Potencias, raíces y notación para simplificar cálculos

Qué son las potencias (y por qué simplifican cálculos)

Una potencia es una forma compacta de escribir multiplicaciones repetidas del mismo número. Se escribe como aⁿ, donde a es la base y n es el exponente.

• 2⁵ significa 2·2·2·2·2 = 32.
• 10³ significa 10·10·10 = 1000.
• 5¹ = 5 (cualquier número a la 1 queda igual).
• 7⁰ = 1 (cualquier número distinto de 0 elevado a 0 vale 1).

Potencias de 10 y notación científica (para números muy grandes o muy pequeños)

Las potencias de 10 son especialmente útiles porque “mueven” la coma decimal. La notación científica escribe un número como m·10ⁿ, donde m está entre 1 y 10 (por ejemplo, 3,2) y n es un entero.

• 4 500 000 = 4,5·10⁶
• 0,00072 = 7,2·10^-4

Interpretación rápida: un exponente positivo hace el número más grande (multiplicas por 10 varias veces) y uno negativo lo hace más pequeño (divides por 10 varias veces).

Leyes de los exponentes (las reglas que más ahorran tiempo)

Estas reglas permiten simplificar expresiones sin expandir multiplicaciones largas. Funcionan para bases iguales (salvo indicaciones).

1) Producto de potencias con la misma base

a^m · aⁿ = a^m+n

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Ejemplo: 2³·2⁴ = 2⁷ = 128.

2) Cociente de potencias con la misma base

a^m / aⁿ = a^m-n (con a ≠ 0)

Ejemplo: 5⁶/5² = 5⁴ = 625.

3) Potencia de una potencia

(a^m)ⁿ = a^m·n

Ejemplo: (3²)⁴ = 3⁸ = 6561.

4) Potencia de un producto

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

Ejemplo: (2·5)³ = 2³·5³ = 8·125 = 1000.

5) Potencia de un cociente

(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ (con b ≠ 0)

Ejemplo: (6/3)² = 6²/3² = 36/9 = 4.

6) Exponentes negativos (cómo “bajan” al denominador)

a^-n = 1/aⁿ (con a ≠ 0)

Ejemplos: 2^-3 = 1/2³ = 1/8; (1/5)^-2 = 5² = 25.

Guía práctica paso a paso para simplificar con exponentes

Cuando veas una expresión con potencias, sigue este orden:

• Paso 1: Identifica bases iguales (mismo número o misma expresión entre paréntesis).
• Paso 2: Si hay multiplicación con la misma base, suma exponentes.
• Paso 3: Si hay división con la misma base, resta exponentes.
• Paso 4: Si hay potencia de potencia, multiplica exponentes.
• Paso 5: Convierte exponentes negativos a fracciones (pasan al denominador o numerador).
• Paso 6: Simplifica números finales si conviene, sin expandir de más.

Ejemplo completo: simplifica (2³·2^-5) / 2^-2

• Paso 1: misma base 2.
• Paso 2: en el numerador, 2³·2^-5 = 2^3+(-5) = 2^-2.
• Paso 3: 2^-2 / 2^-2 = 2^-2-(-2) = 2⁰ = 1.

Raíces: la operación inversa de las potencias

La raíz cuadrada de un número es el valor que, al elevarlo al cuadrado, devuelve el número original. Se escribe √a. Más general: la raíz n-ésima se escribe ⁿ√a y equivale a elevar a la potencia 1/n.

• √49 = 7 porque 7² = 49.
• ³√27 = 3 porque 3³ = 27.
• ⁴√16 = 2 porque 2⁴ = 16.

Raíces como exponentes fraccionarios

ⁿ√a = a^1/n y, más general, a^m/n = (ⁿ√a)^m = ⁿ√(a^m).

Ejemplos:

• 16^1/2 = √16 = 4.
• 27^2/3 = (³√27)² = 3² = 9.
• 81^3/4 = (⁴√81)³ = 3³ = 27.

Propiedades útiles de las raíces (para simplificar)

Para a ≥ 0 y b ≥ 0:

• √(ab) = √a · √b
• √(a/b) = √a / √b (con b > 0)

Ejemplos:

• √(36·25) = √36·√25 = 6·5 = 30.
• √(49/64) = √49/√64 = 7/8.

Guía práctica paso a paso para simplificar una raíz

Objetivo: “sacar” factores cuadrados perfectos (o potencias perfectas) de dentro de la raíz.

• Paso 1: Factoriza el número dentro de la raíz en un producto (si es posible) de un cuadrado perfecto por otro número.
• Paso 2: Separa la raíz del producto: √(k·m) = √k·√m.
• Paso 3: Calcula √k si k es cuadrado perfecto.
• Paso 4: Deja el resto dentro de la raíz si no es cuadrado perfecto.

Ejemplo: simplifica √72

• Paso 1: 72 = 36·2.
• Paso 2: √72 = √(36·2) = √36·√2.
• Paso 3: √36 = 6.
• Paso 4: resultado: 6√2.

Notación y trucos para simplificar cálculos sin expandir

1) Factor común con potencias

Cuando hay términos con la misma base, a veces conviene “sacar” la menor potencia común.

Ejemplo: 3⁵ + 3³

• La menor potencia es 3³.
• 3⁵ + 3³ = 3³(3² + 1) = 27(9+1) = 270.

2) Reescritura para cancelar en fracciones algebraicas

En expresiones con variables, las leyes de exponentes permiten cancelar factores sin calcular valores numéricos.

Ejemplo: (x⁷y²) / (x³y⁵)

• x⁷/x³ = x⁴
• y²/y⁵ = y^-3 = 1/y³
• Resultado: x⁴/y³

3) Cuidado con paréntesis y signos

Los paréntesis cambian el significado.

• (-2)⁴ = 16 (potencia de un número negativo con exponente par).
• -2⁴ = -(2⁴) = -16 (sin paréntesis, el exponente afecta solo al 2).
• (ab)² = a²b², pero a b² significa a·(b²), no (ab)².

4) Estimación rápida con potencias (orden de magnitud)

Las potencias de 10 ayudan a estimar resultados sin calculadora, útil para revisar si un número “tiene sentido”.

Ejemplo: 3,2·10⁵ dividido entre 8·10²

• Separa: (3,2/8)·10^5-2 = 0,4·10³ = 4·10² = 400.

Ejercicios guiados (con procedimiento)

1) Simplifica: (a²b^-3)·(a^-5b⁴)

• Para a: a²·a^-5 = a^-3 = 1/a³.
• Para b: b^-3·b⁴ = b¹ = b.
• Resultado: b/a³.

2) Simplifica: √(200)

• 200 = 100·2.
• √200 = √100·√2 = 10√2.

3) Pasa a notación científica: 0,00000356

• Mueve la coma hasta obtener un número entre 1 y 10: 3,56.
• Se movió 6 lugares hacia la derecha, por eso el exponente es -6.
• Resultado: 3,56·10^-6.

4) Simplifica: (9x²y)/(3xy³)

• Coeficientes: 9/3 = 3.
• x: x²/x = x¹ = x.
• y: y/y³ = y^-2 = 1/y².
• Resultado: 3x/y².