Análise Combinatória em Probabilidade: do Espaço Amostral à Contagem

Objetivo central: transformar probabilidade em contagem

Em muitos problemas de probabilidade, a parte “difícil” não é a fórmula, mas sim modelar corretamente o que está sendo contado. A ideia operacional deste curso é: traduzir uma pergunta de probabilidade em uma pergunta de contagem.

Quando os resultados elementares são igualmente prováveis (situação comum em moedas, dados, cartas bem embaralhadas, sorteios justos), usamos a regra:

P(A) = |A| / |S|

onde S é o espaço amostral (conjunto de todos os resultados elementares possíveis) e A é um evento (subconjunto de S que satisfaz a condição pedida).

Noção operacional de espaço amostral, evento e probabilidade

Resultado elementar (o “átomo” do problema)

Um resultado elementar é a unidade mínima que você decide considerar como “um resultado”. Ele precisa ser definido de modo que:

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• cada execução do experimento produza exatamente um resultado elementar;
• resultados diferentes correspondam a situações diferentes;
• quando você pretende usar |A|/|S|, esses resultados elementares sejam equiprováveis (ou você terá que usar pesos/probabilidades diferentes).

Exemplo: em dois lançamentos de moeda, “duas caras” pode ser um evento, mas não é um resultado elementar; os resultados elementares são sequências como (C, K), (K, C) etc.

Espaço amostral S

O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados elementares possíveis, de acordo com a sua definição de “resultado”.

Exemplo (duas moedas):

S = { (C,C), (C,K), (K,C), (K,K) }

Evento A

Um evento é um subconjunto de S. Ele reúne todos os resultados elementares que tornam a afirmação verdadeira.

Exemplo: “exatamente uma cara”:

A = { (C,K), (K,C) }

Probabilidade como razão entre contagens

Se os resultados elementares em S são igualmente prováveis, então:

P(A) = |A| / |S|

No exemplo: |A|=2 e |S|=4, então P(A)=2/4=1/2.

Checklist prático de modelagem (antes de contar)

Use este checklist sempre que transformar probabilidade em contagem:

• 1) Qual é o experimento? O que está sendo feito (lançar, sortear, escolher, formar senha, ordenar)?
• 2) O que é um resultado elementar? É uma sequência? Um conjunto? Um arranjo? Um código? Escreva um exemplo explícito de um resultado.
• 3) Os resultados elementares são igualmente prováveis? Se não forem, a razão |A|/|S| não se aplica diretamente.
• 4) A ordem importa?
  • Se trocar posições gera resultado diferente, ordem importa.
  • Se só importa “quais itens”, ordem não importa.
• 5) Há reposição? Ao selecionar itens (cartas, bolas, pessoas), o item volta para o conjunto antes da próxima escolha?
• 6) Repetição é permitida? Em senhas, dígitos podem repetir? Em escolhas, pode escolher o mesmo elemento mais de uma vez?
• 7) Quais são as restrições? “Sem repetir”, “começa com letra”, “pelo menos uma carta de copas”, “exatamente 2 caras”, “não pode ter 0 no início” etc.
• 8) O que exatamente o evento pede? Escreva o evento como condição e, se possível, liste alguns resultados que pertencem e alguns que não pertencem.

Roteiro de resolução: do enunciado à fração

1. Defina o resultado elementar (uma linha com um exemplo concreto).
2. Construa/descriva o espaço amostral e conte |S|.
3. Defina o evento como subconjunto e conte |A|.
4. Calcule P(A)=|A|/|S| (se equiprovável).
5. Faça uma checagem rápida: o valor faz sentido (entre 0 e 1)? Casos extremos batem (restrição impossível dá 0; evento certo dá 1)?

Exemplo guiado 1: lançamentos de moedas (modelagem por sequência)

Problema

Uma moeda justa é lançada 3 vezes. Qual a probabilidade de sair exatamente 2 caras?

Passo 1 — Resultado elementar

Um resultado elementar é uma sequência ordenada de 3 símbolos, cada um sendo C (cara) ou K (coroa). Ex.: (C,K,C).

