EAM: Matemática essencial para a prova

Operações e propriedades

Prioridade de operações (ordem)

Em contas com vários sinais, siga a ordem: 1) parênteses/colchetes/chaves, 2) potências e raízes, 3) multiplicação e divisão (da esquerda para a direita), 4) adição e subtração (da esquerda para a direita).

Exemplo (passo a passo): Calcule 18 − 6 ÷ 3 + 2 × (5 − 1).

1) Parênteses: (5 − 1) = 4. 2) Divisão e multiplicação: 6 ÷ 3 = 2 e 2 × 4 = 8. 3) Soma/subtração: 18 − 2 + 8 = 16 + 8 = 24.

Propriedades úteis

• Comutativa: a + b = b + a; a · b = b · a.
• Associativa: (a + b) + c = a + (b + c); (a · b) · c = a · (b · c).
• Distributiva: a(b + c) = ab + ac.
• Elemento neutro: a + 0 = a; a · 1 = a.
• Inverso: a + (−a) = 0; a · (1/a) = 1 (a ≠ 0).

Técnica de conferência: ao usar distributiva, faça uma checagem numérica rápida. Ex.: 3(10 + 2) = 36 e 3·10 + 3·2 = 30 + 6 = 36.

Bateria de questões (operações)

• Nível 1: Calcule: 7 + 12 − 5.
• Nível 2: Calcule: 40 ÷ 5 × 2.
• Nível 3: Simplifique: 6(2x − 3) − 2(3x + 1).

Frações

Conceito e equivalência

Uma fração a/b representa a divisão de a por b (b ≠ 0). Frações equivalentes têm o mesmo valor: a/b = (a·k)/(b·k), com k ≠ 0.

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Exemplo: 3/4 = 6/8 (multiplicou numerador e denominador por 2).

Simplificação

Simplificar é dividir numerador e denominador pelo mesmo número (MDC).

Exemplo (passo a passo): Simplifique 18/24.

MDC(18,24)=6. Então 18/24 = (18÷6)/(24÷6) = 3/4.

Operações com frações

Adição/subtração: use denominador comum. Multiplicação: multiplica numeradores e denominadores. Divisão: multiplica pela inversa.

Exemplo (passo a passo): 2/3 + 5/6.

MMC(3,6)=6. 2/3 = 4/6. Então 4/6 + 5/6 = 9/6 = 3/2.

Técnica de conferência: estime o resultado. 2/3 ≈ 0,67 e 5/6 ≈ 0,83; soma ≈ 1,50. 3/2 = 1,5 (coerente).

Bateria de questões (frações)

• Nível 1: Simplifique 21/35.
• Nível 2: Calcule 3/5 − 1/10.
• Nível 3: Calcule (4/9) ÷ (2/3).

Decimais

Relação fração-decimal

Decimais finitos podem ser escritos como fração com denominador potência de 10.

Exemplo (passo a passo): 0,125 = 125/1000. Simplificando por 125: 125/1000 = 1/8.

Operações e arredondamento

Em soma/subtração, alinhe as vírgulas. Em multiplicação, multiplique como inteiros e conte casas decimais. Em divisão, pode-se “andar a vírgula” no divisor e no dividendo pelo mesmo fator de 10.

Exemplo (passo a passo): 3,6 ÷ 0,12.

Multiplique ambos por 100: 3,6 ÷ 0,12 = 360 ÷ 12 = 30.

Técnica de conferência: 0,12 é pequeno; dividir 3,6 por 0,12 deve dar um número bem maior que 3,6. Resultado 30 faz sentido.

Bateria de questões (decimais)

• Nível 1: Converta 0,75 em fração simplificada.
• Nível 2: Calcule 12,5 × 0,08.
• Nível 3: Calcule 0,045 ÷ 0,003.

Porcentagem

Conceito

Porcentagem é uma razão com denominador 100. Assim, p% = p/100.

Atalhos: 10% = dividir por 10; 1% = dividir por 100; 5% = metade de 10%; 25% = 1/4; 50% = 1/2.

Cálculo de porcentagem (passo a passo)

Exemplo: 18% de 250.

18% = 18/100. Então (18/100)·250 = 18·2,5 = 45.

Aumento e desconto

Um aumento de p% equivale a multiplicar por (1 + p/100). Um desconto de p% equivale a multiplicar por (1 − p/100).

Exemplo (passo a passo): Um item de R$ 80 com desconto de 15%.

