Problèmes de la vie réelle : mélanger fractions, pourcentages et proportions pour décider

Objectif : décider dans des situations réelles en combinant plusieurs outils

Dans la vie courante, un même problème mélange souvent fractions, pourcentages et proportions. L’enjeu n’est pas seulement de « calculer », mais de choisir une méthode adaptée, de vérifier la cohérence (unités, ordre de grandeur) et de prendre une décision.

Une méthode de résolution réutilisable (check-list)

• Données : lister les nombres avec leurs unités (€, g, L, km, h…).
• Choix de la méthode : repérer ce qui relève d’une proportion (tableau/règle de trois), d’un pourcentage (remise, taux), d’une fraction (partie d’un tout, recette).
• Calcul : poser les étapes, convertir si nécessaire (g↔kg, cL↔L, min↔h), garder des unités.
• Vérification : ordre de grandeur (est-ce plausible ?), unités (résultat en € ? en L ?), contrôle rapide (ex. remise de 20% doit diminuer).
• Conclusion : décision claire (choix, quantité à acheter, temps estimé…).

Mise en situation 1 — Budget courses : remises + conversions

Problème

Vous préparez un budget pour des courses. Vous hésitez entre deux formats de céréales et vous avez un coupon de remise.

• Format A : 750 g à 3,60 €
• Format B : 1,2 kg à 5,40 €
• Coupon : 15% de remise sur un seul article
• Vous voulez acheter 2 kg de céréales au total (peu importe le nombre de boîtes).

Données →

• A : 0,75 kg pour 3,60 €
• B : 1,2 kg pour 5,40 €
• Remise : 15% sur 1 article
• Objectif : 2 kg

Choix de la méthode →

Comparer des offres nécessite un prix unitaire (€/kg), puis appliquer la remise sur l’article choisi. Ensuite, vérifier si la combinaison atteint 2 kg.

Calcul →

1) Prix au kg

• A : 3,60 € ÷ 0,75 kg = 4,80 €/kg
• B : 5,40 € ÷ 1,2 kg = 4,50 €/kg

Sans remise, B est moins cher au kg.

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2) Appliquer le coupon (15%) sur un article

• Si coupon sur A : prix A remisé = 3,60 × (1 − 0,15) = 3,60 × 0,85 = 3,06 €
• Si coupon sur B : prix B remisé = 5,40 × 0,85 = 4,59 €

3) Atteindre 2 kg

• Option 1 : 2 boîtes A = 2 × 0,75 = 1,5 kg (insuffisant)
• Option 2 : 1 B + 1 A = 1,2 + 0,75 = 1,95 kg (presque 2 kg, mais insuffisant si vous devez atteindre au moins 2 kg)
• Option 3 : 1 B + 2 A = 1,2 + 1,5 = 2,7 kg (suffisant)
• Option 4 : 2 B = 2,4 kg (suffisant)

4) Coût total selon l’emplacement du coupon

Comparer les options suffisantes :

• 2 B avec coupon sur un B : 4,59 + 5,40 = 9,99 € pour 2,4 kg
• 1 B + 2 A avec coupon sur B : 4,59 + 2×3,60 = 11,79 € pour 2,7 kg
• 1 B + 2 A avec coupon sur A : 5,40 + (3,06 + 3,60) = 12,06 € pour 2,7 kg

Vérification →

• Ordre de grandeur : sans remise, 2 B coûteraient 10,80 €. Avec 15% sur un article à 5,40 €, on enlève ~0,81 €, donc ~9,99 € : cohérent.
• Unités : prix en €, masses en kg.

Conclusion →

Pour atteindre au moins 2 kg au meilleur coût, choisir 2 boîtes B et appliquer le coupon sur l’une d’elles : 9,99 € pour 2,4 kg.

Variante (à refaire)

• Remplacez 15% par 10% ou 25%.
• Changez l’objectif à 1,8 kg ou 3 kg.
• Ajoutez une contrainte : « maximum 10 € » et décidez si c’est possible.