Passo 2 — Espaço amostral

Cada lançamento tem 2 possibilidades e são independentes. Logo:

|S| = 2 * 2 * 2 = 8

Passo 3 — Evento

Evento “exatamente 2 caras”: sequências com 2 C e 1 K. Podemos listar:

A = { (C,C,K), (C,K,C), (K,C,C) }

Então |A|=3.

Passo 4 — Probabilidade

P(A) = |A|/|S| = 3/8

Onde a modelagem pode dar errado

• Se você definir “resultado” como “quantidade de caras” (0,1,2,3), os 4 resultados não são equiprováveis. A razão simples |A|/|S| não funcionaria com esse espaço amostral.

Exemplo guiado 2: senhas (ordem importa; repetição depende da regra)

Problema A

Uma senha tem 4 dígitos (0 a 9). Qual a probabilidade de a senha ter todos os dígitos distintos, supondo que todas as sequências de 4 dígitos são igualmente prováveis?

Passo 1 — Resultado elementar

Um resultado elementar é uma sequência de 4 dígitos, como 5072. Ordem importa (5072 ≠ 5270).

Passo 2 — Espaço amostral

Sem restrição no enunciado, cada posição tem 10 opções:

|S| = 10^4 = 10000

Passo 3 — Evento

Evento “todos distintos”: 1ª posição 10 opções, 2ª posição 9 (não repetir), 3ª posição 8, 4ª posição 7:

|A| = 10 * 9 * 8 * 7

Passo 4 — Probabilidade

P(A) = (10*9*8*7) / 10^4

Problema B (variação que muda a contagem)

Agora a senha tem 4 dígitos, mas não pode começar com 0. Qual a probabilidade de ter todos os dígitos distintos?

Aqui o espaço amostral muda: a 1ª posição tem 9 opções (1 a 9), as demais 10:

|S| = 9 * 10^3

O evento “todos distintos” também muda: 1ª posição 9 opções; 2ª posição 9 (pode ser 0, mas não pode repetir o primeiro); depois 8 e 7:

|A| = 9 * 9 * 8 * 7

Então:

P(A) = (9*9*8*7) / (9*10^3)

Note como a técnica de contagem (produto de escolhas) é a mesma, mas depende totalmente de como o resultado elementar e as restrições foram definidos.

Exemplo guiado 3: cartas (resultado elementar como “mão”)

Problema

De um baralho padrão de 52 cartas, retira-se uma mão de 5 cartas (sem reposição). Qual a probabilidade de a mão conter exatamente 2 ases?

Passo 1 — Resultado elementar

Um resultado elementar é uma mão de 5 cartas. Aqui, a ordem de retirada não interessa para o resultado final; o que importa é o conjunto de 5 cartas.

Passo 2 — Espaço amostral

Número de mãos possíveis de 5 cartas dentre 52:

|S| = C(52,5)

Passo 3 — Evento

Para ter exatamente 2 ases:

• Escolher 2 ases dentre os 4: C(4,2)
• Escolher as outras 3 cartas dentre as 48 não-ases: C(48,3)

Multiplicando:

|A| = C(4,2) * C(48,3)

Passo 4 — Probabilidade

P(A) = [C(4,2) * C(48,3)] / C(52,5)

Checagem de modelagem

• Sem reposição: após tirar uma carta, ela não volta ao baralho.
• Ordem não importa: “mão” é um conjunto; se você modelasse como sequência de 5 retiradas, teria que ajustar para não supercontar (o mesmo conjunto apareceria em várias ordens).

Mini-exercícios de modelagem (foco no resultado elementar)

1) Duas moedas: “pelo menos uma cara”

Defina S como sequências de 2 lançamentos. Escreva A listando os resultados que têm pelo menos uma C e conte |A|.

2) Senha de 3 letras (A–Z): “contém pelo menos uma vogal”

Decida: repetição é permitida? Se for, |S|=26^3. Defina A e pense se é mais fácil contar direto ou via complementar (contar “nenhuma vogal”).

3) Cartas: “pelo menos uma carta de copas” em 5 cartas

Defina o resultado elementar como mão de 5 cartas. Escreva o evento complementar “nenhuma de copas” e traduza em contagens com combinações.