Multiplique por 0,85: 80·0,85 = 68.

Técnica de conferência: 10% de 80 é 8 e 5% é 4; 15% é 12. 80 − 12 = 68 (confere).

Bateria de questões (porcentagem)

• Nível 1: Calcule 30% de 90.
• Nível 2: Um valor de 200 sofre aumento de 12%. Qual o novo valor?
• Nível 3: Um preço foi reduzido em 20% e depois aumentado em 20%. Voltou ao original? Justifique com cálculo.

Razão e proporção

Conceitos

Razão é uma comparação por divisão: a:b = a/b. Proporção é a igualdade entre duas razões: a/b = c/d.

Propriedade fundamental: se a/b = c/d, então a·d = b·c (produto dos meios = produto dos extremos).

Exemplo (passo a passo)

Se 3/5 = x/20, encontre x.

3·20 = 5·x → 60 = 5x → x = 12.

Técnica de conferência: 12/20 simplifica para 3/5 (dividindo por 4), então está correto.

Bateria de questões (razão e proporção)

• Nível 1: Escreva a razão 12 para 16 na forma de fração simplificada.
• Nível 2: Resolva: 7/9 = x/27.
• Nível 3: Uma mistura tem razão álcool:água = 2:5. Em 21 litros de mistura, quantos litros de álcool há?

Regra de três (simples)

Quando usar

Use quando duas grandezas são diretamente proporcionais (aumenta-aumenta) ou inversamente proporcionais (aumenta-diminui).

Direta (passo a passo)

Exemplo: 5 kg custam R$ 40. Quanto custam 8 kg?

Monte a proporção: 5 → 40; 8 → x. Direta: 5/8 = 40/x ou 5:8 = 40:x. Fazendo produto cruzado: 5x = 8·40 = 320 → x = 64.

Conferência: preço por kg = 40/5 = 8; 8 kg → 8·8 = 64.

Inversa (passo a passo)

Exemplo: 6 marinheiros fazem um serviço em 10 dias. Em quantos dias 12 marinheiros fazem o mesmo serviço (mesma produtividade)?

Mais marinheiros, menos dias: inversa. Produto constante: 6·10 = 12·x → 60 = 12x → x = 5.

Conferência: dobrou a equipe, deve cair pela metade o tempo: 10 → 5.

Bateria de questões (regra de três)

• Nível 1: 3 cadernos custam R$ 27. Quanto custam 5 cadernos?
• Nível 2: Um carro percorre 180 km com 12 L. Quantos litros para 300 km (mesmo consumo)?
• Nível 3: 8 máquinas produzem 240 peças em 6 horas. Quantas peças 10 máquinas produzem em 9 horas (mesmo ritmo por máquina)?

Juros simples

Conceito e fórmula

Em juros simples, os juros crescem linearmente no tempo. Fórmulas: J = C·i·t; M = C + J = C(1 + i·t), onde C é capital, i é taxa (em decimal) e t é tempo (compatível com a taxa).

Exemplo (passo a passo)

Um capital de R$ 1.200 é aplicado a 2% ao mês por 5 meses. Calcule juros e montante.

i = 0,02; t = 5. J = 1200·0,02·5 = 1200·0,10 = 120. M = 1200 + 120 = 1320.

Conferência: 2% de 1200 é 24 por mês; em 5 meses, 24·5 = 120.

Bateria de questões (juros simples)

• Nível 1: Calcule os juros de R$ 500 a 3% ao mês por 4 meses.
• Nível 2: Qual o montante de R$ 2.000 a 1,5% ao mês por 8 meses?
• Nível 3: Um montante de R$ 1.650 foi obtido a juros simples de 10% ao ano em 3 anos. Qual era o capital inicial?

Potência e raiz

Potências: regras básicas

• a^m · a^n = a^(m+n)
• a^m ÷ a^n = a^(m−n) (a ≠ 0)
• (a^m)^n = a^(m·n)
• (ab)^n = a^n b^n
• a^0 = 1 (a ≠ 0)

Exemplo (passo a passo): Simplifique 2^3 · 2^5 ÷ 2^4.

Some e subtraia expoentes: 2^(3+5−4) = 2^4 = 16.

Raiz quadrada e cubo

Raiz é a operação inversa da potência. Se x^2 = 49, então x = ±7. Em problemas de medida (comprimento, área), normalmente usa-se a raiz positiva.

Exemplo (passo a passo): √(144) = 12, pois 12^2 = 144.

