Le sens de « pour 100 » : ce que mesure un pourcentage
Un pourcentage exprime une part sur 100. Dire 25%, c’est dire « 25 sur 100 », donc 25/100. Cette écriture est pratique pour comparer des situations différentes (promotions, taxes, taux d’intérêt), car la base est toujours 100.
Liens immédiats avec fraction et décimal
Un même nombre peut s’écrire en pourcentage, en fraction et en décimal. Exemple central :
- 25% =
25/100=1/4=0,25
Idée clé : le pourcentage est une façon de parler d’un décimal (et donc d’une fraction), mais avec une base 100 qui facilite l’interprétation.
Calcul mental des pourcentages : méthodes rapides
Pour calculer un pourcentage d’un montant, on peut souvent éviter la calculatrice en s’appuyant sur quelques repères (10%, 5%, 1%, 20%, 50%) puis en combinant.
Repères essentiels (avec étapes)
Soit un montant M.
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- 10% de
M: déplacer la virgule d’un rang vers la gauche (diviser par 10). Exemple : 10% de 80 = 8. - 5% de
M: la moitié de 10%. Exemple : 5% de 80 = 4. - 1% de
M: diviser par 100 (deux rangs vers la gauche). Exemple : 1% de 80 = 0,8. - 20% de
M: 2 × 10%. Exemple : 20% de 80 = 16. - 50% de
M: la moitié. Exemple : 50% de 80 = 40.
Combiner pour obtenir d’autres pourcentages
On décompose le pourcentage en somme de pourcentages faciles.
- 30% = 20% + 10%
- 15% = 10% + 5%
- 12% = 10% + 2% (et 2% = 2 × 1%)
- 35% = 20% + 10% + 5%
Exemple mental : 12% de 80
Étape 1 : 10% de 80 = 8
Étape 2 : 1% de 80 = 0,8 donc 2% = 1,6
Étape 3 : 12% = 8 + 1,6 = 9,6
Conversions : % ↔ décimal ↔ fraction (méthode pratique)
Pourcentage → décimal
Règle : diviser par 100 (déplacer la virgule de deux rangs vers la gauche).
- 7% →
0,07 - 12% →
0,12 - 150% →
1,5(car 150/100)
Décimal → pourcentage
Règle : multiplier par 100 (déplacer la virgule de deux rangs vers la droite) et ajouter le symbole %.
0,25→ 25%0,07→ 7%1,2→ 120%
Pourcentage → fraction
Règle : écrire « sur 100 », puis simplifier si possible.
- 25% =
25/100=1/4 - 12% =
12/100=3/25 - 7% =
7/100(déjà simplifiée)
Fraction → pourcentage (sans refaire tout le cours sur les fractions)
Deux méthodes rapides selon le cas :
- Si le dénominateur peut devenir 100 : mettre sur 100 puis lire le numérateur. Exemple :
3/25→ multiplier haut et bas par 4 :12/100→ 12%. - Sinon : passer par le décimal (division) puis ×100. Exemple :
1/8= 0,125 → 12,5%.
Interpréter correctement une hausse, une baisse, une réduction et une taxe
Réduction de 15% : ce que cela signifie
Une réduction de 15% signifie qu’on enlève 15% du prix initial. Deux façons équivalentes :
- Méthode A (soustraction) : prix final = prix initial − 15% du prix initial
- Méthode B (coefficient) : prix final = prix initial × (1 − 0,15) = prix initial × 0,85
Exemple : un article à 80 € avec −15%
15% de 80 = 10% (8) + 5% (4) = 12
Prix final = 80 − 12 = 68 € (ou 80 × 0,85 = 68)
TVA de 12% : ce que cela signifie
Une TVA de 12% signifie qu’on ajoute 12% au prix hors taxe (HT). Là aussi, deux façons :
- Méthode A (addition) : TTC = HT + 12% de HT
- Méthode B (coefficient) : TTC = HT × (1 + 0,12) = HT × 1,12
Exemple : HT = 80 €
12% de 80 = 9,6
TTC = 80 + 9,6 = 89,6 € (ou 80 × 1,12 = 89,6)
Hausse et baisse : attention à la base de calcul
Une hausse de 10% s’applique toujours à une valeur de départ (la base). Si la base change, le même pourcentage ne représente pas la même quantité.
- Hausse de 10% : multiplier par 1,10
- Baisse de 10% : multiplier par 0,90
Point important : une baisse de 10% puis une hausse de 10% ne ramènent pas au point de départ, car la deuxième opération se fait sur une nouvelle base.
Exercices corrigés (avec méthodes)
1) Calculer 30% de 80
Méthode mentale par décomposition
30% = 20% + 10%
10% de 80 = 8
20% de 80 = 16
Donc 30% de 80 = 16 + 8 = 24
Méthode décimale
30% = 0,30
0,30 × 80 = 24
2) Retrouver le total quand 18% vaut 45
On cherche le total T tel que 18% de T = 45.
Étape 1 : écrire en décimal : 18% = 0,18
Étape 2 : équation : 0,18 × T = 45
Étape 3 : isoler T : T = 45 / 0,18
Calcul : 45 / 0,18 = 250
Réponse : le total est 250.
Vérification : 10% de 250 = 25, 8% de 250 = 20, donc 18% = 45.
3) Convertir 0,07 en pourcentage
Étape 1 : multiplier par 100 : 0,07 × 100 = 7
Étape 2 : ajouter le symbole : 7%
4) Erreurs classiques : pourcentage vs points de pourcentage
On confond souvent une variation en points de pourcentage (différence directe entre deux taux) et une variation en pourcentage (variation relative).
| Situation | Calcul | Résultat correct |
|---|---|---|
| Un taux passe de 12% à 15% | Différence : 15% − 12% | +3 points de pourcentage |
| Un taux passe de 12% à 15% | Variation relative : (15 − 12) / 12 | +25% (car 3/12 = 0,25) |
À retenir : dire « +3% » est ambigu ici. Il faut préciser : +3 points (différence de taux) ou +25% (augmentation relative du taux).
