Funções Matemáticas na Prática: projeto aplicado com dados — do enunciado ao gráfico final

Projeto aplicado com dados: visão geral do que você vai entregar

Neste capítulo, você vai conduzir um projeto completo de modelagem com funções a partir de um enunciado com dados, até chegar ao gráfico final e a respostas de decisão. A entrega final deve conter: (a) o contexto e as variáveis com unidades, (b) o domínio adotado e sua justificativa, (c) uma tabela organizada, (d) o modelo escolhido (tipo de função) com parâmetros ajustados a partir de pontos, (e) o gráfico com pontos-chave destacados e (f) respostas a perguntas práticas, com verificação numérica substituindo valores na expressão.

Contexto do projeto (exemplo guiado): precificação e lucro de um produto

Cenário: uma loja vende um produto e quer escolher o preço para maximizar o lucro diário. A demanda (quantidade vendida) diminui quando o preço aumenta. Você recebeu dados observados de preço e quantidade e também um custo fixo diário.

• Custo fixo diário: R$ 200 (aluguel, energia, etc.).
• Custo variável por unidade: R$ 8 por unidade (matéria-prima, embalagem).
• Dados observados (preço p em R$; quantidade q em unidades/dia): (20, 50), (30, 30), (40, 10).

Perguntas de decisão: (1) Qual preço maximiza o lucro no intervalo viável? (2) Em quais preços o lucro é zero (ponto de equilíbrio)? (3) Qual lucro esperado no preço escolhido?

Etapa 1 — Escolher o contexto prático

Escolha um contexto em que uma função faça sentido como modelo: custos e receitas, crescimento populacional, variação de temperatura, consumo de combustível, depreciação, etc. O contexto deve permitir: (i) definir uma variável independente (entrada) e uma dependente (saída), (ii) coletar ou receber pontos (dados) e (iii) tomar uma decisão com base no gráfico e nos valores.

No exemplo: o contexto é precificação, e a decisão é escolher um preço.

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Etapa 2 — Definir variáveis e unidades

Declare explicitamente o que cada símbolo representa e em quais unidades. Isso evita erros de interpretação e ajuda a conferir se as contas “fazem sentido”.

• p: preço de venda (R$ por unidade).
• q(p): quantidade vendida (unidades por dia) em função do preço.
• R(p): receita diária (R$ por dia).
• C(p): custo diário (R$ por dia).
• L(p): lucro diário (R$ por dia).

Relações econômicas básicas (aqui usadas como estrutura do modelo):

• R(p) = p · q(p)
• C(p) = 200 + 8 · q(p)
• L(p) = R(p) − C(p)

Etapa 3 — Estabelecer o domínio (com justificativa)

O domínio deve refletir o que é viável no mundo real e no enunciado. Aqui, preço não pode ser negativo e a demanda não pode ser negativa. Além disso, os dados observados sugerem trabalhar no intervalo de preços testados.

• Domínio inicial pelo contexto: p ≥ 0.
• Domínio prático pelos dados: 20 ≤ p ≤ 40 (faixa observada).

Você pode adotar [20, 40] como domínio do projeto para evitar extrapolações injustificadas. Se decidir extrapolar, justifique e discuta riscos.

Etapa 4 — Montar a tabela (dados e grandezas derivadas)

Organize os pontos fornecidos e, quando útil, calcule grandezas derivadas (receita, custo, lucro) para enxergar padrões e checar coerência.

Mesmo antes do modelo final, a tabela já sugere que o lucro cresce de 20 para 30 e cai de 30 para 40, indicando um máximo em algum ponto intermediário.

Etapa 5 — Escolher o tipo de função (e justificar o porquê)

Você deve explicar o raciocínio do modelo. Aqui, os dados de (p, q) parecem seguir uma tendência aproximadamente linear: quando p aumenta 10, q cai 20 (de 50 para 30) e depois cai mais 20 (de 30 para 10). Isso sugere modelar a demanda por uma função afim:

q(p) = a·p + b

Com demanda linear, a receita R(p) = p·q(p) se torna quadrática, e o lucro L(p) também se torna quadrático (pois subtrair custo linear em q mantém a estrutura). Isso é adequado quando existe um “ponto ótimo” de preço dentro do domínio.

Etapa 6 — Ajustar parâmetros com base em pontos fornecidos

6.1 Ajuste de q(p) usando dois pontos

Use dois pontos para determinar a reta (ou use três para checar consistência). Com (20, 50) e (40, 10):

• Inclinação: a = (10 − 50) / (40 − 20) = −40/20 = −2
• Encontre b por substituição em (20, 50): 50 = −2·20 + b → 50 = −40 + b → b = 90

Modelo de demanda:

q(p) = −2p + 90

Checagem com o terceiro ponto (30, 30): q(30) = −60 + 90 = 30. Bate exatamente, então o ajuste é consistente com os dados.

6.2 Monte R(p), C(p) e L(p)

Receita:

R(p) = p·q(p) = p(−2p + 90) = −2p^2 + 90p

Custo (em função de p via q(p)):

C(p) = 200 + 8·q(p) = 200 + 8(−2p + 90) = 200 − 16p + 720 = 920 − 16p

Lucro:

L(p) = R(p) − C(p) = (−2p^2 + 90p) − (920 − 16p) = −2p^2 + 106p − 920

Etapa 7 — Construir o gráfico (com pontos-chave)

Você vai construir (no mínimo) o gráfico de L(p) no domínio escolhido. Para decisões de preço, o gráfico do lucro é o mais direto. No desenho, marque:

• Pontos do conjunto de dados (para conferência): (20, 400), (30, 460), (40, 120).
• Zeros (pontos de equilíbrio): onde L(p)=0.
• Máximo (vértice da parábola): onde o lucro é maior no domínio.
• Intervalos de sinal: onde L(p)>0 (lucro) e L(p)<0 (prejuízo), respeitando o domínio.