Mise en situation 2 — Cuisine : fractions + règle de trois

Problème

Une recette de pâte à crêpes pour 4 personnes utilise :

• 250 g de farine
• 1/2 L de lait
• 2 œufs
• 30 g de sucre

Vous cuisinez pour 6 personnes et vous n’avez qu’un verre doseur en cL. Combien faut-il de lait en cL ?

Données →

• Recette de base : 4 personnes
• Nouvelle quantité : 6 personnes
• Lait : 1/2 L

Choix de la méthode →

Situation proportionnelle : on multiplie toutes les quantités par le même facteur. Le lait est donné en fraction de litre, puis on convertit en cL.

Calcul →

1) Facteur d’agrandissement

Passer de 4 à 6 personnes : facteur = 6/4 = 3/2.

2) Lait

Lait de base = 1/2 L. Nouveau lait = (1/2) × (3/2) = 3/4 L.

3) Conversion en cL

1 L = 100 cL, donc 3/4 L = 3/4 × 100 cL = 75 cL.

Vérification →

• Ordre de grandeur : on augmente de 50% (de 4 à 6). 1/2 L = 50 cL, +50% → 75 cL : cohérent.
• Unités : résultat en cL, adapté au verre doseur.

Conclusion →

Il faut 75 cL de lait pour 6 personnes.

Variante (à refaire)

• Pour 5 personnes (facteur 5/4) : calculez le lait en cL.
• Pour 10 personnes : calculez farine et lait, puis vérifiez si 1 L suffit.

Mise en situation 3 — Bricolage : proportions de mélange

Problème

Vous préparez une peinture en mélangeant peinture blanche et colorant selon la proportion 5 : 2 (5 parts de blanc pour 2 parts de colorant). Vous avez 700 mL de peinture blanche. Combien de colorant faut-il ? Et quel volume total obtiendrez-vous ?

Données →

• Ratio blanc:colorant = 5:2
• Blanc disponible = 700 mL

Choix de la méthode →

Utiliser une proportion : 5 parts correspondent à 700 mL, donc 1 part vaut 700/5 mL, puis on calcule 2 parts.

Calcul →

1) Valeur d’une part

1 part = 700 ÷ 5 = 140 mL.

2) Colorant (2 parts)

Colorant = 2 × 140 = 280 mL.

3) Volume total

Total = 700 + 280 = 980 mL.

Vérification →

• Ordre de grandeur : le colorant représente 2 parts sur 7, soit environ 2/7 ≈ 0,286 du total. Ici 280/980 ≈ 0,286 : cohérent.
• Unités : tout en mL.

Conclusion →

Il faut 280 mL de colorant et vous obtiendrez 980 mL de mélange.

Variante (à refaire)

• Changez le ratio en 3:1 avec 600 mL de blanc.
• Vous voulez 1,5 L de mélange au ratio 5:2 : calculez les volumes de chaque composant.

Mise en situation 4 — Trajets : vitesse et consommation

Problème

Vous partez en voiture pour un trajet de 180 km. Vous roulez les 3/5 du trajet à 90 km/h et le reste à 120 km/h. La voiture consomme 6,5 L/100 km. Estimez le temps total et la quantité de carburant consommée.

Données →

• Distance totale : 180 km
• Partie 1 : 3/5 du trajet à 90 km/h
• Partie 2 : 2/5 du trajet à 120 km/h
• Conso : 6,5 L pour 100 km

Choix de la méthode →

Fraction pour découper la distance, puis formule temps = distance/vitesse. Pour le carburant : proportion (L/100 km) appliquée à la distance totale.

Calcul →

1) Distances par portion

• Distance 1 = (3/5) × 180 = 108 km
• Distance 2 = (2/5) × 180 = 72 km

2) Temps par portion

• Temps 1 = 108 ÷ 90 h = 1,2 h = 1 h 12 min
• Temps 2 = 72 ÷ 120 h = 0,6 h = 36 min

Temps total = 1,2 + 0,6 = 1,8 h = 1 h 48 min.

3) Carburant

6,5 L/100 km signifie 6,5 × (distance/100).