Conferência: eleve o resultado ao quadrado para verificar.

Bateria de questões (potência e raiz)

• Nível 1: Calcule 5^2.
• Nível 2: Simplifique 3^4 ÷ 3^2.
• Nível 3: Calcule √(0,81).

Expressões algébricas básicas

Termos, coeficientes e redução

Termos semelhantes têm a mesma parte literal (mesmas letras e expoentes) e podem ser somados/subtraídos.

Exemplo (passo a passo): Simplifique 3x + 5 − 2x + 7.

(3x − 2x) + (5 + 7) = x + 12.

Produtos notáveis (essenciais)

• (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
• (a − b)^2 = a^2 − 2ab + b^2
• (a + b)(a − b) = a^2 − b^2

Exemplo (passo a passo): (x + 4)^2 = x^2 + 2·x·4 + 16 = x^2 + 8x + 16.

Conferência: teste com x=1: (1+4)^2=25 e 1^2+8·1+16=25.

Bateria de questões (expressões)

• Nível 1: Simplifique 7a − 3a + 2.
• Nível 2: Desenvolva (2x − 3)^2.
• Nível 3: Fatora: x^2 − 25.

Equações do 1º grau

Conceito

Equação do 1º grau tem a incógnita com expoente 1. Objetivo: isolar a incógnita usando operações inversas em ambos os lados.

Exemplo (passo a passo)

Resolva 3x − 7 = 2x + 5.

1) Leve termos com x para um lado: 3x − 2x − 7 = 5. 2) Simplifique: x − 7 = 5. 3) Some 7: x = 12.

Conferência: LHS: 3·12 − 7 = 36 − 7 = 29. RHS: 2·12 + 5 = 24 + 5 = 29.

Bateria de questões (1º grau)

• Nível 1: Resolva x + 9 = 15.
• Nível 2: Resolva 5x = 3x + 18.
• Nível 3: Resolva (x/3) − 2 = 4.

Equações do 2º grau

Forma padrão e métodos

Uma equação do 2º grau tem forma ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Métodos comuns: fatoração (quando possível) e fórmula de Bhaskara.

Fatoração (passo a passo)

Exemplo: x^2 − 5x + 6 = 0.

Procure dois números com produto 6 e soma −5: −2 e −3. Então (x − 2)(x − 3)=0 → x=2 ou x=3.

Conferência: substitua x=2: 4−10+6=0; x=3: 9−15+6=0.

Bhaskara (passo a passo)

Exemplo: 2x^2 + 3x − 2 = 0.

Δ = b^2 − 4ac = 3^2 − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25. x = (−b ± √Δ)/(2a) = (−3 ± 5)/4.

x1 = (−3 + 5)/4 = 2/4 = 1/2. x2 = (−3 − 5)/4 = −8/4 = −2.

Bateria de questões (2º grau)

• Nível 1: Resolva x^2 − 9 = 0.
• Nível 2: Resolva x^2 + 4x + 4 = 0.
• Nível 3: Resolva 3x^2 − x − 2 = 0.

Sistemas simples

Conceito

Sistema linear (geralmente 2×2) é um conjunto de equações com as mesmas incógnitas. Métodos: substituição e eliminação.

Substituição (passo a passo)

Exemplo: { x + y = 10; x − y = 2 }

Some as equações (eliminação direta): (x+y)+(x−y)=10+2 → 2x=12 → x=6. Substitua em x+y=10: 6+y=10 → y=4.

Conferência: 6+4=10 e 6−4=2.

Bateria de questões (sistemas)

• Nível 1: Resolva { x + y = 7; x = 2 }.
• Nível 2: Resolva { 2x + y = 11; x − y = 1 }.
• Nível 3: Resolva { 3x − 2y = 4; 2x + y = 11 }.

Funções e leitura de gráficos

Ideia de função

Função relaciona cada valor de x a um único valor de y. Em provas, é comum interpretar tabelas, gráficos e expressões como y = ax + b.

Função afim (linear) e coeficientes

Em y = ax + b: a é a inclinação (taxa de variação) e b é o valor de y quando x=0 (intercepto).

Exemplo (passo a passo): Para y = 2x − 3, calcule y quando x=4.

y = 2·4 − 3 = 8 − 3 = 5.

Leitura de gráfico (técnicas)

• Identifique eixos e unidades.
• Leia pontos marcantes: interceptos, máximos/mínimos (se houver), variação.
• Para taxa média: Δy/Δx entre dois pontos.

