Combinações em Análise Combinatória: Selecionar sem Ordenar

O que são combinações (escolher sem ordenar)

Em muitos problemas de contagem e probabilidade, a pergunta é do tipo: “quantos grupos diferentes de tamanho k posso formar a partir de n elementos?”, onde a ordem não muda o grupo. Isso é uma combinação.

Exemplos típicos em que a ordem é irrelevante:

• Formar uma comissão de 3 pessoas dentre 10.
• Escolher 5 cartas de um baralho para uma mão.
• Selecionar 2 sabores para um combo (independente de qual foi “primeiro”).

Notação: C(n,k), \binom{n}{k} ou “n escolhe k”.

Combinações como “subconjuntos de tamanho k”

Uma combinação é exatamente a contagem de subconjuntos com k elementos retirados de um conjunto com n elementos. Cada subconjunto representa um grupo, sem posição, sem ranking, sem “primeiro/segundo”.

De onde vem a fórmula: corrigindo a supercontagem de arranjos

Uma forma prática de construir a fórmula é começar contando como se a ordem importasse e depois corrigir.

Continue em nosso aplicativo e ...

• Ouça o áudio com a tela desligada
• Ganhe Certificado após a conclusão
• + de 5000 cursos para você explorar!

ou continue lendo abaixo...

Baixar o aplicativo

Passo a passo

• Passo 1 (conte como se ordenasse): escolha k elementos dentre n e coloque em ordem. Isso é um arranjo: A(n,k) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1).
• Passo 2 (perceba a supercontagem): se o grupo é o mesmo independentemente da ordem, então cada grupo foi contado várias vezes no passo 1.
• Passo 3 (quantas vezes cada grupo aparece?): um mesmo conjunto de k pessoas pode ser ordenado de k! maneiras (todas as permutações internas).
• Passo 4 (corrija): divida por k!.

Assim:

\binom{n}{k} = \dfrac{A(n,k)}{k!} = \dfrac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}

Exemplo rápido (comissão)

Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas a partir de 10?

• Conte arranjos: A(10,3)=10·9·8=720
• Corrija pela ordem interna: 3!=6
• Combinações: \binom{10}{3}=720/6=120

Como reconhecer quando usar combinação (leitura combinatória)

Uma regra prática: se você pode trocar a ordem dos escolhidos e nada muda no resultado, então é combinação.

Pistas no enunciado

• Palavras como: “selecionar”, “escolher”, “formar um grupo”, “comissão”, “time”, “mão de cartas”, “conjunto”.
• Não há cargos/posições (presidente, vice, 1º lugar, senha, fila).
• O resultado é um grupo, não uma lista ordenada.

Teste mental rápido

Compare duas respostas:

• “Ana, Bruno e Carla”
• “Carla, Ana e Bruno”

Se essas duas descrições representam o mesmo resultado, a ordem é irrelevante → combinação.

Exemplos práticos clássicos

1) Comissões e grupos

Uma turma tem 12 alunos. Quantas comissões de 4 alunos podem ser formadas?

\binom{12}{4} = \dfrac{12!}{4!8!} = 495

2) Mãos de cartas

Quantas mãos de 5 cartas podem ser retiradas de um baralho padrão de 52 cartas (sem considerar ordem)?

\binom{52}{5}

Aqui a ordem é irrelevante porque uma mão é um conjunto de cartas.

3) Grupos com restrição (contagem por casos)

Em um grupo de 10 pessoas (6 mulheres e 4 homens), quantas comissões de 3 pessoas têm exatamente 2 mulheres?

Escolha 2 mulheres dentre 6 e 1 homem dentre 4:

\binom{6}{2}·\binom{4}{1} = 15·4 = 60

Combinações em probabilidade: contagem de casos possíveis e favoráveis

Em probabilidade com seleção sem reposição, é comum modelar o espaço amostral como “todas as amostras de tamanho k” retiradas de n itens. Quando a ordem não importa, o total de resultados possíveis costuma ser uma combinação.

Estrutura típica (sem desenvolver distribuição formal)

Suponha uma urna com:

• N itens no total
• M itens “de interesse” (sucessos)
• N-M itens “não interesse” (falhas)

Retira-se k itens sem reposição. Para contar:

• Casos possíveis: \binom{N}{k}
• Casos favoráveis a “exatamente r sucessos”: escolher r dentre os M sucessos e k-r dentre os N-M não-sucessos: \binom{M}{r}·\binom{N-M}{k-r}

Então a probabilidade é a razão:

P(\text{exatamente } r) = \dfrac{\binom{M}{r}\binom{N-M}{k-r}}{\binom{N}{k}}

Exemplo (peças defeituosas)

Um lote tem 20 peças, sendo 5 defeituosas. Selecionam-se 4 peças sem reposição. Qual a probabilidade de sair exatamente 1 defeituosa?

• Possíveis: \binom{20}{4}
• Favoráveis: escolher 1 defeituosa dentre 5 e 3 boas dentre 15: \binom{5}{1}·\binom{15}{3}

P = \dfrac{\binom{5}{1}\binom{15}{3}}{\binom{20}{4}}

Note como a combinação aparece naturalmente porque a amostra é um conjunto de itens, não uma sequência ordenada.

Armadilhas comuns: quando parece combinação, mas não é

1) Há cargos ou posições

“Escolher presidente, vice e secretário” não é apenas escolher 3 pessoas: os cargos distinguem as posições. A ordem (ou atribuição de papéis) importa.

Se o enunciado diz: “formar uma diretoria com 3 cargos diferentes”, você está atribuindo funções, então não é combinação simples.

2) Senhas e códigos

Se o resultado é uma sequência de dígitos/letras, a ordem define o resultado. “12” é diferente de “21”.

3) Seleção com repetição permitida

Se o problema permite escolher o mesmo item mais de uma vez (com reposição) e a ordem não importa, isso é outro modelo (combinações com repetição), diferente do que estamos tratando aqui.

Exercícios (treino de escolha: arranjo vs combinação)

Parte A — Identifique o modelo (sem calcular)

• 1) De 9 candidatos, formar uma comissão de 4 pessoas. (arranjo ou combinação?)
• 2) De 9 candidatos, escolher presidente e vice. (arranjo ou combinação?)
• 3) Sortear 5 cartas de um baralho e observar a mão. (arranjo ou combinação?)
• 4) Sortear 5 cartas em sequência e registrar a ordem de saída. (arranjo ou combinação?)
• 5) Escolher 3 livros para levar na viagem, sem importar a ordem. (arranjo ou combinação?)

Parte B — Calcule e compare (intencionalmente parecidos)

• 6) Quantas maneiras de escolher 3 pessoas dentre 8 para formar um grupo? Calcule \binom{8}{3}.
• 7) Quantas maneiras de escolher 3 pessoas dentre 8 para ocupar 3 cargos distintos? Calcule A(8,3) e compare com o resultado do exercício 6.
• 8) Uma turma tem 7 meninas e 5 meninos. Quantos grupos de 4 alunos têm exatamente 2 meninas? (use produto de combinações)
• 9) Em uma urna com 12 bolas (4 vermelhas e 8 azuis), retiram-se 3 sem reposição. Escreva a expressão da probabilidade de sair exatamente 2 vermelhas usando combinações.
• 10) Em uma urna com 12 bolas (4 vermelhas e 8 azuis), retiram-se 3 uma a uma e registra-se a ordem das cores. O espaço amostral ainda pode ser contado por \binom{12}{3}? Explique qual aspecto do enunciado muda a contagem.

Gabarito curto (itens de identificação)