Erreurs classiques en fractions, pourcentages et proportions : diagnostic et correction guidée

Objectif : repérer vite l’erreur et la corriger

Dans la vie réelle (courses, recettes, factures, statistiques), les erreurs en fractions, pourcentages et proportions viennent souvent d’un « automatisme » mal appliqué. Ce chapitre propose un catalogue d’erreurs fréquentes, puis une méthode de diagnostic : repérer l’étape fautive, corriger et vérifier par estimation.

Catalogue d’erreurs fréquentes (avec explication et contre-exemples)

1) Addition de fractions incorrecte : additionner les dénominateurs

Erreur typique : 1/2 + 1/3 = 2/5 (on additionne numérateurs et dénominateurs).

Pourquoi c’est faux : les dénominateurs représentent des tailles de parts différentes. Additionner les dénominateurs mélange des unités incompatibles.

Contre-exemple concret : si vous mangez 1/2 d’une pizza et 1/3 d’une autre pizza identique, vous avez mangé plus que 1/2. Or 2/5 = 0,4 est moins que 1/2 = 0,5, donc impossible.

Diagnostic rapide : si le résultat est plus petit que l’une des fractions positives additionnées, il y a un problème.

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2) Confusion entre 0,2 et 20% (et 0,02)

Erreur typique : croire que 0,2 vaut 2% ou que 20% vaut 0,02.

Repère fiable : 20% = 20/100 = 0,20 = 0,2. En revanche 2% = 0,02.

Test éclair : 20% d’un prix de 50 € vaut 10 €. Si votre conversion donne 1 € (ou 100 €), la conversion est fausse.

3) Inversion dans la règle de trois : multiplier/diviser du mauvais côté

Erreur typique : dans une situation proportionnelle, inverser le sens « plus/moins » et obtenir un résultat qui va dans la mauvaise direction.

Exemple : 3 kg de pommes coûtent 6 €. Combien coûtent 5 kg ?

• Erreur : faire 6 × 3 / 5 = 3,6 € (le prix baisse alors que la quantité augmente).
• Contre-exemple par bon sens : 5 kg > 3 kg, donc le prix doit être > 6 €.

Diagnostic rapide : avant de calculer, écrire une phrase : « si la quantité augmente, le prix augmente ». Si votre résultat contredit cette phrase, vous avez probablement inversé une opération.

4) Confusion « +10% » et « +10 points »

Erreur typique : traiter une hausse de 10 points comme une hausse de 10% (ou l’inverse).

Exemple : un taux de réussite passe de 40% à 50%.

• C’est une hausse de 10 points (50% − 40% = 10 points).
• C’est aussi une hausse de 25% relative car (50 − 40) / 40 = 0,25.

Contre-exemple : si on dit « +10% » à partir de 40%, on obtient 40% × 1,10 = 44%, pas 50%.

Diagnostic rapide : demander « 10% de quoi ? » (d’une base) versus « 10 points » (différence directe entre deux pourcentages).

5) Mauvaise gestion des unités (€, kg, L, min, km/h…)

Erreur typique : calculer correctement mais avec des unités incohérentes, ou oublier de convertir (g en kg, min en h).

Exemple : une recette pour 4 personnes utilise 300 g de farine. Pour 10 personnes :

• Erreur fréquente : répondre « 750 kg » au lieu de « 750 g » (mauvaise unité), ou mélanger g et kg sans conversion.
• Vérification : 10 personnes, c’est 2,5 fois 4 personnes, donc la farine doit être 2,5 fois 300 g = 750 g. 750 kg serait absurde.

Diagnostic rapide : écrire l’unité à chaque ligne de calcul (même dans le brouillon). Si une ligne « perd » l’unité, risque d’erreur.

6) Arrondis prématurés : arrondir trop tôt fausse le résultat final

Erreur typique : arrondir un coefficient ou un prix intermédiaire, puis réutiliser cette valeur arrondie dans d’autres calculs.

Exemple : un article coûte 19,90 € avec une remise de 15%, puis une taxe de 5% sur le prix remisé.

• Erreur : arrondir après la remise (ex. 16,92 € → 16,90 €) puis appliquer la taxe, ce qui décale le résultat final.
• Bonne pratique : garder 2 à 4 décimales pendant les étapes, arrondir seulement à la fin (au centime).

Diagnostic rapide : si le problème enchaîne plusieurs étapes, éviter d’arrondir avant la dernière ligne.

Méthode de correction guidée (pas à pas)

Étape 1 — Relire l’énoncé en repérant la « direction »

• Qu’est-ce qui augmente/diminue ?
• Le résultat doit-il être plus grand ou plus petit que la valeur de départ ?
• Quelles unités sont attendues ?

Étape 2 — Identifier l’étape erronée

Comparer la solution proposée à une liste de signaux d’alerte :

• Somme de fractions plus petite qu’un des termes (fractions positives).
• Pourcentage converti en décimal avec un zéro en trop ou en moins.
• Résultat qui va dans le mauvais sens (quantité ↑ mais prix ↓).
• Confusion points/% (écart absolu vs variation relative).
• Unités absentes ou incohérentes.
• Arrondi fait avant la fin.

