Escolha da Técnica em Análise Combinatória: Árvore de Decisão de Contagem

O que significa “escolher a técnica” em contagem

Em problemas de probabilidade, a técnica de contagem depende de como você define o resultado elementar (o que conta como um “resultado diferente” no espaço amostral). A mesma situação descrita em linguagem natural pode gerar contagens diferentes se você mudar a modelagem: por exemplo, considerar “ordem” como relevante ou não, considerar “com reposição” ou “sem reposição”, ou ainda agrupar resultados que, para o enunciado, são indistinguíveis.

Uma árvore de decisão de contagem é um roteiro operacional: você faz perguntas objetivas sobre o experimento e, a cada resposta, elimina técnicas incompatíveis. O objetivo é chegar a uma contagem coerente com a definição do resultado elementar e com as restrições do enunciado.

Roteiro operacional (árvore de decisão) para selecionar a técnica

Passo 0 — Defina o resultado elementar (antes de contar)

Escreva explicitamente o que será considerado um resultado:

• Sequência (ex.: senha, ordem de chegada, lista ordenada)?
• Conjunto (ex.: comissão, grupo, seleção sem ordem)?
• Distribuição (ex.: quantos itens em cada caixa, quantas pessoas em cada time)?
• Arranjo em posições (ex.: cadeiras numeradas, vagas distintas, horários)?

Se você não fizer isso, é comum “misturar” técnicas (por exemplo, usar combinação quando o resultado é uma sequência) e obter respostas erradas.

Fluxograma textual (passo a passo)

1) Há estágios/posições (várias escolhas sucessivas)? (ex.: dígito 1, dígito 2, ..., ou vaga 1, vaga 2, ...)

• Se SIM → pense primeiro em decompor em etapas (produto) e só depois ajuste por restrições/indistinguibilidade.
• Se NÃO → pode ser seleção de grupo (sem posições) ou distribuição em categorias.

2) A ordem importa para o resultado elementar? (trocar dois escolhidos muda o resultado?)

• Se SIM → modelo é “sequência/arranjo em posições”.
• Se NÃO → modelo é “seleção sem ordem” (grupo) ou “contagem por frequências” (multiconjunto/distribuição).

3) Há repetição permitida (com reposição / pode repetir símbolo/pessoa/objeto)?

• Se SIM → aparecem potências (mesmo número de opções em cada posição) ou contagens por frequências (quando ordem não importa).
• Se NÃO → aparecem produtos decrescentes (opções diminuem a cada escolha) ou seleções sem repetição.

4) Todos os elementos são usados? (é uma ordenação completa do conjunto?)

• Se SIM → é uma ordenação completa (com ou sem repetição/indistinguibilidade).
• Se NÃO → é escolha de tamanho menor (sequência parcial ou grupo).

5) Existem restrições? (proibições, obrigatoriedades, adjacência, limites, categorias, etc.)

• Se NÃO → aplique diretamente a técnica indicada pelos passos 1–4.
• Se SIM → escolha uma estratégia de restrição:

• Casos (soma): quando a restrição cria cenários mutuamente exclusivos.
• Complemento: quando é mais fácil contar “tudo” e subtrair os proibidos.
• Inclusão-exclusão: quando há sobreposição entre violações.
• Blocos/agrupamento: quando há adjacência (tratar itens como um bloco).
• Contagem por posições: quando há “lugares” específicos (paridade, início/fim, cadeiras numeradas).

Sinais de alerta (para checar se a técnica faz sentido)

1) “Apareceu divisão por k!”

Alerta de que você contou sequências como se a ordem importasse, mas o resultado elementar não distingue permutações internas. Exemplos típicos:

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• Você escolheu um grupo, mas contou como lista ordenada.
• Você formou pares/trios sem ordem interna e depois precisou “corrigir”.

Cheque: o enunciado pede “conjunto” (comissão) ou “sequência” (fila/agenda)? Se for conjunto, a divisão por k! pode ser a correção correta; se for sequência, essa divisão é um erro.

2) “O resultado deveria ser uma potência”

Quando há posições independentes e repetição permitida com o mesmo número de opções em cada posição, a contagem tende a ser m^n. Se você está obtendo algo como produto decrescente (m(m-1)(m-2)...), provavelmente está tratando como “sem reposição”.

3) “A soma de casos é inevitável”

Se a restrição muda o número de opções dependendo do que aconteceu antes (por exemplo, “exatamente 2 vogais”, “pelo menos um 0”, “sem adjacência”), frequentemente você precisa separar em casos ou usar complemento. Tentar forçar um único produto costuma falhar.

4) “Você está alternando entre ‘objetos’ e ‘posições’ sem perceber”

Exemplo: “distribuir 6 bolas em 3 caixas” pode significar caixas distintas (A,B,C) ou indistintas; bolas distintas ou indistintas; com limite ou sem limite. Cada escolha muda completamente a técnica. Sempre declare: distintos/indistintos e capacidade.

5) “O enunciado fala em ‘formar’ vs ‘ordenar’ vs ‘atribuir’”

• Formar um grupo → resultado elementar tende a ser conjunto (ordem não importa).
• Ordenar/arrumar em fila/cadeiras numeradas → resultado elementar tende a ser sequência (ordem importa).
• Atribuir pessoas a cargos diferentes → cargos são posições distintas (ordem importa via cargos).

Exemplos completos: modelagens diferentes, respostas diferentes

Exemplo 1 — “Escolher 3 pessoas” vs “definir presidente, vice e secretário”

Situação: há 10 pessoas disponíveis.

Modelagem A (grupo): “Escolher 3 pessoas para compor uma comissão.”