Exemplo: Se um gráfico de distância (km) por tempo (h) passa pelos pontos (1, 60) e (3, 180), a velocidade média é (180−60)/(3−1)=120/2=60 km/h.

Bateria de questões (funções e gráficos)

• Nível 1: Em y = −x + 6, encontre y para x=2.
• Nível 2: Uma função tem a=3 e b=−1. Escreva a expressão.
• Nível 3: Uma reta passa por (0,2) e (4,10). Encontre a equação y=ax+b.

Geometria plana: perímetro e área

Perímetro (contorno)

Perímetro é a soma dos lados. Em figuras compostas, some apenas as bordas externas.

Exemplo (passo a passo): Retângulo 8 cm por 3 cm: P = 2(8+3)=22 cm.

Áreas mais cobradas

• Retângulo: A = b·h
• Quadrado: A = l^2
• Triângulo: A = (b·h)/2
• Paralelogramo: A = b·h
• Trapézio: A = ( (B + b)·h )/2
• Círculo: A = πr^2; comprimento C = 2πr

Exemplo (passo a passo): Área de um triângulo com base 10 e altura 6.

A = (10·6)/2 = 30.

Conferência: se fosse um retângulo 10×6 teria área 60; triângulo é metade: 30.

Bateria de questões (geometria plana)

• Nível 1: Calcule o perímetro de um quadrado de lado 7 cm.
• Nível 2: Calcule a área de um trapézio com bases 12 e 8 e altura 5.
• Nível 3: Um círculo tem raio 3. Calcule a área em função de π e aproxime usando π≈3,14.

Noções de geometria espacial: volume

Conceito

Volume mede o espaço ocupado por um sólido. Atenção às unidades: cm³, m³, litros (1 L = 1 dm³).

Volumes mais comuns

• Paralelepípedo (caixa): V = a·b·c
• Cubo: V = l^3
• Cilindro: V = πr^2h

Exemplo (passo a passo): Volume de uma caixa 2 m × 0,5 m × 0,4 m.

V = 2·0,5·0,4 = 1·0,4 = 0,4 m³.

Conferência: 0,5·0,4=0,2; 2·0,2=0,4 (coerente).

Bateria de questões (volume)

• Nível 1: Calcule o volume de um cubo de aresta 3 cm.
• Nível 2: Um cilindro tem raio 2 e altura 10. Calcule o volume em função de π.
• Nível 3: Um reservatório em forma de paralelepípedo mede 1,2 m × 0,8 m × 0,5 m. Qual o volume em litros?

Questões mistas (simulado curto)

Resolva sem calculadora quando possível e use conferência por estimativa ou substituição.

• 1 (Nível 1): Calcule: (3/4) + (1/8).
• 2 (Nível 1): 15% de 160.
• 3 (Nível 2): Resolva: 2(x − 3) = 10.
• 4 (Nível 2): Uma reta tem equação y = 4x + 1. Encontre x quando y=21.
• 5 (Nível 3): Um produto custa R$ 250. Primeiro recebe desconto de 12% e depois mais 8% sobre o preço já descontado. Qual o preço final?
• 6 (Nível 3): Resolva o sistema: { x + 2y = 14; 3x − y = 5 }.
• 7 (Nível 3): Um terreno retangular tem área 96 m² e um lado mede 12 m. Determine o perímetro.

Gabarito comentado (passo a passo)

Operações

Questão Nível 1: 7 + 12 − 5 = 19 − 5 = 14.

Questão Nível 2: 40 ÷ 5 × 2 = 8 × 2 = 16 (divisão e multiplicação da esquerda para a direita).

Questão Nível 3: 6(2x − 3) − 2(3x + 1) = (12x − 18) − (6x + 2) = 12x − 18 − 6x − 2 = 6x − 20.

Frações

Nível 1: 21/35. MDC=7 → 3/5.

Nível 2: 3/5 − 1/10 = 6/10 − 1/10 = 5/10 = 1/2.

Nível 3: (4/9) ÷ (2/3) = (4/9)·(3/2) = 12/18 = 2/3.

Decimais

Nível 1: 0,75 = 75/100 = 3/4.

Nível 2: 12,5 × 0,08 = 12,5 × 8/100 = 100/100 = 1.

Nível 3: 0,045 ÷ 0,003 = 45/3 = 15 (multiplicando ambos por 1000).

Porcentagem

Nível 1: 30% de 90 = 0,30·90 = 27.

