Qué es el álgebra y por qué “habla con letras”
El álgebra es una forma de escribir relaciones usando símbolos (letras y signos) para representar números que no conocemos todavía o que pueden cambiar. Una letra como x puede significar “un número cualquiera” o “el número que busco”. Esto permite describir situaciones reales sin tener que poner un valor desde el principio.
Ejemplo: si un servicio cuesta una cuota fija de 12 y además 3 por cada uso, el costo total se puede escribir como 12 + 3x, donde x es la cantidad de usos.
Vocabulario mínimo del lenguaje simbólico
Variable, constante y coeficiente
- Variable: la letra que puede cambiar o que queremos encontrar (x, y, t).
- Constante: número fijo (por ejemplo, 12).
- Coeficiente: número que multiplica a la variable (en 3x, el coeficiente es 3).
Ejemplo: en 5x + 2, la variable es x, el coeficiente es 5 y la constante es 2.
Términos y expresiones
- Término: cada “pieza” separada por + o −. En 7x − 4 + 2x hay tres términos: 7x, −4 y 2x.
- Expresión: combinación de términos sin signo de igualdad. Ejemplo: 2(x − 1) + 3.
- Ecuación: igualdad entre dos expresiones. Ejemplo: 2x + 1 = 9.
Paréntesis: el “orden de trabajo”
Los paréntesis indican que lo de adentro se trata como un bloque. Cambian el resultado si hay multiplicación o si hay un signo menos delante.
- 3(x + 2) significa 3 multiplicado por todo el paréntesis.
- −(x − 5) significa que el signo menos afecta a cada término dentro.
Reglas de oro para manipular expresiones sin errores
1) Solo se suman/restan “términos semejantes”
Se pueden combinar términos que tengan la misma parte literal (misma variable y mismo exponente). En álgebra básica, suele ser la misma letra.
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- Se puede: 3x + 5x = 8x
- No se puede: 3x + 5 = (no se simplifica más)
- Con dos variables: 2x + 3y + 4x = 6x + 3y
2) El signo menos es parte del término
Conviene “pegar” el signo al número para evitar confusiones.
- En x − 7, el término es −7.
- En −3x, el término completo es −3x.
3) Distribuir (propiedad distributiva) con cuidado
La distributiva dice: a(b + c) = ab + ac. Se usa para quitar paréntesis cuando hay multiplicación.
Ejemplo 1: 4(x + 3)
- Multiplica 4 por cada término: 4·x y 4·3
- Resultado: 4x + 12
Ejemplo 2 (con resta): 2(5 − x)
- 2·5 = 10
- 2·(−x) = −2x
- Resultado: 10 − 2x
Ejemplo 3 (menos delante): −(x − 5)
- Piensa en −1 multiplicando: −1·x = −x
- −1·(−5) = +5
- Resultado: −x + 5
4) “Deshacer” operaciones con inversas
Para aislar la variable en una ecuación, se aplican operaciones inversas: sumar/restar, multiplicar/dividir. La regla práctica es hacer la misma operación en ambos lados de la igualdad.
- Para quitar un +7, restas 7.
- Para quitar un ×3, divides entre 3.
Guía paso a paso: resolver ecuaciones lineales (una variable)
Una ecuación lineal típica tiene la variable sin potencias (por ejemplo, x, no x²). El objetivo es dejar x = número.
Plantilla de trabajo (método seguro)
- Paso 1: Simplifica cada lado (distribuye paréntesis y combina términos semejantes).
- Paso 2: Reúne las x en un lado (sumando o restando el mismo término en ambos lados).
- Paso 3: Reúne los números en el otro lado.
- Paso 4: Deja x sola dividiendo por el coeficiente.
- Paso 5: Verifica sustituyendo el valor en la ecuación original.
Ejemplo A: ecuación simple
Resolver: 2x + 1 = 9
- Paso 1: ya está simplificada.
- Paso 2 y 3: resta 1 en ambos lados: 2x = 8
- Paso 4: divide entre 2: x = 4
- Paso 5: verifica: 2·4 + 1 = 9 (correcto).
Ejemplo B: con paréntesis (distributiva)
Resolver: 3(x − 2) + 4 = 16
- Paso 1: distribuye: 3x − 6 + 4 = 16
- Combina números: 3x − 2 = 16
- Paso 3: suma 2 en ambos lados: 3x = 18
- Paso 4: divide entre 3: x = 6
- Paso 5: verifica: 3(6 − 2) + 4 = 3·4 + 4 = 16 (correcto).
Ejemplo C: variable en ambos lados
Resolver: 5x − 7 = 2x + 8
- Paso 1: ya está simplificada.
- Paso 2: resta 2x en ambos lados: 3x − 7 = 8
- Paso 3: suma 7 en ambos lados: 3x = 15
- Paso 4: divide entre 3: x = 5
- Paso 5: verifica: 5·5 − 7 = 18 y 2·5 + 8 = 18 (correcto).
Errores comunes y cómo evitarlos
Confundir 2x con x²
- 2x significa 2·x (multiplicación).
- x² significa x·x (potencia).
Ejemplo: si x = 3, entonces 2x = 6, pero x² = 9.
Olvidar distribuir a todos los términos
En 4(x + 2), no es 4x + 2, sino 4x + 8. Una técnica: marca mentalmente “dos multiplicaciones”: 4·x y 4·2.
Perder el signo al mover términos
En realidad no “mueves” términos: haces la misma operación en ambos lados. Eso reduce errores de signo.
Ejemplo: en vez de decir “el −7 pasa sumando”, escribe: suma 7 en ambos lados.
Traducción rápida: del texto a la expresión algebraica
Frases típicas
- “El doble de un número” → 2x
- “Tres más que un número” → x + 3
- “Tres menos que un número” → x − 3
- “Tres menos un número” → 3 − x (ojo: no es lo mismo que x − 3)
- “La mitad de un número” → x/2
- “El triple de la diferencia entre x y 5” → 3(x − 5)
Mini-ejercicios de modelado (con solución)
1) “Pago 20 de base y 4 por cada hora h” → 20 + 4h
2) “Tengo x euros y gasto 15” → x − 15
3) “Después de repartir 30 entre 3 personas, a cada una le quedan x” (planteo) → 30/3 = x
Comprobación: el hábito que te da seguridad
En álgebra básica, comprobar es sustituir tu resultado en la ecuación original. Si ambos lados dan el mismo número, tu manipulación fue correcta. Si no coincide, revisa primero: signos, distributiva y combinación de términos semejantes.
