Proportions et tableaux : reconnaître une situation proportionnelle et calculer un coefficient

Reconnaître une situation proportionnelle

Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité (ou coefficient multiplicateur). On parle aussi de rapport constant.

Le test du rapport constant

Si une grandeur A (ex. quantité) et une grandeur B (ex. prix) sont proportionnelles, alors le rapport B / A est le même pour toutes les lignes (quand A ≠ 0). Ce rapport correspond souvent à une valeur « par unité » (prix unitaire, vitesse, débit…).

• Exemple proportionnel : 3 kg de pommes coûtent 7,50 € et 5 kg coûtent 12,50 €. On calcule 7,50/3 = 2,50 et 12,50/5 = 2,50 → même rapport, donc proportionnel.
• Exemple non proportionnel : 1 course en taxi coûte 3 € de prise en charge + 2 € par km. Le rapport prix/km change selon la distance (à cause du frais fixe).

Situations non proportionnelles fréquentes (à repérer)

1) Frais fixes (abonnement, livraison, forfait)

Forme typique : prix = frais fixe + (prix unitaire × quantité). Le rapport prix/quantité n’est pas constant.

Exemple : Livraison 4 € + 1,50 € par article. Pour 2 articles : 7 €. Pour 4 articles : 10 €. Rapports : 7/2 = 3,5 et 10/4 = 2,5 → pas constant.

2) Promotions conditionnelles (paliers, “2 achetés = 1 offert”, remise à partir de…)

Le « coefficient » change selon la zone (avant/après le seuil), donc ce n’est pas proportionnel sur l’ensemble.

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Exemple : “-20% à partir de 50 € d’achat”. Un panier à 40 € ne subit pas la même règle qu’un panier à 60 €.

Tableaux de proportionnalité : méthode pratique

Un tableau de proportionnalité met en ligne deux grandeurs proportionnelles. On peut y calculer une valeur manquante grâce au coefficient multiplicateur ou au passage à l’unité.

Étapes pour utiliser un tableau

• Étape 1 : Identifier les deux grandeurs (ex. quantité ↔ prix).
• Étape 2 : Vérifier (ou supposer) la proportionnalité : le rapport prix/quantité doit être constant.
• Étape 3 : Trouver le coefficient multiplicateur (souvent le prix unitaire) : k = B/A.
• Étape 4 : Compléter : B = k × A (ou A = B / k).

Le coefficient multiplicateur (coefficient de proportionnalité)

Si A → B est proportionnel, alors B = k × A. Le nombre k est le coefficient multiplicateur.

• Si A = quantité (kg) et B = prix (€), alors k est le prix par kg.
• Si A = temps (h) et B = distance (km), alors k est la vitesse (km/h).
• Si A = temps (min) et B = volume (L), alors k est le débit (L/min).

Attention au sens du coefficient

Le coefficient dépend du sens choisi :

• De A vers B : k = B/A.
• De B vers A : k' = A/B (c’est l’inverse).

Passage « à l’unité » : une méthode sûre

Le passage à l’unité consiste à trouver la valeur pour 1 unité (1 kg, 1 article, 1 heure, 1 litre…), puis à remonter à la quantité voulue. C’est très fiable, surtout quand les nombres ne sont pas “jolis”.

Étapes

• 1) Calculer la valeur pour 1 unité : valeur_unitaire = valeur / quantité.
• 2) Multiplier par la quantité recherchée : valeur = valeur_unitaire × quantité_recherchée.

Exemples rapides

• Prix unitaire : 8 stylos coûtent 6,40 €. Prix d’1 stylo : 6,40/8 = 0,80 €. Prix de 15 stylos : 0,80×15 = 12,00 €.
• Vitesse : 150 km en 2 h 30 (soit 2,5 h). Vitesse : 150/2,5 = 60 km/h. En 1,75 h : distance 60×1,75 = 105 km.
• Débit : Un robinet remplit 12 L en 3 min. Débit : 12/3 = 4 L/min. En 7 min : 4×7 = 28 L.

Exercices corrigés

Exercice 1 — Compléter un tableau (quantités / prix)

On achète des noix au même prix au kg.

Correction (passage à l’unité)

• Prix pour 1 kg : 7,20/2 = 3,60 € par kg.
• Pour 5 kg : 3,60×5 = 18,00 €.
• Pour 0,75 kg : 3,60×0,75 = 2,70 €.
• Pour 18,00 € : quantité 18,00/3,60 = 5 kg.

Tableau complété :

Exercice 2 — Vérifier la proportionnalité avec des rapports

On vous donne ce tableau “distance ↔ temps” :

Question : est-ce proportionnel ?

Correction

• Calcul des rapports distance/temps : 52/1 = 52, 104/2 = 52, 150/3 = 50.
• Le rapport n’est pas constant (52 puis 50), donc ce n’est pas une situation proportionnelle.

Interprétation possible : la vitesse n’est pas restée la même sur la 3e heure (ralentissement, arrêt, trafic…).

Exercice 3 — Corriger un raisonnement faux (addition au lieu de multiplication)

Énoncé : 4 billets de cinéma coûtent 38 €. Léa dit : “Pour 6 billets, j’ajoute 2 billets donc j’ajoute 2 € : 40 €.”

Question : expliquer l’erreur et donner le bon calcul.

Correction

• Erreur : Léa suppose qu’on ajoute un montant fixe quand on ajoute des billets. Or, en proportionnalité, on multiplie par un coefficient (prix par billet), on n’ajoute pas un petit nombre arbitraire.
• Passage à l’unité : prix d’1 billet 38/4 = 9,50 €.
• Pour 6 billets : 9,50×6 = 57,00 €.

Vérification : passer de 4 à 6, c’est multiplier par 6/4 = 1,5. Donc le prix doit aussi être multiplié par 1,5 : 38×1,5 = 57 €.

Exercice 4 — Distinguer proportionnel / non proportionnel (frais fixes et promo)

Pour chaque situation, dire si c’est proportionnel et justifier en une phrase.

• A) Photocopies : 0,12 € par page.
• B) Location de vélo : 5 € de déblocage + 3 € par heure.
• C) Boissons : 2 € l’unité, mais “3 achetées = 5 €”.

Correction

• A) Proportionnel : le prix est 0,12×(nombre de pages), rapport constant 0,12 €/page.
• B) Non proportionnel : présence d’un frais fixe (5 €) en plus de la partie variable.
• C) Non proportionnel : la règle de prix change selon la quantité (promo par palier), donc le rapport prix/quantité n’est pas constant.