Nível 2: 200 com aumento de 12%: 200·1,12 = 224.

Nível 3: Não volta. Ex.: 100 → desconto 20%: 100·0,8=80; aumento 20%: 80·1,2=96 (fica menor).

Razão e proporção

Nível 1: 12/16 = 3/4.

Nível 2: 7/9 = x/27 → 7·27 = 9x → 189 = 9x → x = 21.

Nível 3: Razão 2:5 total 7 partes. 21 L ÷ 7 = 3 L por parte. Álcool: 2 partes → 6 L.

Regra de três

Nível 1: 3 → 27; 5 → x. x = 27·5/3 = 45.

Nível 2: 180 km com 12 L → 15 km/L. Para 300 km: 300/15 = 20 L.

Nível 3: Produção ∝ máquinas·tempo. Taxa: 240 peças em 8·6=48 máquina-horas → 5 peças por máquina-hora. Para 10·9=90 máquina-horas: 90·5 = 450 peças.

Juros simples

Nível 1: J = 500·0,03·4 = 60.

Nível 2: M = 2000(1 + 0,015·8) = 2000(1 + 0,12) = 2240.

Nível 3: M = C(1 + 0,10·3) = 1,3C. C = 1650/1,3 = 1269,23 (aprox.).

Potência e raiz

Nível 1: 5^2 = 25.

Nível 2: 3^4 ÷ 3^2 = 3^(4−2) = 3^2 = 9.

Nível 3: √(0,81) = 0,9, pois 0,9^2 = 0,81.

Expressões algébricas

Nível 1: 7a − 3a + 2 = 4a + 2.

Nível 2: (2x − 3)^2 = (2x)^2 − 2·2x·3 + 3^2 = 4x^2 − 12x + 9.

Nível 3: x^2 − 25 = (x − 5)(x + 5).

Equações do 1º grau

Nível 1: x + 9 = 15 → x = 6.

Nível 2: 5x = 3x + 18 → 2x = 18 → x = 9.

Nível 3: (x/3) − 2 = 4 → x/3 = 6 → x = 18.

Equações do 2º grau

Nível 1: x^2 − 9 = 0 → x^2=9 → x=3 ou x=−3.

Nível 2: x^2 + 4x + 4 = 0 → (x+2)^2=0 → x=−2.

Nível 3: 3x^2 − x − 2 = 0. Δ = (−1)^2 − 4·3·(−2)=1+24=25. x = (1 ± 5)/6 → x=1 ou x=−2/3.

Sistemas

Nível 1: x=2 e x+y=7 → y=5.

Nível 2: {2x+y=11; x−y=1}. Da segunda: y=x−1. Substitua: 2x+(x−1)=11 → 3x=12 → x=4 → y=3.

Nível 3: {3x−2y=4; 2x+y=11}. Multiplique a segunda por 2: 4x+2y=22. Some com a primeira: 7x=26 → x=26/7. Em 2x+y=11: y=11−52/7= (77−52)/7=25/7.

Funções e gráficos

Nível 1: y=−x+6, x=2 → y=4.

Nível 2: y=3x−1.

Nível 3: a = (10−2)/(4−0)=8/4=2. b=2. Logo y=2x+2.

Geometria plana

Nível 1: P=4·7=28 cm.

Nível 2: A=((12+8)·5)/2 = (20·5)/2 = 50.

Nível 3: A=π·3^2=9π ≈ 9·3,14=28,26.

Volume

Nível 1: V=3^3=27 cm³.

Nível 2: V=π·2^2·10 = 40π.

Nível 3: V=1,2·0,8·0,5=0,48 m³. Como 1 m³ = 1000 L, então 0,48 m³ = 480 L.

Simulado curto

1: 3/4 + 1/8 = 6/8 + 1/8 = 7/8.

2: 15% de 160 = 0,15·160 = 24.

3: 2(x−3)=10 → x−3=5 → x=8.

4: 21 = 4x + 1 → 4x=20 → x=5.

5: 250 com 12% de desconto: 250·0,88=220. Depois 8% de desconto: 220·0,92=202,4.

6: {x+2y=14; 3x−y=5}. Multiplique a segunda por 2: 6x−2y=10. Some com a primeira: 7x=24 → x=24/7. Em x+2y=14: 2y=14−24/7=(98−24)/7=74/7 → y=37/7.

7: Área 96 e lado 12 → outro lado = 96/12=8. Perímetro = 2(12+8)=40.