Opérations sur fractions utiles : simplifier, additionner, multiplier pour résoudre des problèmes

Simplifier une fraction : méthode progressive et réflexes rapides

Simplifier une fraction, c’est la remplacer par une fraction équivalente plus « courte » (numérateur et dénominateur plus petits), en divisant les deux par un même nombre entier (un diviseur commun). Cela facilite les calculs et réduit les risques d’erreur.

Méthode étape par étape (diviseurs communs)

• Étape 1 : repérer un diviseur commun du numérateur et du dénominateur (2, 3, 5, 10…).
• Étape 2 : diviser le numérateur et le dénominateur par ce diviseur.
• Étape 3 : recommencer tant qu’il reste un diviseur commun > 1.

Exemple : simplifier 24/36.

• Diviseur commun évident : 2 → 24/36 = 12/18
• Encore divisible par 2 → 12/18 = 6/9
• Encore divisible par 3 → 6/9 = 2/3

Raccourcis pour simplifier vite

• Si les deux nombres sont pairs : diviser par 2.
• Si la somme des chiffres est multiple de 3 (pour les deux) : diviser par 3. Exemple : 27 et 42 sont divisibles par 3.
• Si ça finit par 0 ou 5 (pour les deux) : diviser par 5.
• Si ça finit par 0 (pour les deux) : diviser par 10.

Astuce “repérage éclair” : avant de calculer, regardez si numérateur et dénominateur ont un facteur commun évident (2, 3, 5). Une simplification rapide peut transformer un calcul lourd en calcul simple.

Addition et soustraction de fractions

Cas 1 : même dénominateur

Quand les dénominateurs sont identiques, on additionne (ou soustrait) uniquement les numérateurs et on garde le même dénominateur.

Règle : a/b + c/b = (a+c)/b et a/b - c/b = (a-c)/b

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Exemple : 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2 (on simplifie à la fin).

Cas 2 : dénominateurs différents (mise au même dénominateur)

Quand les dénominateurs sont différents, on transforme les fractions pour qu’elles aient un dénominateur commun, puis on applique la règle du même dénominateur.

Méthode étape par étape

• Étape 1 : choisir un dénominateur commun. Dans les cas simples, on prend souvent le PPCM des deux dénominateurs (le plus petit multiple commun).
• Étape 2 : convertir chaque fraction en fraction équivalente avec ce dénominateur.
• Étape 3 : additionner/soustraire les numérateurs, garder le dénominateur.
• Étape 4 : simplifier le résultat si possible.

Exemple : 1/6 + 1/4

• PPCM(6,4) = 12
• 1/6 = 2/12 (×2 en haut et en bas)
• 1/4 = 3/12 (×3 en haut et en bas)
• 2/12 + 3/12 = 5/12

Cas très simple : si un dénominateur est multiple de l’autre (ex. 3 et 12), le PPCM est le plus grand (12).

Multiplier et diviser avec des fractions (et simplifier avant)

Multiplication de fractions

Pour multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis on simplifie.

Règle : (a/b) × (c/d) = (a×c)/(b×d)

Réflexe important : simplifier avant de multiplier (simplification croisée) pour éviter de gros nombres.

Exemple : 6/7 × 14/15

• Simplification croisée : 14 avec 7 → 14/7 = 2 ; 6 avec 15 → diviser par 3 → 6/15 = 2/5
• On obtient (2/1) × (2/5) = 4/5

Division par une fraction : inversion

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

Règle : (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) (avec c ≠ 0).

Interprétation pratique : « partager par 3/4 »

Diviser par 3/4, c’est se demander : « combien de paquets de 3/4 rentrent dans la quantité ? » Comme 3/4 est plus petit que 1, on obtient souvent un résultat plus grand que la quantité de départ.

Exemple : 2 ÷ 3/4

• Inversion : 2 × 4/3 = 8/3 = 2 + 2/3
• Interprétation : dans 2 unités, on peut faire 2 + 2/3 portions de taille 3/4.

Exercices corrigés contextualisés

Exercice 1 — Ajuster une recette (multiplier par 3/2)

Une recette utilise 2/3 de litre de lait. Vous voulez faire 3/2 fois la recette (par exemple, 1,5 fois la quantité). Quelle quantité de lait faut-il ?

Calcul : 2/3 × 3/2

Étapes :

• Simplification croisée : le 2 du numérateur avec le 2 du dénominateur → ils s’annulent ; le 3 du numérateur avec le 3 du dénominateur → ils s’annulent.
• Il reste 1 × 1 = 1

Réponse : 1 litre de lait.

Point méthode : ici, simplifier avant de multiplier évite de calculer (2×3)/(3×2) puis simplifier.

Exercice 2 — Cumuler des durées (1/4 h + 2/3 h)

Vous passez 1/4 d’heure sur une tâche, puis 2/3 d’heure sur une autre. Combien de temps au total (en heures) ?

Calcul : 1/4 + 2/3

Étapes :

• PPCM(4,3) = 12
• 1/4 = 3/12
• 2/3 = 8/12
• 3/12 + 8/12 = 11/12

Réponse : 11/12 d’heure.

Conversion utile (option pratique) : 11/12 h = 55 minutes (car 1 h = 60 min, donc 11/12 × 60 = 55).

Exercice 3 — Division et sens : « partager par 3/4 »

Vous avez 3 mètres de ruban. Chaque morceau doit mesurer 3/4 de mètre. Combien de morceaux pouvez-vous couper ?

Calcul : 3 ÷ 3/4

Étapes :

• Inversion : 3 × 4/3
• Simplification : le 3 du numérateur avec le 3 du dénominateur → 1 × 4 = 4

Réponse : 4 morceaux.

Erreurs fréquentes à éviter (et comment les corriger)

Erreur 1 : additionner les dénominateurs

Faux : 1/2 + 1/3 = 2/5

Pourquoi c’est faux : le dénominateur indique la taille des parts ; on ne peut pas additionner des parts de tailles différentes sans les convertir.

Correct : 1/2 = 3/6, 1/3 = 2/6, donc 1/2 + 1/3 = 5/6.

Erreur 2 : oublier de simplifier (ou simplifier seulement à moitié)

Exemple : 6/8 simplifié en 3/4 (ok). Mais si on s’arrête à 12/16 → 6/8 → 3/4, on n’a pas fini tant qu’il reste un diviseur commun.

Bon réflexe : après un calcul, vérifier rapidement si numérateur et dénominateur sont divisibles par 2, 3 ou 5.

Erreur 3 : diviser par une fraction sans inverser

Faux : 2 ÷ 3/4 = 2 × 3/4

Correct : 2 ÷ 3/4 = 2 × 4/3

Astuce mémoire : « Diviser par une fraction = multiplier par son inverse ».

Mini-checklist avant de valider un résultat

• Ai-je mis au même dénominateur avant d’additionner/soustraire ?
• Ai-je simplifié (si possible) ?
• En division, ai-je bien inversé la deuxième fraction ?
• Le résultat est-il cohérent (ex. diviser par une fraction < 1 donne souvent un résultat plus grand) ?