Ecuaciones lineales simples y despejes

Qué es una ecuación lineal simple

Una ecuación lineal simple es una igualdad donde la incógnita (por ejemplo, x) aparece con exponente 1 y no está multiplicada por otra incógnita. Su objetivo es encontrar el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad.

Ejemplos típicos: x + 5 = 12, 3x = 21, 2x - 4 = 10, (x/3) + 2 = 7.

Idea clave: “mantener el equilibrio”

Puedes pensar la ecuación como una balanza: lo que hagas en un lado, debes hacerlo también en el otro para que la igualdad se mantenga. Resolver es ir transformando la ecuación hasta dejar la incógnita sola.

Despejar: aislar la incógnita con operaciones inversas

Despejar significa dejar la incógnita sola en un lado del signo =. Para lograrlo, se usan operaciones inversas en orden adecuado:

• Sumar ↔ Restar
• Multiplicar ↔ Dividir
• “Algo + a” se deshace con “−a”
• “Algo × a” se deshace con “÷a” (si a no es 0)

Regla práctica: elimina primero sumas/restas que estén “fuera” de la incógnita y después multiplicaciones/divisiones que estén “pegadas” a ella. Si hay paréntesis, primero se simplifica o se distribuye.

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Guía paso a paso para resolver ecuaciones lineales

Paso 1: simplifica cada lado si se puede

Combina términos semejantes, elimina paréntesis si conviene y reduce fracciones si aparecen. La meta es que la ecuación quede lo más limpia posible antes de despejar.

Ejemplo: 2x + 3 + 5 = 20 se simplifica a 2x + 8 = 20.

Paso 2: mueve términos para dejar la incógnita en un lado

Si hay x en ambos lados, conviene llevar todas las x a un lado y los números al otro.

Ejemplo: 5x + 2 = 2x + 14. Restas 2x en ambos lados: 3x + 2 = 14. Luego restas 2: 3x = 12.

Paso 3: aísla la incógnita

Cuando tengas algo como ax = b, divides entre a (siempre que a ≠ 0): x = b/a.

Siguiendo el ejemplo: 3x = 12 → divides entre 3 → x = 4.

Paso 4: verifica sustituyendo

Sustituye el valor encontrado en la ecuación original y comprueba que ambos lados dan lo mismo. Esto detecta errores de signo, distribución o cálculo.

Verificación: en 5x + 2 = 2x + 14, si x = 4: izquierda 5(4)+2=22, derecha 2(4)+14=22.

Casos frecuentes con ejemplos resueltos

1) Ecuaciones del tipo x + a = b

Ejemplo: x + 7 = 19.

x + 7 = 19  (resta 7 en ambos lados) x = 12

Comprobación: 12 + 7 = 19.

2) Ecuaciones del tipo ax = b

Ejemplo: 6x = 54.

6x = 54  (divide entre 6) x = 9

Comprobación: 6·9 = 54.

3) Ecuaciones del tipo ax + b = c

Ejemplo: 4x - 3 = 17.

4x - 3 = 17  (suma 3) 4x = 20  (divide entre 4) x = 5

Comprobación: 4·5 - 3 = 17.

4) La incógnita en el denominador (fracciones simples)

Ejemplo: x/5 + 2 = 9.

x/5 + 2 = 9  (resta 2) x/5 = 7  (multiplica por 5) x = 35

Comprobación: 35/5 + 2 = 7 + 2 = 9.

5) Paréntesis y distribución

Ejemplo: 3(x - 2) = 18.

Opción A (dividir primero):

3(x - 2) = 18  (divide entre 3) x - 2 = 6  (suma 2) x = 8

Opción B (distribuir):

3(x - 2) = 18  → 3x - 6 = 18  (suma 6) 3x = 24  (divide entre 3) x = 8

Ambas son válidas; elige la que te resulte más cómoda.

6) La incógnita en ambos lados

Ejemplo: 7x + 1 = 3x + 25.

7x + 1 = 3x + 25  (resta 3x) 4x + 1 = 25  (resta 1) 4x = 24  (divide entre 4) x = 6

Comprobación: izquierda 7·6+1=43, derecha 3·6+25=43.

Despejes útiles en fórmulas (aislar una variable)

En la vida diaria y el trabajo aparecen fórmulas donde necesitas despejar una variable específica. El procedimiento es el mismo: aplicar operaciones inversas para dejar la variable sola.

Ejemplo 1: despejar el precio sin IVA

Si el total con IVA es T y el IVA es 21%, una forma común de escribirlo es T = P · 1.21, donde P es el precio sin IVA. Despeja P:

T = P·1.21  (divide entre 1.21) P = T/1.21

Si T = 121, entonces P = 121/1.21 = 100.

Ejemplo 2: despejar tiempo en una relación lineal

Si un coste total se modela como C = 15t + 30 (15 por hora más 30 fijos) y quieres despejar t:

C = 15t + 30  (resta 30) C - 30 = 15t  (divide entre 15) t = (C - 30)/15

Si C = 180, entonces t = (180 - 30)/15 = 10.

Ejemplo 3: despejar una variable en una fórmula con fracción

Si v = d/t y quieres despejar t:

v = d/t  (multiplica por t) vt = d  (divide entre v) t = d/v

Nota práctica: al dividir, recuerda que v no puede ser 0.

Errores típicos y cómo evitarlos

Errores de signo al “pasar” términos

En vez de pensar “pasa al otro lado”, piensa “hago la misma operación en ambos lados”. Así reduces fallos.

Ejemplo: en x - 8 = 3, no es x = 3 - 8 por “pasar”; es sumar 8 a ambos lados: x = 11.

Olvidar distribuir correctamente

Si hay un número multiplicando un paréntesis, multiplica a todos los términos dentro.

Ejemplo: 2(x + 3) es 2x + 6, no 2x + 3.

Dividir solo un término

Si divides un lado entre un número, debes dividir todo ese lado. Por eso es útil mantener agrupado con paréntesis cuando haga falta.

Ejemplo: si tienes 3x + 6 = 0, no puedes dividir solo 3x entre 3 y dejar el 6 igual. Primero: 3x = -6, luego divides: x = -2.

Mini-rutina de práctica (sin resolver aquí)

• x + 9 = 4
• 8x = 72
• 5x - 11 = 24
• x/4 - 3 = 2
• 2(x + 5) = 26
• 9x + 7 = 4x - 18
• Despeja m en A = 3m + 2
• Despeja t en F = 12t - 5