Carburant = 6,5 × (180/100) = 6,5 × 1,8 = 11,7 L.

Vérification →

• Ordre de grandeur temps : à ~100 km/h de moyenne sur 180 km, on attend ~1,8 h : cohérent.
• Ordre de grandeur carburant : ~7 L/100 sur 200 km ≈ 14 L ; ici 6,5 sur 180 km ≈ 12 L : cohérent.
• Unités : temps en h/min, carburant en L.

Conclusion →

Le trajet dure environ 1 h 48 min et consomme environ 11,7 L de carburant.

Variante (à refaire)

• Remplacez 3/5 par 2/3 et gardez 180 km.
• Ajoutez un arrêt de 15 min : donnez le temps « porte à porte ».
• Conso différente sur autoroute : 6,0 L/100 sur la partie 1 et 7,2 L/100 sur la partie 2.

Mise en situation 5 — Comparaison d’offres : prix unitaire + pourcentage

Problème

Vous achetez du papier essuie-tout. Deux offres :

• Pack X : 8 rouleaux, 120 feuilles/rouleau, prix 6,40 €
• Pack Y : 6 rouleaux, 160 feuilles/rouleau, prix 6,00 €

De plus, le magasin propose 20% de remise sur le pack le plus cher (au prix affiché). Quelle offre est la meilleure en prix par 100 feuilles ?

Données →

• X : 8 × 120 feuilles, 6,40 €
• Y : 6 × 160 feuilles, 6,00 €
• Remise 20% sur le pack le plus cher (prix affiché)

Choix de la méthode →

Calculer le nombre total de feuilles, puis un prix unitaire (€/100 feuilles). Appliquer ensuite la remise sur le pack concerné et comparer à nouveau.

Calcul →

1) Total de feuilles

• X : 8 × 120 = 960 feuilles
• Y : 6 × 160 = 960 feuilles

Les deux packs contiennent le même total.

2) Identifier le pack le plus cher

• X : 6,40 €
• Y : 6,00 €

Le plus cher est X, donc la remise s’applique à X.

3) Prix de X après remise

X remisé = 6,40 × (1 − 0,20) = 6,40 × 0,80 = 5,12 €.

4) Prix par 100 feuilles

• X remisé : 5,12 € pour 960 feuilles → (5,12 ÷ 960) × 100 = 0,533… € ≈ 0,53 € / 100 feuilles
• Y : 6,00 € pour 960 feuilles → (6,00 ÷ 960) × 100 = 0,625 € ≈ 0,63 € / 100 feuilles

Vérification →

• Ordre de grandeur : 20% de 6,40 € = 1,28 €, donc 6,40 − 1,28 = 5,12 € : cohérent.
• Comme les feuilles sont identiques (960), le moins cher au total est forcément le moins cher au 100 feuilles : X remisé doit gagner, ce qui est le cas.
• Unités : €/100 feuilles.

Conclusion →

Avec la remise, le pack X est le plus avantageux : environ 0,53 € pour 100 feuilles contre 0,63 € pour Y.

Variante (à refaire)

• Si la remise de 20% s’applique au pack Y à la place, recalculer et décider.
• Changer les contenus : X = 10×100, Y = 6×180, mêmes prix ; comparer en €/100 feuilles.
• Ajouter une offre « 2 packs achetés = 10% sur le total » : quel panier minimisant le coût pour 2000 feuilles ?

Exercices d’entraînement (corrigés) : refaire le raisonnement sur d’autres nombres

Exercice 1 — Courses (remise + seuil)

Énoncé : Un café existe en 250 g à 4,25 € et en 1 kg à 15,60 €. Vous avez un bon de 12% sur un article. Vous voulez au moins 1,5 kg. Quelle combinaison est la moins chère ?