7.1 Zeros de L(p)

Resolva −2p^2 + 106p − 920 = 0. Multiplicando por −1 e dividindo por 2 para simplificar:

2p^2 − 106p + 920 = 0 → p^2 − 53p + 460 = 0

Fatorando:

p^2 − 53p + 460 = (p − 20)(p − 23)

Logo, os zeros são:

• p = 20 e p = 23

Interpretação: no preço 20 e no preço 23 o lucro é zero (equilíbrio). Entre 20 e 23, o lucro é positivo ou negativo? Teste um valor, por exemplo p=21:

L(21) = −2·441 + 106·21 − 920 = −882 + 2226 − 920 = 424 (positivo)

Então, no intervalo (20, 23) há lucro positivo. Como a parábola é côncava para baixo (coeficiente de p^2 é negativo), o lucro será positivo entre as raízes e negativo fora delas (considerando a extensão algébrica), mas você deve respeitar o domínio adotado.

7.2 Máximo (vértice) de L(p)

Para L(p)=ap^2+bp+c com a=-2 e b=106, a abscissa do vértice é:

p_v = −b/(2a) = −106/(2·(−2)) = 106/4 = 26,5

Calcule o lucro nesse preço:

L(26,5) = −2(26,5)^2 + 106(26,5) − 920

(26,5)^2 = 702,25 → L(26,5) = −2·702,25 + 2809 − 920 = −1404,5 + 1889 = 484,5

Então o lucro máximo previsto pelo modelo no domínio é cerca de R$ 484,50/dia em p = R$ 26,50.

7.3 Taxa de variação (leitura de “inclinação” do lucro)

Mesmo sem formalizar cálculo diferencial, você pode interpretar a taxa de variação do lucro comparando valores próximos. Por exemplo:

• L(26) = −2·676 + 2756 − 920 = 484
• L(27) = −2·729 + 2862 − 920 = 484

O lucro fica praticamente igual em torno do máximo, o que é coerente com o topo arredondado da parábola. No gráfico, isso aparece como uma região próxima ao vértice com pouca variação vertical.

7.4 Checklist do gráfico

• Eixo horizontal: p (R$), eixo vertical: L(p) (R$/dia).
• Marque o domínio (por exemplo, de 20 a 40).
• Plote os pontos (20,400), (30,460), (40,120) para validar a curva.
• Marque as interseções com o eixo p: (20,0) e (23,0).
• Marque o vértice: (26,5; 484,5).

Etapa 8 — Responder perguntas de decisão (com base no modelo e no gráfico)

Pergunta 1: Qual preço maximiza o lucro no intervalo viável?

Pelo vértice, o preço que maximiza o lucro é p = 26,5 (dentro de [20,40]). Se o preço precisar ser inteiro, compare os vizinhos:

• L(26)=484
• L(27)=484

Assim, R$ 26 ou R$ 27 são escolhas equivalentes pelo modelo (empate numérico aqui).

Pergunta 2: Em quais preços o lucro é zero (ponto de equilíbrio)?

Os pontos de equilíbrio são p=20 e p=23. No gráfico, são as interseções com o eixo horizontal.

Pergunta 3: Qual lucro esperado no preço escolhido?

No preço ótimo contínuo p=26,5, o lucro previsto é L(26,5)=484,5, isto é, aproximadamente R$ 484,50 por dia.

Exigência de apresentação do raciocínio (o que precisa aparecer no seu texto)

• Por que esse modelo? Ex.: “os dados de demanda variam de forma linear com o preço; por isso usei uma função afim para q(p). Como receita é p·q(p), o lucro vira uma função quadrática, adequada para capturar um máximo”.
• Leitura de pontos-chave: zeros (equilíbrio), sinal (lucro/prejuízo), máximo (melhor decisão), e interpretação no domínio.
• Consistência com unidades: p em R$, L em R$/dia, q em unid/dia.
• Limitações: se o domínio foi restringido (por exemplo, preços observados), explicitar que fora dele a previsão pode não ser confiável.

Verificação final (substituição na expressão)

Faça pelo menos duas verificações numéricas substituindo valores do enunciado para mostrar que o modelo reproduz os dados.

• Verificar demanda: q(40)=−2·40+90=10 (confere com a tabela).
• Verificar lucro em um ponto observado: L(30)=−2·900+106·30−920=−1800+3180−920=460 (confere com a tabela).

Se alguma verificação não bater, você deve revisar o ajuste de parâmetros, o domínio ou a escolha do tipo de função.

Rubrica de correção (para autoavaliação e avaliação)

Modelo de estrutura para sua entrega (template)

1) Contexto e objetivo da decisão 2) Variáveis e unidades 3) Domínio adotado e justificativa 4) Tabela de dados (e cálculos derivados, se necessário) 5) Escolha do tipo de função (por quê) 6) Ajuste de parâmetros com pontos (contas) 7) Expressão final do modelo (ex.: q(p), L(p)) 8) Gráfico no domínio com pontos-chave (zeros, máximo/mínimo, sinais) 9) Respostas às perguntas de decisão 10) Verificação final por substituição em pelo menos dois pontos