• Resultado elementar correto: um conjunto de 3 pessoas (ordem não importa).
• Técnica: seleção sem ordem e sem repetição.
• Contagem: C(10,3) = 120.

Modelagem B (cargos): “Escolher presidente, vice e secretário.”

• Resultado elementar correto: um trio com papéis (presidente/vice/secretário são posições distintas).
• Técnica: escolhas em estágios sem repetição (produto decrescente) ou seleção ordenada.
• Contagem: 10·9·8 = 720.

Por que as respostas diferem? Porque em B trocar duas pessoas de cargo muda o resultado elementar; em A não muda.

Exemplo 2 — Senha de 4 dígitos: com repetição vs sem repetição

Situação: dígitos de 0 a 9.

Modelagem A (repetição permitida): “Senha de 4 dígitos, podendo repetir.”

• Resultado elementar: sequência de 4 posições.
• Contagem: 10^4 = 10000.

Modelagem B (sem repetição): “Senha de 4 dígitos, sem repetir dígitos.”

• Resultado elementar: sequência de 4 posições.
• Contagem: 10·9·8·7 = 5040.

Erro comum: usar potência em B por esquecer a restrição “sem repetição”.

Exemplo 3 — “Escolher 2 cartas” vs “tirar 2 cartas em ordem”

Situação: baralho padrão com 52 cartas, sem reposição.

Modelagem A (mão de 2 cartas): “Selecionar 2 cartas.”

• Resultado elementar: conjunto de 2 cartas (ordem não importa).
• Contagem: C(52,2) = 1326.

Modelagem B (sequência de 2 retiradas): “Retirar uma carta e depois outra.”

• Resultado elementar: par ordenado (primeira, segunda).
• Contagem: 52·51 = 2652.

Relação entre as contagens: 52·51 = 2!·C(52,2). O fator 2! aparece porque cada par de cartas (sem ordem) corresponde a duas sequências possíveis.

Exemplo 4 — Quando “dividir por k!” é correto (e quando é armadilha)

Situação: 8 pessoas vão ocupar 3 cadeiras numeradas (1,2,3).

Pergunta 1: “Quantas formas de ocupar as cadeiras?”

• Resultado elementar: quem senta em cada cadeira (ordem importa via posição).
• Contagem: 8·7·6 = 336.

Pergunta 2: “Quantas formas de escolher 3 pessoas para sentar (sem importar em qual cadeira)?”

• Resultado elementar: conjunto de 3 pessoas.
• Contagem: C(8,3) = 56.

Conexão: 8·7·6 = 3!·C(8,3). Aqui a divisão por 3! é correta apenas se a pergunta 2 for realmente “sem importar a cadeira”. Se o enunciado fala em cadeiras numeradas, dividir por 3! destrói informação do resultado elementar.

Exemplo 5 — Restrição que força soma de casos: “exatamente 2 vogais”

Situação: formar uma sequência de 5 caracteres usando 26 letras, com repetição permitida. Exigir exatamente 2 vogais (A,E,I,O,U) e 3 consoantes.

Resultado elementar: sequência de 5 posições.

Por que soma de casos? Porque as posições das vogais podem variar. Primeiro escolhemos quais posições são vogais; depois preenchemos.

• Escolher as 2 posições de vogais: C(5,2).
• Preencher vogais (com repetição): 5^2.
• Preencher consoantes (com repetição): 21^3.

Contagem: C(5,2)·5^2·21^3.

Erro comum: tentar fazer um único produto “posição a posição” sem tratar a escolha das posições das vogais, o que leva a contagens inconsistentes.

Checklist rápido antes de calcular

Exercícios de diagnóstico (justifique a técnica antes de calcular)

Instrução: em cada item, escreva (i) qual é o resultado elementar, (ii) quais respostas você dá aos passos 1–5 do fluxograma, (iii) qual técnica/estratégia usará (produto, potência, casos, complemento, etc.). Só depois calcule.

1. Uma senha de 6 caracteres é formada com letras maiúsculas (26) e dígitos (10). A senha deve começar com letra e pode repetir caracteres. Quantas senhas existem?

2. De 12 alunos, escolher 4 para formar um grupo de estudo. Quantos grupos diferentes podem ser formados?

3. De 12 alunos, escolher 4 para ocupar as funções: líder, relator, apresentador e revisor. Quantas escolhas são possíveis?

4. Em um baralho de 52 cartas, retirar 3 cartas sem reposição. (a) Quantos resultados se a ordem das retiradas importa? (b) Quantos resultados se só importa o conjunto de 3 cartas?

5. Placas de carro têm o formato LLL-DDDD (3 letras e 4 dígitos). (a) Com repetição permitida. (b) Sem repetição de letras e sem repetição de dígitos. Identifique onde muda a técnica.

6. Quantas sequências de 8 bits (0/1) têm exatamente 3 uns?

7. Quantas sequências de 5 letras (A–Z) têm pelo menos uma vogal? Indique se você usará casos diretos ou complemento e por quê.

8. Em uma fila com 7 pessoas distintas, duas pessoas específicas não podem ficar lado a lado. Descreva a estratégia (casos, complemento ou bloco) antes de contar.

9. Distribuir 6 bolas idênticas em 3 caixas distintas, sem limite de capacidade. Explique por que este problema não é “seleção simples” e qual tipo de modelagem (distribuição por contagens) é adequada.

10. Um time de 5 pessoas será escolhido entre 8 homens e 6 mulheres, com a restrição de ter exatamente 2 mulheres. Justifique por que a soma de casos não é necessária aqui (ou se você acha que é, explique).