Corrigé (données → méthode → calcul → vérification → conclusion)

• Données : 0,25 kg à 4,25 € ; 1 kg à 15,60 € ; remise 12% sur 1 article ; objectif ≥ 1,5 kg.
• Méthode : prix/kg puis tester des combinaisons atteignant le seuil, appliquer la remise sur l’article le plus intéressant à remiser.
• Calcul :
  • Prix/kg 250 g : 4,25 ÷ 0,25 = 17,00 €/kg
  • Prix/kg 1 kg : 15,60 €/kg (meilleur)
  • Combinaisons ≥ 1,5 kg : (1 kg + 2×0,25 kg) = 1,5 kg ; ou 2×1 kg = 2 kg
  • Coût (1 kg + 2 petits) : 15,60 + 2×4,25 = 24,10 €
  • Appliquer 12% sur 1 kg : 15,60×0,88 = 13,728 € → total = 13,728 + 8,50 = 22,228 € ≈ 22,23 €
  • Appliquer 12% sur un petit : 4,25×0,88 = 3,74 € → total = 15,60 + 3,74 + 4,25 = 23,59 €
  • Option 2×1 kg avec remise sur un paquet : 15,60 + 13,728 = 29,328 € ≈ 29,33 €
• Vérification : la remise sur 15,60 € économise ~1,87 €, plus que sur 4,25 € (~0,51 €) : logique.
• Conclusion : acheter 1 paquet de 1 kg + 2 paquets de 250 g et appliquer la remise sur le 1 kg : environ 22,23 € pour 1,5 kg.

Exercice 2 — Cuisine (fraction + conversion)

Énoncé : Une soupe pour 3 personnes demande 2/3 L d’eau. Vous cuisinez pour 8 personnes. Donnez la quantité d’eau en mL.

Corrigé

• Données : base 3 pers ; cible 8 pers ; eau 2/3 L.
• Méthode : facteur 8/3, puis multiplier, puis convertir L→mL.
• Calcul : eau = (2/3)×(8/3) = 16/9 L = 1 + 7/9 L. En mL : (16/9)×1000 = 1777,7… mL ≈ 1780 mL.
• Vérification : on multiplie par ~2,67 ; 0,67 L × 2,67 ≈ 1,78 L : cohérent.
• Conclusion : environ 1780 mL d’eau.

Exercice 3 — Mélange (ratio)

Énoncé : Un mortier se prépare au ratio sable:ciment = 4:1. Vous avez 12 kg de sable. Combien de ciment ?

Corrigé

• Données : 4 parts sable = 12 kg.
• Méthode : 1 part = 12/4, puis 1 part ciment.
• Calcul : 1 part = 3 kg → ciment = 3 kg.
• Vérification : ciment = 1/4 du sable : 12/4 = 3 : cohérent.
• Conclusion : 3 kg de ciment.

Exercice 4 — Trajet (fraction de distance + temps)

Énoncé : Sur 240 km, vous faites 1/4 à 80 km/h et le reste à 110 km/h. Calculez le temps total.

Corrigé

• Données : 240 km ; 1/4 à 80 ; 3/4 à 110.
• Méthode : découper la distance, puis temps = distance/vitesse.
• Calcul : d1 = 60 km → t1 = 60/80 = 0,75 h = 45 min. d2 = 180 km → t2 = 180/110 = 1,636… h ≈ 1 h 38 min. Total ≈ 2 h 23 min.
• Vérification : moyenne proche de 100 km/h sur 240 km → ~2,4 h : cohérent.
• Conclusion : environ 2 h 23 min.

Exercice 5 — Offres (prix unitaire + remise)

Énoncé : Lessive A : 1,5 L à 7,80 €. Lessive B : 2 L à 9,60 €. Remise de 10% sur B. Comparez en €/L.

Corrigé

• Données : A 1,5 L 7,80 ; B 2 L 9,60 ; remise 10% sur B.
• Méthode : calculer €/L, appliquer remise, comparer.
• Calcul : A : 7,80/1,5 = 5,20 €/L. B sans remise : 9,60/2 = 4,80 €/L. B remisé : 9,60×0,90 = 8,64 € → 8,64/2 = 4,32 €/L.
• Vérification : une remise doit baisser le prix/L : 4,80 → 4,32 : cohérent.
• Conclusion : B est la meilleure offre : 4,32 €/L.