O que são arranjos (k-permutações)
Arranjos (também chamados de k-permutações) contam de quantas formas podemos selecionar k elementos distintos dentre n e, ao mesmo tempo, ordená-los. Em outras palavras: escolhe-se um subconjunto de tamanho k e a ordem dos escolhidos gera resultados diferentes.
Uma forma prática de reconhecer um problema de arranjos é pensar em posições (1ª, 2ª, ..., kª) que serão preenchidas por elementos de um conjunto de tamanho n.
Perguntas-guia para classificar o problema
- Quantos são escolhidos? Se é um número k menor que n, há “escolha de tamanho”.
- A ordem muda o resultado? Se trocar a ordem gera um resultado diferente, então “ordem importa”.
Quando a resposta é: escolhemos k e a ordem importa, o modelo típico é arranjo.
Derivando a fórmula de arranjos sem reposição
Considere n elementos distintos e queremos formar sequências de tamanho k sem reposição (não pode repetir elemento). Vamos preencher k posições:
- 1ª posição: há n escolhas.
- 2ª posição: restam n − 1 escolhas.
- 3ª posição: restam n − 2 escolhas.
- ...
- kª posição: restam n − (k − 1) escolhas.
Pelo princípio multiplicativo, o total é:
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A(n,k) = n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)
Uma forma equivalente (útil para cálculo) é:
A(n,k) = \dfrac{n!}{(n-k)!}
Passo a passo prático (sem reposição)
Para resolver exercícios rapidamente:
- Passo 1: identifique n (total disponível) e k (tamanho da sequência).
- Passo 2: confirme “sem reposição” (não repete) e “ordem importa”.
- Passo 3: aplique
A(n,k)=n!/(n-k)!ou o produto decrescente com k fatores.
Exemplo: De 10 candidatos, quantas formas de escolher e ordenar presidente, vice e secretário (3 cargos distintos)?
Aqui n=10, k=3, sem reposição e ordem importa (os cargos diferenciam as posições). Então:
A(10,3)=10\cdot 9\cdot 8=720
Arranjos vs permutações vs combinações (sem repetir capítulos anteriores)
Uma forma objetiva de diferenciar é usar as perguntas-guia e observar o que muda no “resultado”:
| Modelo | Quantos são escolhidos? | A ordem muda o resultado? | Exemplo típico |
|---|---|---|---|
| Arranjo (k-permutação) | Escolhe k de n | Sim | pódio (1º, 2º, 3º), senha com caracteres distintos |
| Permutação | Escolhe n de n | Sim | ordenar todos os itens |
| Combinação | Escolhe k de n | Não | comissão sem cargos, conjunto de números sorteados |
Note que arranjo e combinação têm o mesmo “quantos são escolhidos?” (k), mas diferem na ordem. Já arranjo e permutação compartilham “ordem importa”, mas diferem no tamanho escolhido (k vs n).
Arranjos com reposição (arranjos com repetição)
Em alguns problemas, pode repetir elementos. Isso muda completamente a contagem, porque cada posição volta a ter n opções.
Fórmula (com reposição)
Se temos n opções para cada uma das k posições, independentemente das escolhas anteriores, então:
AR(n,k)=n^k
Passo a passo prático (com reposição)
- Passo 1: identifique n (opções por posição) e k (número de posições).
- Passo 2: verifique se repetição é permitida (ex.: dígitos podem repetir).
- Passo 3: aplique
n^k.
Exemplo: Quantos PINs de 4 dígitos existem (0–9), permitindo repetição?
n=10, k=4:
10^4=10000
Exemplo (sem reposição): Quantos PINs de 4 dígitos existem se nenhum dígito pode repetir?
Agora é arranjo sem reposição: A(10,4)=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040.
Como a hipótese altera o modelo
Compare as duas situações:
- Com reposição: cada posição “não se importa” com as anteriores →
n^k. - Sem reposição: as escolhas “consomem” opções → produto decrescente ou
n!/(n-k)!.
Em probabilidade, essa diferença corresponde a amostrar com reposição (independência entre etapas) versus sem reposição (dependência entre etapas).
Aplicações diretas em probabilidade
1) Códigos e senhas: tamanho do espaço amostral
Em muitos problemas, a probabilidade é calculada como:
P(E)=\dfrac{\#(E)}{\#(\Omega)}
Arranjos aparecem naturalmente para contar \#(\Omega) quando o resultado é uma sequência de k símbolos.
Exemplo: Senha de 3 letras distintas escolhidas do alfabeto de 26 letras. O espaço amostral é:
\#(\Omega)=A(26,3)=26\cdot 25\cdot 24
Se o evento E é “a senha começa com vogal” (5 vogais), então:
Primeira posição: 5 opções; depois restam 25 e 24 (sem reposição). Logo:
\#(E)=5\cdot 25\cdot 24
Assim:
P(E)=\dfrac{5\cdot 25\cdot 24}{26\cdot 25\cdot 24}=\dfrac{5}{26}
Repare como a estrutura de arranjo simplifica: muitos fatores cancelam.
2) Amostragens sequenciais: “primeiros k resultados”
Quando o experimento é observar uma sequência de resultados (por exemplo, os primeiros k itens retirados), a ordem costuma ser parte do resultado. Isso é típico de arranjos.
Exemplo: Uma urna tem 8 bolas distintas. Retiramos 3 bolas sem reposição e registramos a ordem de retirada. Quantos resultados possíveis existem?
\#(\Omega)=A(8,3)=8\cdot 7\cdot 6=336
Evento: “a primeira bola é uma das 2 bolas vermelhas (distintas)”.
Contagem do evento: 2 escolhas para a 1ª posição, depois 7 e 6 para as demais:
\#(E)=2\cdot 7\cdot 6
Logo:
P(E)=\dfrac{2\cdot 7\cdot 6}{8\cdot 7\cdot 6}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}
Esse padrão é recorrente: eventos sobre “o primeiro”, “o segundo”, ..., “o k-ésimo” resultado se encaixam bem em arranjos.
3) Probabilidade de sequência específica
Se todos os arranjos são equiprováveis, a probabilidade de uma sequência específica pode ser o inverso do total.
Exemplo: 10 corredores distintos disputam uma prova. Qual a probabilidade de que os 3 primeiros sejam exatamente (A, B, C) nessa ordem?
Os possíveis pódios ordenados são A(10,3). Apenas 1 corresponde a (A,B,C). Então:
P=\dfrac{1}{A(10,3)}=\dfrac{1}{10\cdot 9\cdot 8}
4) “Os primeiros k” pertencem a um grupo
Arranjos ajudam a contar eventos em que as primeiras posições devem ser ocupadas por elementos de um subconjunto.
Exemplo: Em uma fila com 12 pessoas distintas, 5 são do grupo G. Se as 12 posições são aleatórias, qual a probabilidade de que as 3 primeiras posições sejam ocupadas por pessoas de G?
Total de sequências possíveis para as 3 primeiras posições (sem reposição): A(12,3).
Sequências favoráveis: escolher e ordenar 3 pessoas dentre as 5 de G: A(5,3).
Então:
P=\dfrac{A(5,3)}{A(12,3)}=\dfrac{5\cdot 4\cdot 3}{12\cdot 11\cdot 10}
Checklist rápido: quando usar qual contagem
- Sequência de tamanho k, sem repetir:
A(n,k)=n!/(n-k)! - Sequência de tamanho k, podendo repetir:
n^k - Dúvida entre modelos: responda “quantos são escolhidos?” e “a ordem muda o resultado?” e verifique se há reposição.
