Proporcionalidad, regla de tres y escalas

Qué significa “proporcionalidad” en la vida diaria

Dos magnitudes son proporcionales cuando cambian “a la vez” siguiendo una regla fija. La idea clave es identificar si al multiplicar una, la otra también se multiplica (o se divide) por el mismo factor.

Proporcionalidad directa

Es directa cuando al aumentar una magnitud, la otra aumenta en la misma proporción. Se reconoce porque el cociente se mantiene constante: y/x es el mismo en todos los casos.

• Ejemplo (precio por unidad): Si 3 cuadernos cuestan 6 €, entonces el precio por cuaderno es 6/3 = 2 €. Para 10 cuadernos: 10 × 2 = 20 €.
• Ejemplo (receta): Si para 4 personas usas 300 g de arroz, para 8 personas usarías el doble: 600 g.

Proporcionalidad inversa

Es inversa cuando al aumentar una magnitud, la otra disminuye de forma que el producto se mantiene constante: x·y es el mismo.

• Ejemplo (tiempo y velocidad en un trayecto fijo): Si recorres una distancia fija y duplicas la velocidad, el tiempo se reduce a la mitad.
• Ejemplo (trabajadores y tiempo): Para un trabajo igual, más personas suelen implicar menos tiempo (si trabajan al mismo ritmo).

Cómo detectar si un problema es de proporcionalidad (y de qué tipo)

Antes de calcular, conviene hacer una comprobación rápida con preguntas simples:

• ¿Si una magnitud se duplica, la otra también se duplica? Probablemente es directa.
• ¿Si una magnitud se duplica, la otra se reduce a la mitad? Probablemente es inversa.
• ¿Hay una cantidad fija que se suma o se resta? Entonces normalmente no es proporcionalidad (por ejemplo, “tarifa fija + consumo”).

Regla de tres simple (directa): guía práctica paso a paso

La regla de tres sirve para hallar un valor desconocido cuando tienes tres datos de una relación proporcional. En la regla de tres simple directa, las magnitudes crecen o bajan juntas.

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Pasos

• 1) Define las dos magnitudes (por ejemplo: “cantidad” y “precio”).
• 2) Coloca los datos en una tabla de dos filas, alineando cada par que corresponde.
• 3) Identifica el valor desconocido y deja una “x”.
• 4) Aplica el producto cruzado: si a/b = c/x, entonces x = (b·c)/a.
• 5) Revisa el sentido: si aumentó la cantidad, el resultado debería aumentar (en directa).

Ejemplo 1: coste por cantidad

Si 5 metros de cable cuestan 18 €, ¿cuánto cuestan 8 metros?

metros:   5      8  (x en precio del 8) precio:   18     x

Relación directa (más metros, más coste). Calcula:

x = (18 × 8) / 5 = 144/5 = 28,8 €

Comprobación rápida: 8 es más que 5, así que el precio debe ser mayor que 18 €. 28,8 € tiene sentido.

Ejemplo 2: consumo proporcional

Una impresora gasta 120 ml de tinta para 300 páginas. ¿Cuánta tinta para 450 páginas?

páginas:  300     450 tinta:    120     x

x = (120 × 450) / 300 = 120 × 1,5 = 180 ml

Regla de tres simple (inversa): guía práctica paso a paso

En la regla de tres inversa, cuando una magnitud sube, la otra baja. Aquí se conserva el producto: x·y = constante.

Pasos

• 1) Verifica que sea inversa con una pregunta: “si duplico una, ¿la otra se reduce a la mitad?”
• 2) Organiza la tabla con pares correspondientes.
• 3) Usa la idea de producto constante: a·b = c·x, entonces x = (a·b)/c.
• 4) Revisa el sentido: si aumentan “recursos” (velocidad, personas), el tiempo debería bajar.

Ejemplo: personas y tiempo

4 personas tardan 15 horas en ordenar un almacén. ¿Cuánto tardarán 6 personas (mismo rendimiento)?

personas: 4      6 tiempo:   15     x

Es inversa (más personas, menos tiempo). Producto constante:

4 × 15 = 6 × x  →  x = (4 × 15) / 6 = 60/6 = 10 horas

Regla de tres compuesta: cuando intervienen más de dos magnitudes

La regla de tres compuesta aparece cuando el resultado depende de varias magnitudes a la vez (por ejemplo: “personas”, “horas al día” y “días”). La clave es decidir para cada magnitud si la relación con la incógnita es directa o inversa.

Método práctico (por factores)

• 1) Elige una “situación base” con un resultado conocido.
• 2) Escribe el resultado buscado como: resultado base × (factor 1) × (factor 2) × …
• 3) Para cada magnitud: si al aumentar esa magnitud el resultado aumenta, el factor va en el numerador (directa); si al aumentar esa magnitud el resultado disminuye, el factor va en el denominador (inversa).
• 4) Calcula y revisa el sentido con una estimación.

Ejemplo: producción con personas y tiempo

Una cuadrilla de 3 personas pinta 120 m² en 8 horas. ¿Cuántos m² pintarán 5 personas en 6 horas (mismo ritmo)?

La producción (m²) es directa con personas y directa con horas.

Producción buscada = 120 × (5/3) × (6/8) = 120 × (5/3) × (3/4)

= 120 × (5/4) = 150 m²

Comprobación: hay más personas (sube) pero menos horas (baja). El resultado final queda algo mayor que 120; 150 es razonable.

Escalas: cómo leer y usar mapas, planos y maquetas

Una escala compara una medida en un dibujo con la medida real. Se expresa como una razón del tipo 1:n.

• Escala 1:50 significa: 1 unidad en el plano representa 50 unidades reales.
• Escala 1:1000 significa: 1 cm en el mapa representa 1000 cm reales (es decir, 10 m).

Pasos para resolver problemas de escala

• 1) Identifica la escala (por ejemplo, 1:200).
• 2) Asegura unidades coherentes: trabaja todo en cm, o todo en m, pero no mezcles.
• 3) Decide la dirección: del plano a la realidad (multiplicas por n) o de la realidad al plano (divides por n).
• 4) Calcula y convierte al final a la unidad que te pidan.

Ejemplo 1: del plano a la realidad

En un plano a escala 1:50, una pared mide 7,2 cm. ¿Cuánto mide en la realidad?

Del plano a la realidad: multiplicas por 50.

7,2 cm × 50 = 360 cm = 3,6 m

Ejemplo 2: de la realidad al plano

Quieres dibujar una mesa real de 1,4 m en un plano a escala 1:20. ¿Cuánto debe medir en el plano?

Primero pasa a cm: 1,4 m = 140 cm. De la realidad al plano: divides por 20.

140 cm / 20 = 7 cm

Ejemplo 3: escala en mapas (distancia)

Un mapa tiene escala 1:25 000. Dos puntos están separados 4 cm en el mapa. ¿Qué distancia real es?

1 cm representa 25 000 cm reales. Entonces:

4 cm × 25 000 = 100 000 cm = 1 000 m = 1 km

Errores típicos y cómo evitarlos

• Confundir directa con inversa: haz la prueba mental de “duplicar”. Si al duplicar una magnitud la otra también se duplica, es directa; si se reduce a la mitad, es inversa.
• Mezclar unidades en escalas: convierte antes (por ejemplo, todo a cm) y convierte al final.
• Aplicar producto cruzado sin ordenar: alinea bien los pares correspondientes en la tabla antes de calcular.
• No revisar el sentido del resultado: una estimación rápida (¿debería subir o bajar?) detecta muchos fallos.