Étape 3 — Corriger en réécrivant proprement

• Réécrire la ligne fautive avec les unités.
• Remettre la base correcte (pour un pourcentage) ou la correspondance correcte (pour une proportion).
• Garder les valeurs exactes ou suffisamment précises jusqu’à la fin.

Étape 4 — Vérifier par estimation

Faire une estimation grossière (ordre de grandeur) :

• Remplacer 19,90 € par 20 € pour vérifier la cohérence.
• Comparer à des repères : 10% = un dixième, 25% = un quart, 50% = la moitié.
• Pour les fractions : convertir mentalement en décimaux simples si possible (1/2, 1/4, 3/4, 1/5…).

Activités de correction : analyser une solution fausse

Activité A — Fractions : repérer l’absurdité

Énoncé : On a parcouru 1/2 d’un trajet le matin et 1/3 l’après-midi. Quelle fraction du trajet a été parcourue ?

Solution fausse proposée : 1/2 + 1/3 = 2/5.

Étape erronée : addition des dénominateurs.

Correction : on doit exprimer les deux fractions avec une même taille de parts. Ici, une estimation suffit pour vérifier : 1/2 ≈ 0,5 et 1/3 ≈ 0,33, donc total ≈ 0,83. Or 2/5 = 0,4 est incohérent.

Vérification par estimation : le résultat doit être entre 0,5 et 1.

Activité B — Pourcentages : 0,2 n’est pas 2%

Énoncé : Une commission est de 20% sur une vente de 250 €.

Solution fausse proposée : « 20% = 0,02, donc commission = 250 × 0,02 = 5 €. »

Étape erronée : conversion de 20% en décimal.

Correction : 20% = 0,20. Commission = 250 × 0,20 = 50 €.

Vérification par estimation : 10% de 250 € = 25 €, donc 20% ≈ 50 €.

Activité C — Proportion : inversion de sens

Énoncé : 4 cahiers coûtent 9,60 €. Combien coûtent 6 cahiers ?

Solution fausse proposée : 9,60 × 4 / 6 = 6,40 €.

Étape erronée : division/multiplication inversée (le prix baisse quand la quantité augmente).

Correction : prix unitaire = 9,60 / 4 = 2,40 €, donc pour 6 : 2,40 × 6 = 14,40 €.

Vérification par estimation : 6 cahiers, c’est 1,5 fois 4 cahiers, donc le prix doit être 1,5 fois 9,60 € ≈ 14,40 €.

Activité D — « Points » vs « % »

Énoncé : Un abonnement passe de 30% de réduction à 40% de réduction.

Solution fausse proposée : « La réduction augmente de 10%, donc on multiplie par 1,10. »

Étape erronée : confusion entre +10 points et +10% relatif.

Correction : la réduction augmente de 10 points (de 30% à 40%). Si on veut la hausse relative : (40 − 30) / 30 = 1/3 soit environ 33,3% d’augmentation de la réduction.

Vérification par estimation : 10% de 30% = 3 points, donc « +10% » ne peut pas donner +10 points.

Activité E — Unités : conversion oubliée

Énoncé : Une voiture roule à 90 km/h pendant 30 minutes. Quelle distance parcourt-elle ?

Solution fausse proposée : 90 × 30 = 2700 km.

Étape erronée : minutes utilisées comme des heures (unités incohérentes).

Correction : 30 min = 0,5 h. Distance = 90 × 0,5 = 45 km.

Vérification par estimation : en une demi-heure à 90 km/h, on fait environ la moitié de 90 km, donc ~45 km.

Activité F — Arrondis prématurés

Énoncé : Un produit coûte 12,80 €. On applique une remise de 12%, puis une taxe de 5% sur le prix remisé. Donner le prix final au centime.

Solution fausse proposée : « Remise : 12,80 × 0,88 = 11,264 → 11,26 €. Taxe : 11,26 × 1,05 = 11,823 → 11,82 €. »

Étape erronée : arrondi à 11,26 € avant d’appliquer la taxe.

Correction : garder 11,264 puis taxer : 11,264 × 1,05 = 11,8272 → 11,83 €.

Vérification par estimation : 12% de 12,80 ≈ 1,54, donc prix remisé ≈ 11,26. Puis +5% ≈ +0,56, donc ≈ 11,82–11,83 (les deux proches, mais on vise la précision au centime).

Exercices corrigés : séries courtes de pièges

Série 1 — Repérer l’erreur (sans recalcul complet)

Consigne : dire si la proposition est plausible et indiquer l’erreur en une phrase.

