [0, +∞), pois quadrados não são negativos.

Passo a passo: como identificar domínio em expressões comuns

Em muitos problemas, o domínio vem do contexto (quantidade não negativa, tempo não negativo etc.). Quando o domínio não é dado, você pode usar restrições matemáticas típicas:

1. Se há denominador, ele não pode ser zero. Ex.: g(x)=1/(x-2) exige x≠2.
2. Se há raiz de índice par, o radicando deve ser ≥ 0. Ex.: h(x)=√(x-5) exige x≥5.
3. Se há logaritmo, o argumento deve ser > 0. Ex.: p(x)=log(x+1) exige x>-1.

Função como tabela, pares ordenados e regra

Uma função pode aparecer de várias formas equivalentes:

• Regra algébrica: f(x)=2x+3.
• Tabela: lista valores de x e o correspondente f(x).
• Pares ordenados: conjunto de pontos (x, y).
• Diagrama de setas: setas do conjunto de entrada para o conjunto de saída.

Exemplo em tabela

Os pares ordenados correspondentes são (0,3), (1,5), (2,7).

Exercícios guiados: como decidir se uma relação é função

Critério prático (para pares ordenados e tabelas)

Uma relação é função se nenhum valor de x se repete com y diferente.

Exercício 1 (pares ordenados)

Considere a relação R = {(1,2), (2,4), (3,6), (2,4)}. Ela é função?

Guia passo a passo:

1. Liste os valores de entrada: 1, 2, 3, 2.
2. Verifique repetições: o 2 aparece duas vezes.
3. Compare as saídas quando x=2: em ambos os casos y=4.
4. Como não há x repetido com saída diferente, é função.

Exercício 2 (pares ordenados com conflito)

Considere S = {(0,1), (1,2), (1,3), (2,4)}. É função?

Guia passo a passo:

1. O valor x=1 aparece duas vezes.
2. As saídas são 2 e 3.
3. Mesma entrada com duas saídas diferentes viola a correspondência única.
4. Logo, não é função.

Critério prático (para descrições em linguagem natural)

Pergunte: “para cada entrada, a regra determina uma única saída?” Se a descrição permitir duas saídas para a mesma entrada, não é função.

Exercício 3 (descrição)

Relação: “a cada pessoa, associar seu número de telefone celular”. Isso é função?

Guia:

• Uma pessoa pode ter nenhum celular, um celular, ou mais de um número.
• Se o conjunto de entrada inclui pessoas com dois números, a mesma entrada teria duas saídas.
• Assim, do jeito que está, não garante correspondência única; não é função.
• Como ajustar para virar função? Ex.: “a cada pessoa, associar o primeiro número cadastrado” ou “associar o número do chip principal”.

Critério prático (para diagramas de setas)

Em um diagrama de setas, é função se cada elemento do conjunto de entrada tem exatamente uma seta saindo. Pode haver várias setas chegando no mesmo elemento de saída (isso é permitido).

Exercício 4 (diagrama descrito)

Conjunto A (entrada): {1,2,3}. Conjunto B (saída): {a,b}. Setas: 1→a, 2→a, 3→b. É função?

Guia:

• Cada elemento de A tem uma única seta saindo.
• Logo, é função.

Exercício 5 (diagrama com problema)

Conjunto A: {1,2,3}. Conjunto B: {a,b,c}. Setas: 1→a, 2→b e 2→c, 3→c. É função?

Guia:

• O elemento 2 tem duas setas saindo (duas saídas).
• Isso quebra a correspondência única.
• Logo, não é função.

Miniatividades: traduzindo linguagem cotidiana para linguagem algébrica

Estratégia de tradução (passo a passo)

1. Identifique o que varia (entrada, variável independente).
2. Identifique o que depende (saída, variável dependente).
3. Escolha símbolos: por exemplo, q para quantidade e C para custo.
4. Escreva a regra com operações e constantes.
5. Teste com um valor simples para ver se faz sentido.

Miniatividade 1: “o custo depende da quantidade”

Frase: “O custo total é 8 reais por unidade, mais uma taxa fixa de 15 reais.”

• Entrada: quantidade q.
• Saída: custo C.
• Regra: C(q)=8q+15.

Teste rápido: se q=0, então C(0)=15 (paga só a taxa). Se q=2, C(2)=31.

Miniatividade 2: tarifa por tempo

Frase: “Um estacionamento cobra 6 reais pela primeira hora e 4 reais por cada hora adicional.”

Uma forma de modelar (com t em horas inteiras, t≥1):

P(t)=6+4(t-1)

Cheque: P(1)=6, P(2)=10, P(3)=14.

Miniatividade 3: temperatura e conversão

Frase: “A temperatura em Fahrenheit depende da temperatura em Celsius.”

• Entrada: C (Celsius).
• Saída: F (Fahrenheit).
• Regra: F(C)=1.8C+32.

Teste: se C=0, então F=32.

Miniatividade 4: descrevendo a função em palavras

Dada a função f(x)=3x-5, escreva uma frase cotidiana que represente essa regra.

• Exemplo de resposta: “Pegue um número, multiplique por 3 e depois subtraia 5.”

Prática orientada: avaliando se uma regra define função

Exercício 6 (regra com ambiguidade)

Relação definida por: “associar a cada número x um número y tal que y^2=x”. Isso é função em R?

Guia:

• Para x=4, existem duas saídas possíveis: y=2 e y=-2.
• Mesma entrada com duas saídas: não é função (em R).
• Como ajustar para virar função? Restringir a saída: “y é a raiz quadrada não negativa de x”, isto é, y=√x com domínio x≥0.

Exercício 7 (checagem rápida)

Marque como “função” ou “não função” e justifique em uma linha usando o critério da correspondência única:

• a) {(1,1),(2,1),(3,1)}
• b) {(0,2),(0,3),(1,4)}
• c) Diagrama: A={a,b,c} com setas a→1, b→2, c→2
• d) Descrição: “a cada produto, associar seu preço atual na etiqueta”