• 1) 2/3 + 1/6 = 3/9
• 2) « 0,5 = 5% »
• 3) « Si 8 tickets coûtent 12 €, alors 4 tickets coûtent 24 € »
• 4) « Le taux passe de 12% à 15% : hausse de 3% »
• 5) « 250 g = 0,250 kg, donc 250 g + 1 kg = 1,250 kg »

Corrections :

• 1) Non plausible : addition de fractions mal gérée (dénominateur commun non respecté). De plus 2/3 ≈ 0,67 donc la somme doit être > 0,67, alors que 3/9 = 1/3 ≈ 0,33.
• 2) Faux : 0,5 = 50%. Erreur de conversion décimal → % (il faut multiplier par 100).
• 3) Faux : si on achète moins de tickets, on paie moins. Erreur de sens (proportion inversée).
• 4) Formulation trompeuse : c’est une hausse de 3 points. En pourcentage relatif : (15 − 12) / 12 = 0,25 soit +25%.
• 5) Plausible : unités cohérentes (tout en kg) et addition correcte. Ici, c’est un exemple de bonne gestion des unités.

Série 2 — Calculer et justifier (pièges classiques)

• 1) Un article est affiché à 80 € avec une remise de 20%. Un client affirme payer 64 € car « 20% = 0,2 donc 80 − 0,2 = 79,8 ». Corriger.
• 2) Un mélange contient 1/4 de sirop et 1/3 d’eau (le reste est autre chose). Quel est le total sirop + eau ? Un élève répond 2/7. Corriger et vérifier par estimation.
• 3) Une carte de fidélité fait passer la remise de 5% à 8%. Exprimer l’augmentation en points puis en pourcentage relatif.
• 4) 2,5 L de peinture couvrent 30 m². Quelle quantité pour 42 m² ? Un élève divise 2,5 par 42 puis multiplie par 30. Diagnostiquer.

Corrections :

• 1) L’erreur est de soustraire un nombre (0,2) au lieu de soustraire 20% du prix. Calcul : 20% de 80 € = 80 × 0,20 = 16 €. Prix payé = 80 − 16 = 64 €. Vérification : 10% de 80 = 8, donc 20% = 16.
• 2) 1/4 ≈ 0,25 et 1/3 ≈ 0,33, somme ≈ 0,58, donc pas 2/7 ≈ 0,286. Correction : prendre un dénominateur commun 12 : 1/4 = 3/12, 1/3 = 4/12, total = 7/12.
• 3) Points : 8% − 5% = 3 points. Relatif : 3/5 = 0,6 donc la remise augmente de 60% (par rapport à la remise initiale).
• 4) Le calcul proposé inverse la proportion (il revient à multiplier par 30/42 au lieu de 42/30). Méthode : quantité par m² = 2,5 / 30 L/m², donc pour 42 m² : 2,5 × 42 / 30 = 3,5 L. Estimation : 42 est 1,4 fois 30, donc la peinture doit être 1,4 fois 2,5 ≈ 3,5 L.

Problèmes mélangés (avec justification et contrôle)

Problème 1 — Comparer deux offres (pourcentages et points)

Énoncé : Offre A : 30% de réduction. Offre B : 25% de réduction + un bon de 5 € sur un article à 40 €. Un client dit : « B est pareil que 30% car 25% + 5 = 30% ». Analyser et corriger.

Correction guidée :

• Étape erronée : additionner un pourcentage et une somme en euros (unités incompatibles).
• Calcul A : 30% de 40 € = 12 €, donc prix = 28 €.
• Calcul B : 25% de 40 € = 10 €, prix après remise = 30 €, puis bon de 5 € → 25 €.
• Vérification : B donne une réduction totale de 15 € sur 40 €, soit 37,5% (et non 30%).

Problème 2 — Recette et unités (fractions + proportion)

Énoncé : Une boisson contient 2/5 de jus. On prépare 1,5 L de boisson. Un élève calcule « jus = 2/5 × 1,5 = 0,6 L » puis écrit 600 mL, mais un autre écrit 0,06 L. Qui a raison ?

Correction guidée :

• Calcul : 2/5 = 0,4, donc jus = 0,4 × 1,5 = 0,6 L.
• Conversion : 0,6 L = 600 mL (car 1 L = 1000 mL). 0,06 L = 60 mL, trop petit.
• Vérification : 40% de 1,5 L, c’est un peu moins que la moitié (0,75 L), donc 0,6 L est cohérent.

Problème 3 — Arrondis et facture

Énoncé : Une facture comporte 3 articles identiques à 7,95 € avec 8% de remise, puis 20% de taxe sur le total remisé. Un élève arrondit le prix remisé d’un article à 7,30 € avant de multiplier par 3. Expliquer pourquoi c’est risqué et donner une méthode fiable.

Correction guidée :

• Risque : l’arrondi par article se cumule (ici multiplié par 3), puis la taxe amplifie l’écart.
• Méthode fiable : calculer avec précision sur le total : total initial = 3 × 7,95 = 23,85 €. Total remisé = 23,85 × 0,92 = 21,942 €. Total taxé = 21,942 × 1,20 = 26,3304 € → 26,33 €.
• Vérification : 8% de 24 € ≈ 1,92, donc remisé ≈ 22,08 ; puis +20% ≈ 26,50. Le résultat 26,33 est du bon ordre de grandeur.